สมการการเคลื่อนที่

กราฟความสัมพันธ์ระหว่างความเร็ว v กับเวลา t ของอนุภาคที่กำลังเคลื่อนที่ภายใต้ความเร่งไม่สม่ำเสมอ a

ในฟิสิกส์ สมการการเคลื่อนที่ (อังกฤษ: equations of motion) คือสมการที่อธิบายพฤติกรรมของระบบทางกายภาพให้การเคลื่อนที่เป็นรูปพจน์ฟังก์ชันของเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการการเคลื่อนที่ใช้อธิบายพฤติกรรมของระบบทางกายภาพเป็นรูปของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ชุดหนึ่ง ซึ่งเขียนในรูปของตัวแปรพลวัต โดยทั่วไปตัวแปรเหล่านี้มักเป็นพิกัดเชิงพื้นที่และเวลา แต่อาจรวมถึงองค์ประกอบของโมเมนตัมด้วย ทั้งนี้ ในกรณีทั่วไปที่สุดคือเลือกใช้พิกัดนัยทั่วไป (generalized coordinates) ซึ่งเป็นตัวแปรใด ๆ ที่สะดวกและเหมาะสมต่อการอธิบายระบบทางกายภาพนั้นได้ ฟังก์ชันเหล่านี้ถูกนิยามอยู่ในปริภูมิแบบยุคลิดในกลศาสตร์ดั้งเดิม แต่จะถูกแทนที่ด้วยปริภูมิแบบโค้งในสัมพัทธภาพ หากทราบพลวัตของระบบแล้ว สมการเหล่านี้คือคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่ใช้อธิบายการเคลื่อนที่ของพลวัตนั้น

ประวัติ

จลนศาสตร์ พลศาสตร์ และแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเอกภพถูกพัฒนาขึ้นอย่างค่อยเป็นค่อยไป ตลอดระยะเวลาสามสหัสวรรษ ด้วยผลงานของนักคิดจำนวนมาก ซึ่งเรารู้จักชื่อเพียงบางส่วนเท่านั้น ในสมัยโบราณ นักบวช นักโหราศาสตร์ และนักดาราศาสตร์สามารถทำนายการเกิดอุปราคาของดวงอาทิตย์และดวงจันทร์ อายันและวิษุวัตของดวงอาทิตย์ รวมถึงคาบการโคจรของดวงจันทร์ได้ แต่พวกเขาไม่มีสิ่งใดนอกจากชุดของขั้นตอนวิธีมาใช้เป็นแนวทาง สมการการเคลื่อนที่ยังไม่ถูกเขียนขึ้นจนกระทั่งอีกหนึ่งพันปีต่อมา

นักวิชาการยุคกลางในช่วงคริสต์ศตวรรษที่สิบสาม — ตัวอย่างเช่น ที่มหาวิทยาลัยที่เพิ่งก่อตั้งขึ้นในขณะนั้นทในออกซฟอร์ดและปารีส — ได้นำผลงานของนักคณิตศาสตร์โบราณ (ยูคลิดและอาร์คิมีดีส) และนักปรัชญา (อาริสโตเติล) มาพัฒนาเป็นชุดองค์ความรู้ใหม่ ซึ่งในปัจจุบันเรียกว่า ฟิสิกส์

ที่มหาวิทยาลัยออกซฟอร์ด วิทยาลัยเมอร์ตัน (Merton College) เป็นศูนย์รวมของกลุ่มนักวิชาการที่อุทิศตนแก่วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ โดยเฉพาะฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และคณิตศาสตร์ ผู้ซึ่งมีความสามารถทัดเทียมกับผู้ทรงคุณวุฒิที่มหาวิทยาลัยปารีส โทมัส แบรดวาร์ดีน (Thomas Bradwardine) เคลอจี นักคณิตศาสตร์ และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษได้ขยายแนวคิดของอาริสโตเติลเกี่ยวกับปริมาณต่าง ๆ เช่น ระยะทางและความเร็ว และกำหนดแนวคิดเรื่องความเข้มและขอบเขตให้กับปริมาณเหล่านั้น แบรดวาร์ดีนเสนอกฎเลขชี้กำลังที่ว่าด้วยแรง แรงต้าน ระยะทาง ความเร็ว และเวลา ในเวลาต่อมา นีโกล โอแร็ม (Nicole Oresme) นักปรัชญาชาวฝรั่งเศสได้ขยายแนวคิดของแบรดวาร์ดีนออกไป สำนักเมอร์ตันได้พิสูจน์ว่าปริมาณการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอเท่ากับปริมาณของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ ซึ่งมีความเร็วเท่ากับความเร็ว ณ ครึ่งทางช่วงของการเร่งนั้น

