จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ในคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในรูปแบบ
y
′
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
y
n
{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}
เรียกว่า สมการแบร์นูลลี (อังกฤษ : Bernoulli equation ) เมื่อ
n
≠
1
{\displaystyle n\neq 1}
,
0
{\displaystyle 0}
ซึ่งสมการนี้ตั้งชื่อตาม ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) ผู้ซึ่งนำเสนอสมการรูปแบบนี้ไว้ในปี ค.ศ. 1695 (Bernoulli 1695 ) สมการแบร์นูลลี นั้นมีความน่าสนใจเพราะสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่ (nonlinear differential equations) มีผลตอบแม่นตรง (exact solution)
พิจารณา
y
′
+
2
y
sin
x
=
y
−
2
sin
x
{\displaystyle y'+2y\operatorname {sin} x=y^{-2}\operatorname {sin} x}
หารตลอดทั้งสมการ
y
′
y
−
2
+
2
sin
x
y
−
3
=
sin
x
{\displaystyle {\frac {y'}{y^{-2}}}+{\frac {2\operatorname {sin} x}{y^{-3}}}=\operatorname {sin} x}
ให้
w
=
1
y
−
3
{\displaystyle w={\frac {1}{y^{-3}}}}
เมื่อทำการหาอนุพันธ์ จะได้ว่า
w
′
=
−
w
6
sin
x
+
3
sin
x
{\displaystyle w'=-w6\operatorname {sin} x+3\operatorname {sin} x}
ทำการหาปริพันธ์
w
=
e
6
cos
x
(
1
2
e
−
6
cos
x
+
C
)
=
1
2
+
C
e
6
cos
x
{\displaystyle w=e^{6\operatorname {cos} x}\left({\frac {1}{2}}e^{-6\operatorname {cos} x}+C\right)={\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}}
เนื่องจาก
w
=
y
3
{\displaystyle w=y^{3}}
ดังนั้น
y
{\displaystyle y}
มีค่าเท่ากับ
y
=
3
1
2
+
C
e
6
cos
x
{\displaystyle y={}^{3}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}}}}
พิจารณาสมการแบร์นูลลี
y
′
−
2
y
x
=
−
x
2
y
2
{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}
โดยชัดเจน
y
=
0
{\displaystyle y=0}
เป็นหนึ่งในผลลัพธ์
เมื่อหารด้วย
y
2
{\displaystyle y^{2}}
จะได้
y
′
y
−
2
−
2
x
y
−
1
=
−
x
2
{\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}
เมื่อเปลี่ยนตัวแปรได้รูปแบบสมการใหม่
w
=
1
y
{\displaystyle w={\frac {1}{y}}}
w
′
=
−
y
′
y
2
.
{\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.}
w
′
+
2
x
w
=
x
2
{\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}
ซึ่งสามารถหาแก้สมการได้โดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์
M
(
x
)
=
e
2
∫
1
x
d
x
=
e
2
ln
x
=
x
2
.
{\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}
คูณด้วย
M
(
x
)
{\displaystyle M(x)}
,
w
′
x
2
+
2
x
w
=
x
4
,
{\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}
โดยที่ ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ ของ
w
x
2
{\displaystyle wx^{2}}
ดำเนินการหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้สมการ
∫
(
w
x
2
)
′
d
x
=
∫
x
4
d
x
{\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}
w
x
2
=
1
5
x
5
+
C
{\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}
1
y
x
2
=
1
5
x
5
+
C
{\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}
ผลลัพธ์
y
{\displaystyle y}
คือ
y
=
5
x
2
x
5
+
C
{\displaystyle y={\frac {5x^{2}}{x^{5}+C}}}
และ
y
=
0
{\displaystyle y=0}
.
การโปรแกรมใน Math Lab[ แก้ ]
เราสามารถทำการตรวจสอบกับในโปรแกรมแมตแล็บ (MATLAB) โดยใช้ symbolic toolbox โดยการใช้รหัสดังข้างล่างนี้
x = dsolve ( 'Dy-2*y/x=-x^2*y^2' , 'x' )
ให้ผลตอบทั้งสอง[ 1] :
↑ ดูเพิ่มเติมได้จาก solution โดย WolframAlpha [en ] โดยที่ผลตอบ
y
=
0
{\displaystyle y=0}
จะไม่แสดงผลเพราะเป็นกรณีชัดแจ้ง (trivial case) อยู่แล้ว
Bernoulli, Jacob (1695). "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis". Acta Eruditorum . . Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993) .
Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems . Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56670-0 . .