สมการอิงตัวแปรเสริม

ในคณิตศาสตร์ สมการอิงตัวแปรเสริม (อังกฤษ: parametric equation) คือสมการที่แสดงค่าของตัวแปรหนึ่งหรือหลายตัว เช่นพิกัดของจุด ให้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอื่น ซึ่งตัวแปรเหล่านั้นเรียกว่า ตัวแปรเสริม

ในกรณีที่มีตัวแปรเสริมเพียงตัวเดียว สมการอิงตัวแปรเสริมมักใช้เพื่ออธิบายแนววิถีของจุดที่เคลื่อนที่ โดยตัวแปรเสริมดังกล่าวมัก (แต่ไม่จำเป็นต้อง) แทนเวลา และจุดดังกล่าวจะสร้างเส้นโค้งที่เรียกว่า เส้นโค้งอิงตัวแปรเสริม หากมีตัวแปรเสริมสองตัว จุดจะสร้างเป็นพื้นผิว ซึ่งเรียกว่า พื้นผิวอิงตัวแปรเสริม กลุ่มสมการเหล่านี้โดยรวมเรียกว่า การแทนแบบอิงตัวแปรเสริม (parametric representation) หรือ ระบบอิงตัวแปรเสริม (parametric system) หรือ การกำหนดเป็นตัวแปรเสริม (parameterization)

ตัวอย่างเช่น สมการ $${\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}$$ เป็นการแทนแบบอิงตัวแปรเสริมของวงกลมหนึ่งหน่วย โดยที่ t เป็นตัวแปรเสริม กล่าวคือ จุด (x, y) จะอยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วยก็ต่อเมื่อมีค่าของ t บางค่า ที่ทำให้สมการทั้งสองนี้ให้ค่าพิกัดนั้นได้ บางครั้ง สมการอิงตัวแปรเสริมของตัวแปรสเกลาร์แต่ละตัวจะถูกรวมให้อยู่ในรูปสมการแบบเวกเตอร์เพียงสมการเดียว เช่น $$(x,y)=(\cos t,\sin t)$$

การแทนแบบอิงตัวแปรเสริมมักไม่ได้มีรูปแบบเฉพาะเพียงแบบเดียว กล่าวคือ ปริมาณเดียวกันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของตัวแปรเสริมได้หลายวิธี

นอกจากเส้นโค้งและพื้นผิวแล้ว สมการอิงตัวแปรเสริมยังสามารถใช้บรรยายแมนิโฟลด์และวาไรตีเชิงพีชคณิตที่มีมิติมากกว่าได้ โดยจำนวนของตัวแปรเสริมจะเท่ากับมิติของแมนิโฟลด์หรือวาไรตีนั้น และจำนวนสมการจะเท่ากับมิติของปริภูมิที่วัตถุนั้นฝังอยู่ (เช่น เส้นโค้งมีมิติหนึ่งและใช้ตัวแปรเสริมหนึ่งตัว พื้นผิวมีมิติสองและใช้ตัวแปรเสริมสองตัว เป็นต้น)

สมการอิงตัวแปรเสริมถูกใช้บ่อยในวิชาจลนศาสตร์ เพื่ออธิบายแนววิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดยให้ตำแหน่งของวัตถุเป็นฟังก์ชันของเวลา ซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวแปรเสริม ด้วยเหตุนี้ ตัวแปรเสริมจึงมักเขียนแทนด้วย t อย่างไรก็ตาม ตัวแปรเสริมอาจแทนปริมาณทางฟิสิกส์อื่น เช่น ตัวแปรทางเรขาคณิต หรืออาจเลือกกำหนดขึ้นเพื่อความสะดวกก็ได้ การกำหนดเป็นตัวแปรเสริมไม่ได้มีรูปแบบเฉพาะเพียงแบบเดียว เส้นโค้งเส้นเดียวกันอาจเขียนด้วยสมการตัวแปรเสริมได้หลายชุด