สำหรับนักเขียนด้านจลนศาสตร์ก่อนยุคของกาลิเลโอ เนื่องจากยังไม่สามารถวัดช่วงเวลาที่สั้นมากได้ ความสัมพันธ์ระหว่างเวลาและการเคลื่อนที่จึงยังไม่ชัดเจน พวกเขาใช้เวลาเป็นฟังก์ชันของระยะทางและในการตกอิสระ ความเร็วที่มากขึ้นถูกมองว่าเป็นผลจากระดับความสูงที่เพิ่มมากขึ้น มีเพียงโดมิงโก เด โซโต (Domingo de Soto) นักเทววิทยาชาวสเปนเท่านั้น ในความเห็นของเขากับงาน ฟิสิกส์ ของอาริสโตเติล ซึ่งตีพิมพ์ใน ค.ศ. 1545 หลังจากนิยามการเคลื่อนที่แบบ "เปลี่ยนแปลงสม่ำเสมอ" หรือ "uniform difform" (ซึ่งคือการเคลื่อนที่แบบความเร่งสม่ำเสมอ) – โดยในขณะนั้นยังไม่มีการใช้คำว่าความเร็ว – ว่าแปรผันตามเวลา เขาได้ระบุอย่างถูกต้องว่าการเคลื่อนที่ประเภทนี้สามารถระบุได้กับการตกอิสระและการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ แม้ว่าจะไม่ได้พิสูจน์ข้อเสนอนี้ หรือเสนอสูตรที่เชื่อมโยงเวลา ความเร็ว และระยะทาง ความเห็นของเด โซโตนั้นถือว่าแม่นยำอย่างน่าประหลาด โดยเฉพาะในเรื่องนิยามของความเร่ง (ซึ่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่ (ความเร็ว) ตามเวลา) และการสังเกตว่าความเร่งจะเป็นค่าลบในช่วงการเคลื่อนที่ขึ้น

แนวคิดลักษณะนี้ได้เผยแพร่ไปทั่วยุโรป มีอิทธิพลต่อผลงานของกาลิเลโอ กาลิเลอี และผู้อื่น อีกทั้งยังช่วยวางรากฐานของจลนศาสตร์ กาลิเลโอได้อนุมานสมการ s = 1/2gt² ในงานของเขาด้วยวิธีทางเรขาคณิต อาศัยกฎเมอร์ตัน ซึ่งในปัจจุบันเป็นที่รู้จักว่าเป็นกรณีพิเศษของหนึ่งในสมการจลนศาสตร์

กาลิเลโอเป็นคนแรกที่แสดงให้เห็นว่าวิถีการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็นรูปพาราโบลา กาลิเลโอมีความเข้าใจเกี่ยวกับแรงหนีศูนย์กลางและให้คำนิยามของโมเมนตัมได้อย่างถูกต้อง การเน้นว่าโมเมนตัมเป็นปริมาณพื้นฐานในพลศาสตร์นั้นมีความสำคัญอย่างมาก เขาวัดโมเมนตัมจากผลคูณของความเร็วกับน้ำหนัก ส่วนมวลนั้นเป็นแนวคิดที่เกิดขึ้นภายหลัง โดยถูกพัฒนาขึ้นโดยเฮยเคินส์และนิวตัน ในการแกว่งของลูกตุ้มอย่างง่าย กาลิเลโอได้กล่าวไว้ในหนังสือ วาทกรรมและการพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์เกี่ยวกับสองศาสตร์ใหม่ ว่า "โมเมนตัมทุกค่าที่ได้มาระหว่างการเคลื่อนที่ลงตามส่วนโค้ง จะเท่ากับโมเมนตัมที่ทำให้วัตถุเดียวกันเคลื่อนที่ขึ้นไปตามส่วนโค้งเดียวกันนั้น" การวิเคราะห์ของเขาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์บ่งชี้ว่า กาลิเลโอเข้าใจกฎการเคลื่อนที่ข้อที่หนึ่งและข้อที่สองแล้ว แต่เขาไม่ได้ทำให้แนวคิดเหล่านี้เป็นหลักทั่วไปหรือทำให้สามารถใช้กับวัตถุที่ไม่อยู่ภายใต้ความโน้มถ่วงของโลก ซึ่งเป็นก้าวที่นิวตันเป็นผู้ทำให้สำเร็จ

คำว่า "ความเฉื่อย" ถูกใช้โดยเค็พเพลอร์ ผู้ซึ่งนำไปใช้กับวัตถุที่หยุดนิ่ง (กฎการเคลื่อนที่ข้อที่หนึ่งในปัจจุบันมักเรียกว่า กฎของความเฉื่อย)

กาลิเลโอยังไม่ได้เข้าใจเกี่ยวกับกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สามโดยสมบูรณ์ ซึ่งคือกฎของความเท่ากันของแรงกิริยาและแรงปฏิกิริยา แม้ว่าเขาจะได้แก้ไขข้อผิดพลาดบางประการของอาริสโตเติลก็ตาม ร่วมกับสตีวิน (Simon Stevin) และผู้อื่น กาลิเลโอยังได้เขียนงานเกี่ยวกับสถิตยศาสตร์ เขาได้วางหลักรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของแรง แต่ยังไม่ได้ตระหนักถึงขอบเขตของหลักการนี้อย่างเต็มที่

