สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในรูปแบบ

เรียกว่า สมการแบร์นูลลี (อังกฤษ: Bernoulli equation) เมื่อ , ซึ่งสมการนี้ตั้งชื่อตาม ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) ผู้ซึ่งนำเสนอสมการรูปแบบนี้ไว้ในปี ค.ศ. 1695 (Bernoulli 1695) สมการแบร์นูลลี นั้นมีความน่าสนใจเพราะสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่ (nonlinear differential equations) มีผลตอบแม่นตรง (exact solution)

ตัวอย่าง[แก้]

ตัวอย่างที่ 1[แก้]

พิจารณา

หารตลอดทั้งสมการ

ให้ เมื่อทำการหาอนุพันธ์จะได้ว่า

ทำการหาปริพันธ์

เนื่องจาก ดังนั้น มีค่าเท่ากับ

ตัวอย่างที่ 2[แก้]

พิจารณาสมการแบร์นูลลี

โดยชัดเจน เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ เมื่อหารด้วย จะได้

เมื่อเปลี่ยนตัวแปรได้รูปแบบสมการใหม่

ซึ่งสามารถหาแก้สมการได้โดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์

คูณด้วย ,

โดยที่ ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ของ ดำเนินการหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้สมการ

ผลลัพธ์ คือ

และ .

การโปรแกรมใน Math Lab[แก้]

เราสามารถทำการตรวจสอบกับในโปรแกรมแมตแล็บ (MATLAB) โดยใช้ symbolic toolbox โดยการใช้รหัสดังข้างล่างนี้

x = dsolve('Dy-2*y/x=-x^2*y^2','x')

ให้ผลตอบทั้งสอง[1]:

0
x^2/(x^5/5 + C1)

อ้างอิง[แก้]

  1. ดูเพิ่มเติมได้จาก solution โดย WolframAlpha [en] โดยที่ผลตอบ จะไม่แสดงผลเพราะเป็นกรณีชัดแจ้ง (trivial case) อยู่แล้ว
  • Bernoulli, Jacob (1695). "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis". Acta Eruditorum.. Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
  • Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0..

ดูเพิ่ม[แก้]