สมการของตอร์รีเชลลี

ในฟิสิกส์ สมการของตอร์รีเชลลี หรือ สูตรของตอร์รีเชลลี เป็นสมการที่ถูกสร้างขึ้นโดยนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีเอวันเจลิสตา ตอร์รีเชลลี เพื่อหาความเร็วสุดท้ายของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่ตามแนวแกน (ตัวอย่างเช่น ตามแนวแกน x) โดยไม่ต้องรู้ช่วงเวลาที่ใช้

โดยมีสมการดังที่แสดงต่อไปนี้

$$v_{\text{f}}^{2}=v_{\text{i}}^{2}+2a\Delta x$$

โดยที่

$v_{\text{f}}$ เป็นความเร็วสุดท้ายตามแนวแกน x ของวัตถุที่มีความเร่งคงที่

$v_{\text{i}}$ เป็นความเร็วเริ่มต้นตามแนวแกน x ของวัตถุ

$a$ เป็นความเร่งตามแนวแกน x ของวัตถุที่ซึ่งกำหนดให้คงที่

$\Delta x$ เป็นการเปลี่ยนตำแหน่งตามแนวแกน x ของวัตถุ หรือเรียกว่าการกระจัด

ในสมการนี้และสมการถัดไปทั้งหมดในบทความนี้ ตัวห้อย $x$ (เช่น ใน ${v_{\text{f}}}_{x}$) นั้นเป็นที่เข้าใจโดยปริยาย ที่จะไม่ได้แสดงไว้เป็นเบื้องต้นเพื่อความชัดเจนในการนำเสนอสมการ

สมการนี้สามารถนำไปใช้ได้ในทุกแกนที่ซึ่งมีความเร่งคงที่หรือสม่ำเสมอ

การพิสูจน์หรือที่มา

โดยไม่ใช้การหาอนุพันธ์และปริพันธ์

เริ่มต้นด้วยความสัมพันธ์สำหรับความเร่งสม่ำเสมอ ดังต่อไปนี้

$$x_{\text{f}}-x_{\text{i}}=v_{\text{i}}t+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$$

(1)

$$v_{\text{f}}-v_{\text{i}}=at$$

(2)

นำสมการ (1) มาคูณเข้าทั้งสองข้างด้วยความเร่ง ${\textstyle a}$

$$a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})=av_{\text{i}}t+{\tfrac {1}{2}}a^{2}t^{2}$$

(3)

การจัดรูปนิพจน์ด้านขวาใหม่เพื่อให้เห็นการแทนค่าที่จะเกิดขึ้นได้ง่ายขึ้น ดังต่อไปนี้

$$a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})=v_{\text{i}}(at)+{\tfrac {1}{2}}(at)^{2}$$

(4)

นำสมการ (2) ไปแทนค่าในผลคูณ ${\textstyle at}$

$$a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})=v_{\text{i}}(v_{\text{f}}-v_{\text{i}})+{\tfrac {1}{2}}(v_{\text{f}}-v_{\text{i}})^{2}$$

(5)

ทำการคูณเข้า

$$a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})=v_{\text{i}}v_{\text{f}}-v_{\text{i}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}v_{\text{f}}^{2}-v_{\text{i}}v_{\text{f}}+{\tfrac {1}{2}}v_{\text{i}}^{2}$$

(6)

ตัดพจน์ ${\textstyle v_{\text{i}}v_{\text{f}}}$ ออกไป เหลือเพียงพจน์กำลังสอง

$$a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})={\tfrac {1}{2}}v_{\text{f}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{\text{i}}^{2}$$

(7)

จัดรูปสมการ (7) ให้อยู่ในรูปสมการของตอร์รีเชลลี ดังที่ได้นำเสนอไว้พอสังเขป ณ เริ่มต้นของบทความ ดังนี้

$$v_{\text{f}}^{2}=v_{\text{i}}^{2}+2a\Delta x$$

(8)

โดยใช้การหาอนุพันธ์และปริพันธ์

เริ่มต้นด้วยนิยามของความเร็ว ซึ่งคืออนุพันธ์เทียบเวลาของตำแหน่ง และความเร่ง ซึ่งคืออนุพันธ์เทียบเวลาของความเร็ว ดังนี้

$$v={\frac {dx}{dt}}$$

(9)

$$a={\frac {dv}{dt}}$$

(10)

ตั้งการหาปริพันธ์จากตำแหน่งเริ่มต้น ${\textstyle x_{\text{i}}}$ ถึงตำแหน่งสุดท้าย ${\textstyle x_{\text{f}}}$

$$\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}a\,dx$$

(11)

จากสมการ (9) เราสามารถแทนค่า ${\textstyle dx}$ ด้วย ${\textstyle v\,dt}$ พร้อมกับเปลี่ยนขอบเขตของการหาปริพันธ์ที่สอดคล้องกัน

$$\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}a\,v\,dt$$

(12)

จากนั้นสลับตำแหน่งของ ${\textstyle a}$ และ ${\textstyle v}$ เพื่อให้เห็นการแทนค่าที่จะเกิดขึ้นได้ง่ายขึ้น

$$\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}v\,a\,dt$$

(13)

จากสมการ (10) เราสามารถแทนค่า ${\textstyle a\,dt}$ ด้วย ${\textstyle dv}$ พร้อมกับเปลี่ยนขอบเขตของการหาปริพันธ์ที่สอดคล้องกัน

$$\int _{v_{\text{i}}}^{v_{\text{f}}}v\,dv$$

(14)