กาลิเลโอยังให้ความสนใจในกฎของลูกตุ้ม โดยการสังเกตครั้งแรกของเขาเกิดขึ้นตั้งแต่ยังเป็นชายหนุ่ม ใน ค.ศ. 1583 ขณะที่เขากำลังสวดมนต์อยู่ในอาสนวิหารที่เมืองปิซา ความสนใจของเขาถูกดึงดูดด้วยการแกว่งของโคมไฟขนาดใหญ่ที่ถูกจุดและปล่อยให้แกว่งไปมา เขาใช้ชีพจรของตนเองเป็นตัวอ้างอิงเวลา สำหรับเขาแล้ว คาบการแกว่งนั้นเท่ากัน แม้ว่าการแกว่งจะค่อย ๆ ลดลงอย่างมากก็ตาม ซึ่งนำไปสู่การค้นพบสมบัติคาบเท่ากันของลูกตุ้ม

การทดลองที่ละเอียดและรอบคอบขึ้นซึ่งเขาได้ดำเนินการในภายหลัง และบรรยายไว้ในวาทกรรมของเขา แสดงให้เห็นว่าคาบการแกว่งแปรผันตามรากที่สองของความยาว แต่ไม่ขึ้นกับมวลของลูกตุ้ม

ดังนั้น เราจึงมาถึงผลงานของเรอเน เดการ์ต, ไอแซก นิวตัน, ก็อตฟรีด ไลบ์นิซ และนักคิดผู้อื่น ซึ่งเป็นจุดที่รูปแบบของสมการการเคลื่อนที่ได้พัฒนาขึ้นจนเริ่มได้รับการยอมรับว่าเป็นรูปแบบสมัยใหม่

ต่อมา สมการการเคลื่อนที่ยังปรากฏในพลศาสตร์ไฟฟ้า เมื่อในการบรรยายการเคลื่อนที่ของอนุภาคประจุในสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก แรงลอเรนซ์เป็นสมการทั่วไปที่มีหน้าที่กำหนดสิ่งที่เรียกว่าสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก เมื่อสัมพัทธภาพพิเศษและสัมพัทธภาพทั่วไปเกิดขึ้น การแก้ไขเชิงทฤษฎีของปริภูมิ-เวลาทำให้สมการการเคลื่อนที่แบบดั้งเดิมต้องถูกแก้ไขเช่นกันเพื่อคำนึงถึงอัตราเร็วที่จำกัดของแสงและความโค้งของปริภูมิ-เวลา ในทุกกรณีเหล่านี้ สมการเชิงอนุพันธ์จะถูกเขียนในรูปของฟังก์ชันที่บรรยายแนววิถีของอนุภาคในพิกัดปริภูมิและเวลา ซึ่งอยู่ภายใต้อำนาจของแรงหรือการเปลี่ยนรูปพลังงาน

อย่างไรก็ตาม สมการของกลศาสตร์ควอนตัมก็สามารถถือได้ว่าเป็น "สมการการเคลื่อนที่" เช่นกัน เนื่องจากต่างเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่น ซึ่งใช้อธิบายสถานะควอนตัมว่ามีพฤติกรรมอย่างไร โดยอาศัยพิกัดปริภูมิและเวลาในเชิงอุปมานของอนุภาค นอกจากนี้ ยังมีสมการเชิงอุปมานของสมการการเคลื่อนที่ในสาขาอื่นของฟิสิกส์ สำหรับกลุ่มปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ที่สามารถมองว่าเป็นคลื่น ของไหล หรือสนาม

ประเภท

มีคำอธิบายการเคลื่อนที่หลักสองแบบคือพลศาสตร์และจลนศาสตร์ โดยในเชิงพลศาสตร์มีความครอบคลุมมากกว่า เนื่องจากคำนึงถึงโมเมนตัม แรง และพลังงานของอนุภาค ในบริบทนี้ คำว่า พลศาสตร์ บางครั้งอาจหมายถึงสมการเชิงอนุพันธ์ที่ระบบนั้นเป็นไปตามกฎ (เช่น กฎข้อที่สองของนิวตัน หรือสมการอ็อยเลอร์–ลากร็องฌ์) และบางครั้งอาจหมายถึงคำตอบของสมการนั้น

อย่างไรก็ตาม ในเชิงจลนศาสตร์นั้นเรียบง่ายกว่า โดยว่าด้วยเฉพาะตัวแปรที่ได้มาจากตำแหน่งของวัตถุและเวลาเท่านั้น ในกรณีที่ความเร่งคงที่ สมการการเคลื่อนที่แบบง่ายเหล่านี้มักเรียกว่าสมการ SUVAT ซึ่งมีที่มาจากการกำหนดปริมาณทางจลนศาสตร์ ได้แก่ การกระจัด (s) ความเร็วต้น (u) ความเร็วปลาย (v) ความเร่ง (a) และเวลา (t)

สมการการเคลื่อนที่เชิงอนุพันธ์มักระบุว่าเป็นกฎฟิสิกส์บางประการ (ตัวอย่างเช่น F = ma) และเมื่อใช้กับการกำหนดปริมาณทางกายภาพ จะถูกนำมาตั้งสมการเพื่อแก้ปัญหาในเชิงจลนศาสตร์ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้จะนำไปสู่คำตอบทั่วไป ซึ่งมีค่าคงตัวไม่เจาะจงอยู่ โดยความไม่เจาะจงนี้สอดคล้องกับชุดของคำตอบหลายแบบ จากนั้นสามารถหาคำตอบที่เจาะจงได้โดยการกำหนดค่าเริ่มต้น ซึ่งจะทำให้ค่าคงที่เหล่านั้นถูกกำหนดค่าที่แน่นอน

กล่าวอย่างเป็นทางการ โดยทั่วไปแล้ว สมการการเคลื่อนที่ M เป็นฟังก์ชันของตำแหน่ง r ของวัตถุ ซึ่งมีความเร็ว (อนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งของ r หรือ v = dr/dt) และความเร่ง (อนุพันธ์ลำดับที่สองของ r หรือ a = d²r/dt²) ของวัตถุนั้น และเวลา t เวกเตอร์แบบยุคลิดในสามมิติจะเขียนแทนด้วยตัวหนาตลอดทั้งบท ซึ่งเทียบเท่ากับการกล่าวว่า สมการการเคลื่อนที่ใน r เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับที่สอง (ODE) ใน r

$$M\left[\mathbf {r} (t),\mathbf {\dot {r}} (t),\mathbf {\ddot {r}} (t),t\right]=0\,$$

โดยที่ t คือเวลา และจุดเหนือตัวแปรแต่ละจุดหมายถึงการหาอนุพันธ์เทียบเวลาหนึ่งครั้ง เงื่อนไขเริ่มต้นจะถูกกำหนดโดย ค่าคงที่ ของตัวแปรต่าง ๆ ที่ t = 0

$$\mathbf {r} (0)\,,\quad \mathbf {\dot {r}} (0)\,$$

คำตอบ r(t) ของสมการการเคลื่อนที่ เมื่อกำหนดค่าเริ่มต้นแล้ว จะใช้อธิบายระบบสำหรับทุกเวลา t ภายหลังจาก t = 0 ตัวแปรเชิงพลวัตอื่น เช่น โมเมนตัม p ของวัตถุ หรือปริมาณที่ได้จาก r และ p เช่น โมเมนตัมเชิงมุม สามารถใช้แทน r เป็นปริมาณที่ต้องแก้หาจากสมการการเคลื่อนที่ได้ อย่างไรก็ตาม ตำแหน่งของวัตถุ ณ เวลา t ใด ๆ ยังคงเป็นปริมาณที่ต้องการทราบมากที่สุด

ในบางกรณี สมการจะเป็นเชิงเส้นและมักสามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำ แต่ในกรณีทั่วไปแล้ว สมการจะเป็นแบบไม่เชิงเส้น และไม่สามารถหาคำตอบที่แน่นอนได้ จึงต้องใช้วิธีการประมาณค่า คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นอาจแสดงพฤติกรรมแบบอลวนได้ ขึ้นอยู่กับว่าระบบมีความ ไว ต่อเงื่อนไขเริ่มต้นมากเพียงใด

สมการเชิงจลน์สำหรับอนุภาคเดียว

ปริมาณเชิงจลน์

ปริมาณเชิงจลน์ของอนุภาคดั้งเดิมมวล m ที่มีตำแหน่ง r ความเร็ว v และความเร่ง a

จากตำแหน่งบัดดล r = r(t) บัดดลนั้นหมายถึง ณ ชั่วขณะเวลา t มีความเร็ว v = v(t) และความเร่งขณะหนึ่ง a = a(t) ซึ่งมีการกำหนดโดยทั่วไปที่ไม่ขึ้นกับพิกัด

$$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$$

ตระหนักว่าความเร็วชี้ไปในทิศเดียวกับการเคลื่อนที่เสมอ กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับวิถีที่โค้งความเร็วนั้นคือเวกเตอร์สัมผัส กล่าวโดยรวมคือ การหาอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งเกี่ยวข้องกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งนั้น และยังคงสำหรับวิถีที่โค้ง ความเร่งมีทิศพุ่งเข้าหาจุดศูนย์กลางความโค้งของวิถีนั้น กล่าวโดยรวมคือ การหาอนุพันธ์ลำดับที่สองเกี่ยวข้องกับความโค้งนั้น

ปริมาณเชิงอุปมานสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน ได้แก่ "เวกเตอร์เชิงมุม" (มุมที่อนุภาคหมุนรอบแกนใดแกนหนึ่ง) θ = θ(t) ความเร็วเชิงมุม ω = ω(t) และความเร่งเชิงมุม α = α(t)

$${\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\mathbf {n} }}\,,\quad {\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}\,,\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\,$$

โดยที่ n̂ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศของแกนการหมุน และ θ เป็นมุมที่วัตถุหมุนรอบแกนการหมุน

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ใช้ได้กับจุดอนุภาคซึ่งโคจรรอบแกนใดแกนหนึ่งด้วยความเร็วเชิงมุม ω

$$\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$$

โดยที่ r เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดอนุภาค (รัศมีจากแกนหมุน) และ v เป็นความเร็วเชิงเส้นของจุดอนุภาค สำหรับการหมุนแบบต่อเนื่องของวัตถุแข็งเกร็ง ความสัมพันธ์เหล่านี้ใช้ได้กับทุกจุดในวัตถุแข็งเกร็ง

ความเร่งสม่ำเสมอ

สมการการเคลื่อนที่เชิงอนุพันธ์สำหรับอนุภาคที่มีความเร่งคงที่หรือสม่ำเสมอในแนวเส้นตรงนั้นเป็นรูปแบบอย่างง่าย กล่าวคือ ความเร่งมีค่าคงที่ ดังนั้น อนุพันธ์อันดับที่สองของตำแหน่งวัตถุจึงเป็นค่าคงที่ ผลลัพธ์ของกรณีนี้สรุปได้ดังต่อไปนี้

การเคลื่อนที่เชิงเส้นในแนวเส้นตรงที่มีความเร่งคงที่

สมการเหล่านี้ใช้กับอนุภาคที่เคลื่อนที่เชิงเส้น ในสามมิติ ในแนวเส้นตรงด้วยความเร่งคงที่ จากตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งอยู่ในแนวเส้นเดียวกัน (ขนานกันและอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) จึงพิจารณาเพียงขนาดของเวกเตอร์เหล่านี้ก็เพียงพอ และเพราะเป็นการเคลื่อนที่เกิดขึ้นตามแนวเส้นตรง ปัญหาจึงลดรูปจากสามมิติให้เหลือเพียงหนึ่งมิติได้อย่างมีประสิทธิภาพ

$${\begin{aligned}v&=v_{0}+at&[1]\\r&=r_{0}+v_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[2]\\r&=r_{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(v+v_{0}\right)t&[3]\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\r&=r_{0}+vt-{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}&[5]\\\end{aligned}}$$

โดยที่

• r₀ เป็นตำแหน่งเริ่มต้นของอนุภาค
• r เป็นตำแหน่งสุดท้ายของอนุภาค
• v₀ เป็นความเร็วเริ่มต้นของอนุภาค
• v เป็นความเร็วสุดท้ายของอนุภาค
• a เป็นความเร่งของอนุภาค
• t เป็นช่วงเวลา

ที่มาของสมการ

สมการ [1] และ [2] มาจากการหาปริพันธ์ของนิยามความเร็วและความเร่ง ซึ่งขึ้นกับเงื่อนไขเริ่มต้น r(t₀) = r₀ และ v(t₀) = v₀

$${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\int \mathbf {a} dt=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}\,&[1]\\\mathbf {r} &=\int (\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0})dt={\frac {\mathbf {a} t^{2}}{2}}+\mathbf {v} _{0}t+\mathbf {r} _{0}\,&[2]\\\end{aligned}}$$

ในขนาด

$${\begin{aligned}v&=at+v_{0}\,&[1]\\r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+v_{0}t+r_{0}\,&[2]\\\end{aligned}}$$

สมการ [3] มาจากความเร็วเฉลี่ย v + v₀/2 โดยธรรมชาติ ความเร็วจะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรง ดังนั้นความเร็วเฉลี่ยคูณด้วยเวลาจึงเท่ากับระยะทางที่เดินทางขณะที่ความเร็วเพิ่มขึ้นจาก v₀ เป็น v ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นภาพได้ด้วยการวาดความเร็วเทียบกับเวลาเป็นกราฟเส้นตรง ในทางพีชคณิต เป็นผลมาจากการแก้สมการ [1] ได้เป็น

$$\mathbf {a} ={\frac {(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})}{t}}$$

และแทนค่าลงในสมการ [2]

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})\,$$

จัดรูป จะได้

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+{\frac {t}{2}}(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0})$$

หรือในขนาด

$$r=r_{0}+\left({\frac {v+v_{0}}{2}}\right)t\quad [3]$$

จาก [3]

$$t=\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)$$

แทนค่า t ลงในสมการ [1]

$${\begin{aligned}v&=a\left(r-r_{0}\right)\left({\frac {2}{v+v_{0}}}\right)+v_{0}\\v\left(v+v_{0}\right)&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}\left(v+v_{0}\right)\\v^{2}+vv_{0}&=2a\left(r-r_{0}\right)+v_{0}v+v_{0}^{2}\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right)&[4]\\\end{aligned}}$$