ดังนี้ เราจะได้

$$\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}a\,dx=\int _{v_{\text{i}}}^{v_{\text{f}}}v\,dv$$

(15)

เนื่องจากความเร่งเป็นค่าคงที่ เราสามารถแยกออกจากการหาปริพันธ์ได้

$$a\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}dx=\int _{v_{\text{i}}}^{v_{\text{f}}}v\,dv$$

(16)

คำนวณหาค่าของปริพันธ์

$$ax{\Big |}_{x=x_{\text{i}}}^{x=x_{\text{f}}}={\tfrac {1}{2}}v^{2}{\Big |}_{v=v_{\text{i}}}^{v=v_{\text{f}}}$$

(17)

$$a\left(x_{\text{f}}-x_{\text{i}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(v_{\text{f}}^{2}-v_{\text{i}}^{2}\right)$$

(18)

ตัวประกอบ ${\textstyle x_{\text{f}}-x_{\text{i}}}$ เป็นการกระจัด แทนด้วย ${\textstyle \Delta x}$ จะได้

$$2a\Delta x=v_{\text{f}}^{2}-v_{\text{i}}^{2}$$

(19)

จัดรูปสมการ (19) ให้อยู่ในรูปสมการของตอร์รีเชลลี ดังที่ได้นำเสนอไว้พอสังเขป ณ เริ่มต้นของบทความ ดังนี้

$$v_{\text{f}}^{2}=v_{\text{i}}^{2}+2a\Delta x$$

(20)

การประยุกต์

รวมสมการของตอร์รีเชลลีเข้ากับกฎข้อที่สองของนิวตัน ${\textstyle F=ma}$ จะได้ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน

สมการของตอร์รีเชลลีและข้อสรุปทั่วไปสำหรับความเร่งไม่สม่ำเสมอมีรูปแบบเดียวกัน ดังนี้

จากสมการ (16)

$$\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}a\,dx=\int _{v_{\text{i}}}^{v_{\text{f}}}v\,dv$$

(21)

หาค่าของปริพันธ์ด้านขวามือ

$$\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}a\,dx={\tfrac {1}{2}}v_{\text{f}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{\text{i}}^{2}$$

(22)

เพื่อเทียบกับสมการของตอร์รีเชลลี และจากสมการ (7) จะได้

$$a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})={\tfrac {1}{2}}v_{\text{f}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{\text{i}}^{2}$$

(23)

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน เริ่มต้นจาก ${\textstyle F=ma}$ และตั้งหาปริพันธ์เทียบพิกัดตำแหน่งของทั้งสองข้าง ถ้าทั้งสองข้างสามารถหาปริพันธ์ได้ แสดงว่านิพจน์ที่ได้นั้นถูกต้อง

$$\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}F\,dx=\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}ma\,dx$$

(24)

จากสมการ (22) จะได้นิพจน์ด้านขวามือเป็น

$$\int _{x_{\text{i}}}^{x_{\text{f}}}F\,dx={\tfrac {1}{2}}mv_{\text{f}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{\text{i}}^{2}$$

(25)

เหตุที่ด้านขวามือของ (22) และ (23) เหมือนกันนั้นคือ

ประการแรก ให้พิจารณากรณีที่มีสองสถานะต่อเนื่องกันที่มีความเร่งสม่ำเสมอต่างกัน จาก ${\textstyle s_{0}}$ ถึง ${\textstyle s_{1}}$ และจาก ${\textstyle s_{1}}$ ถึง ${\textstyle s_{2}}$

จะได้ แต่ละนิพจน์สำหรับทั้งสองสถานะ ดังนี้

$$a_{1}(s_{1}-s_{0})={\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{0}^{2}$$ $$a_{2}(s_{2}-s_{1})={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}$$

เนื่องจากนิพจน์เหล่านี้ใช้สำหรับช่วงเวลาที่ต่อเนื่องกัน จึงสามารถนำมาบวกกันได้ และผลลัพธ์ที่ได้จึงเป็นนิพจน์ที่ถูกต้อง

เมื่อนำมาบวกกันแล้ว พจน์กลาง ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}}$ จะหายไป เหลือเพียงพจน์นอก ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}}$ และ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{0}^{2}}$ ดังนี้

$$a_{1}(s_{1}-s_{0})+a_{2}(s_{2}-s_{1})={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{0}^{2}$$

(26)

ผลลัพธ์ข้างต้นสามารถสรุปได้โดยทั่วไปว่า ระยะทางทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นส่วนย่อยได้เป็นจำนวนใด ๆ หลังจากนำทุกส่วนมารวมกันแล้ว จะเหลือเพียงพจน์นอกเท่านั้น ส่วนพจน์กลางทั้งหมดจะหายไป

ข้อสรุปทั่วไปของสมการ (26) ไปยังจำนวนที่ไม่เจาะจงของส่วนย่อยใด ๆ ของช่วงทั้งหมดจาก ${\textstyle s_{0}}$ ถึง ${\textstyle s_{n}}$ สามารถแสดงได้ในรูปผลรวม ดังต่อไปนี้

$$\sum _{i=1}^{n}a_{\text{i}}(s_{\text{i}}-s_{i-1})={\tfrac {1}{2}}v_{n}^{2}-{\tfrac {1}{2}}v_{i-1}^{2}$$

(27)

ดูเพิ่มเติม

• สมการการเคลื่อนที่

แหล่งข้อมูลอื่น

• Torricelli's theorem