จาก [3]

$$2\left(r-r_{0}\right)-vt=v_{0}t$$

แทนค่าลงในสมการ [2]

$${\begin{aligned}r&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+2r-2r_{0}-vt+r_{0}\\0&={\frac {{a}t^{2}}{2}}+r-r_{0}-vt\\r&=r_{0}+vt-{\frac {{a}t^{2}}{2}}&[5]\end{aligned}}$$

โดยส่วนใหญ่ 4 สมการแรกเท่านั้นที่จำเป็น ส่วนสมการที่ห้าเป็นทางเลือกหนึ่ง

ในที่นี้ a เป็นความเร่งที่ คงที่ หรือในกรณีของวัตถุที่เคลื่อนภายใต้อำนาจของแรงโน้มถ่วง จะใช้ค่าความโน้มถ่วงมาตรฐาน g แทน สังเกตว่าแต่ละสมการจะมีตัวแปรอยู่สี่ตัวจากทั้งหมดห้าตัว ดังนั้น ในกรณีนี้ เพียงทราบค่าของตัวแปรสามตัวจากห้าตัวก็เพียงพอต่อการคำนวณหาค่าของตัวแปรที่เหลืออีกสองตัวได้

ในบางหลักสูตร เช่น หลักสูตรฟิสิกส์ของ IGCSE (ประกาศนียบัตรระดับชั้นมัธยมศึกษานานาชาติ) และกลุ่มวิชาที่ 4 ของ IB DP (หลักสูตรอนุปริญญานานาชาติ) (ซึ่งเป็นหลักสูตรนานาชาติ แต่ได้รับความนิยมเป็นพิเศษในสหราชอาณาจักรและยุโรป) สมการเดียวกันนี้จะถูกเขียนโดยใช้ชุดตัวแปรที่นิยมต่างออกไป โดยใช้ตัวแปร u แทน v₀ และ s แทน r - r₀ สมการเหล่านี้จึงมักเรียกว่า SUVAT equations โดยที่ "SUVAT" มาจากอักษรย่อจากตัวแปร s = การกระจัด, u = ความเร็วต้น, v = ความเร็วปลาย, a = ความเร่ง และ t = เวลา เมื่อใช้ตัวแปรเหล่านี้ สมการการเคลื่อนที่จะเขียนได้เป็น

$${\begin{aligned}v&=u+at&[1]\\s&=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[2]\\s&={\tfrac {1}{2}}(u+v)t&[3]\\v^{2}&=u^{2}+2as&[4]\\s&=vt-{\tfrac {1}{2}}at^{2}&[5]\\\end{aligned}}$$

ความเร่งเชิงเส้นคงที่ในทิศทางใด ๆ

แนววิถีของอนุภาคหนึ่งที่มีเวกเตอร์ตำแหน่งเริ่มต้น r₀ และความเร็วเริ่มต้น v₀ ภายใต้ความเร่งคงที่ a ซึ่งทั้งสามปริมาณนี้สามารถมีทิศทางใดก็ได้ รวมทั้งตำแหน่ง r(t) และความเร็ว v(t) หลังจากเวลา t

เวกเตอร์ตำแหน่งเริ่มต้น ความเร็วเริ่มต้น และความเร่งไม่จำเป็นต้องอยู่ในแนวเส้นเดียวกัน และสมการการเคลื่อนที่ยังคงมีรูปแบบคล้ายเดิม ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือกำลังสองขนาดของความเร็วต้องใช้ผลคูณจุด การพิสูจน์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับกรณีที่เวกเตอร์อยู่ในแนวเส้นเดียวกัน

$${\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}&[1]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[2]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}\right)t&[3]\\\mathbf {v} ^{2}&=\mathbf {v} _{0}^{2}+2\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)&[4]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[5]\\\end{aligned}}$$ แม้ว่าสมการของตอร์รีเชลลี (Torricelli's equation) [4] จะสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้สมบัติการแจกแจงของผลคูณจุด ดังต่อไปนี้ $$v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)\cdot (\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)=v_{0}^{2}+2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}$$ $$(2\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=(2\mathbf {a} )\cdot \left(\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\right)=2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}=v^{2}-v_{0}^{2}$$ $$\therefore v^{2}=v_{0}^{2}+2(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}))$$

การประยุกต์

ตัวอย่างพื้นฐานและพบบ่อยในจลนศาสตร์คือการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ ตัวอย่างเช่น ลูกบอลที่ถูกโยนขึ้นไปในอากาศ ให้ u คือความเร็วต้น จะสามารถคำนวณได้ว่าลูกบอลจะขึ้นไปได้สูงเท่าใดก่อนจะเริ่มตกลงมา ความเร่งในกรณีนี้คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงในที่นั้น g แม้ว่าปริมาณเหล่านี้จะดูเหมือนเป็นปริมาณสเกลาร์ แต่ทิศทางของการกระจัด ความเร็ว และความเร่งก็มีความสำคัญ ในความเป็นจริงสามารถพิจารณาเป็นเวกเตอร์ทิศทางเดียวได้ กำหนดให้ s เป็นระยะจากพื้นดิน ความเร่ง a จะต้องเป็น −g เนื่องจากแรงจากความโน้มถ่วงมีทิศลง และดังนั้นความเร่งที่กระทำต่อลูกบอลก็มีทิศลงเช่นกัน

ที่จุดสูงสุด ลูกบอลจะหยุดนิ่ง ดังนั้น v = 0 ใช้สมการ [4] จากด้านบน จะได้

$$s={\frac {v^{2}-u^{2}}{-2g}}$$

แทนค่าและตัดเครื่องหมายลบ จะได้

$$s={\frac {u^{2}}{2g}}$$

การเคลื่อนที่แบบวงกลมที่มีความเร่งคงที่

สมการเชิงอุปมานของสมการข้างต้นสามารถเขียนได้สำหรับการหมุนเช่นกัน อีกครั้งหนึ่ง เวกเตอร์แกนเหล่านี้ต้องขนานกับแกนของการหมุนทั้งหมด ดังนั้นพิจารณาขนาดของเวกเตอร์ก็เพียงพอ

$${\begin{aligned}\omega &=\omega _{0}+\alpha t\\\theta &=\theta _{0}+\omega _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\theta &=\theta _{0}+{\tfrac {1}{2}}(\omega _{0}+\omega )t\\\omega ^{2}&=\omega _{0}^{2}+2\alpha (\theta -\theta _{0})\\\theta &=\theta _{0}+\omega t-{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\end{aligned}}$$

โดยที่ α เป็นความเร่งเชิงมุมคงที่ ω เป็นความเร็วเชิงมุม ω₀ ความเร็วเชิงมุมเริ่มต้น θ เป็นมุมที่กวาดได้ (การกระจัดเชิงมุม) θ₀ เป็นมุมเริ่มต้น และ t เป็นเวลาที่ใช้ในการหมุนจากสถานะเริ่มต้นไปยังสถานะสุดท้าย

สมการการเคลื่อนที่เชิงพลวัต

กลศาสตร์นิวตัน

บทความหลัก: กลศาสตร์นิวตัน

สมการการเคลื่อนที่ทั่วไปแรกที่ถูกพัฒนาขึ้นคือกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน ในรูปแบบทั่วไปที่สุดระบุว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม p = p(t) = mv(t) ของวัตถุเท่ากับแรง F = F(x(t), v(t), t) ที่กระทำต่อวัตถุนั้น

$$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$$

แรงในสมการนี้ ไม่ใช่ แรงที่วัตถุกระทำออกมา และเมื่อแทนโมเมนตัมด้วยมวลคูณความเร็ว กฎนี้จึงมักเขียนในรูปที่เป็นที่รู้จักกันมากกว่าคือ

$$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$$

โดยที่ m เป็นค่าคงที่ในกลศาสตร์นิวตัน

กฎข้อที่สองของนิวตันใช้ได้กับจุดอนุภาคและกับทุกจุดในวัตถุแข็งเกร็ง อีกทั้งยังใช้ได้กับทุกจุดในตัวกลางต่อเนื่องของมวล เช่น ของแข็งที่เปลี่ยนรูปได้หรือของไหล แต่ต้องคำนึงถึงการเคลื่อนที่ของระบบด้วย ในกรณีที่มวลไม่คงที่ จะไม่สามารถใช้กฎผลคูณกับอนุพันธ์เทียบเวลาของมวลและความเร็วได้เพียงอย่างเดียว และกฎข้อที่สองของนิวตันจำเป็นต้องมีการปรับให้สอดคล้องกับกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม

อาจเขียนสมการการเคลื่อนที่ในรูปเวกเตอร์โดยใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันได้ไม่ยาก แต่องค์ประกอบอาจแปรผันอย่างซับซ้อนกับพิกัดเชิงพื้นที่และเวลา และทำให้การแก้สมการไม่ใช่เรื่องง่าย บ่อยครั้งที่มีตัวแปรมากเกินไปจนทำให้ไม่สามารถแก้ปัญหาได้อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นกฎของนิวตันจึงไม่ใช่วิธีที่มีประสิทธิภาพสูงสุดเสมอไปในการหาการเคลื่อนที่ของระบบ ในกรณีอย่างง่ายที่มีเรขาคณิตรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก กฎของนิวตันสามารถใช้ได้ดีในพิกัดคาร์ทีเซียน แต่ในระบบพิกัดอื่น สมการอาจซับซ้อนขึ้นอย่างมาก

รูปแบบที่เขียนในเชิงโมเมนตัมเป็นที่นิยมมากกว่า เนื่องจากสามารถนำไปใช้กับระบบที่ซับซ้อนขึ้นได้ง่าย เช่น ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไป อีกทั้งยังสามารถใช้ร่วมกับการอนุรักษ์โมเมนตัมได้ อย่างไรก็ตาม กฎของนิวตันไม่ได้มีความเป็นพื้นฐานมากไปกว่าการอนุรักษ์โมเมนตัม เพราะกฎของนิวตันเพียงสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อมีแรงลัพธ์ที่เป็นศูนย์กระทำต่อวัตถุ โมเมนตัมจะคงที่ ในขณะที่ถ้าเป็นแรงลัพธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ โมเมนตัมจะไม่คงที่ การอนุรักษ์โมเมนตัมเป็นจริงเสมอสำหรับระบบปิดที่ไม่มีแรงลัพธ์ภายนอกกระทำ

สำหรับระบบที่มีอนุภาคหลายตัว (ดูปัญหาหลายวัตถุ) สมการการเคลื่อนที่ของอนุภาคตัวหนึ่ง i ที่ได้รับอิทธิพลจากอนุภาคตัวอื่น สามารถเขียนได้ดังนี้

$${\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}$$

โดยที่ p_i เป็นโมเมนตัมของอนุภาค i F_ij เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค i โดยอนุภาค j และ F_E เป็นแรงภายนอกรวมที่เกิดจากตัวกระทำใด ๆ ที่ไม่เป็นส่วนหนึ่งของระบบ ทั้งนี้ อนุภาค i จะไม่กระทำแรงต่อตัวมันเอง

กฎการเคลื่อนที่ของอ็อยเลอร์มีลักษณะคล้ายกับกฎของนิวตัน แต่ถูกนำไปใช้เฉพาะกับการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง สมการนิวตัน–อ็อยเลอร์จะรวมแรงและทอร์กที่กระทำต่อวัตถุแข็งเกร็งไว้ในสมการเดียว

กฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการหมุนมีรูปแบบคล้ายกับกรณีการเคลื่อนที่เชิงเส้น

$${\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\,$$

โดยกำหนดให้ทอร์กที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุม L อุปมานกับมวลคูณความเร่ง โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงเทนเซอร์ I ขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของมวลรอบแกนหมุน และความเร่งเชิงมุมคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุม จะได้

$${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} {\boldsymbol {\alpha }}$$

อีกครั้ง สมการเหล่านี้ใช้ได้กับจุดอนุภาคหรือทุกจุดบนวัตถุแข็งเกร็ง

เช่นเดียวกัน สำหรับหลายอนุภาค สมการการเคลื่อนที่สำหรับอนุภาคเดียว i สามารถเขียนได้เป็น

$${\frac {d\mathbf {L} _{i}}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}\,$$

โดยที่ L_i เป็นโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค i τ_ij เป็นทอร์กที่กระทำต่ออนุภาค i โดยอนุภาค j และ τ_E เป็นทอร์กภายนอกรวม (เกิดจากตัวกระทำใด ๆ ที่ไม่เป็นส่วนหนึ่งของระบบ) ทั้งนี้ อนุภาค i จะไม่กระทำทอร์กต่อตัวมันเอง

การประยุกต์

บางตัวอย่าง ของกฎของนิวตันรวมถึงการบรรยายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่าย

$$-mg\sin \theta =m{\frac {d^{2}(\ell \theta )}{dt^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta \,$$

และตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิกที่มีความหน่วงและถูกขับด้วยแรงรูปไซน์

$$F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x\right)\,$$

ในการอธิบายการเคลื่อนที่ของมวลภายใต้แรงโน้มถ่วง สามารถนำกฎความโน้มถ่วงของนิวตันมารวมกับกฎข้อที่สองของนิวตันได้ ตัวอย่างเช่น ลูกบอลมวล m ถูกโยนขึ้นไปในอากาศ ภายใต้กระแสอากาศ (เช่น ลม) ซึ่งอธิบายด้วยสนามเวกเตอร์ของแรงต้าน R = R(r, t) ดังนี้

$$-{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A}$$

โดยที่ G เป็นค่าคงตัวความโน้มถ่วงสากล M เป็นมวลของโลก และ A = R/m คือความเร่งของวัตถุที่เกิดจากกระแสอากาศ ณ ตำแหน่ง r และเวลา t

ปัญหา N วัตถุแบบดั้งเดิมสำหรับอนุภาค N ตัว ซึ่งแต่ละตัวมีปฏิสัมพันธ์กันด้วยแรงโน้มถ่วงเป็นระบบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับที่สองแบบไม่เชิงเส้นจำนวน N สมการที่เชื่อมโยงกัน

$${\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=G\sum _{i\neq j}{\frac {m_{j}}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})$$

โดยที่ i = 1, 2, ..., N ใช้ระบุปริมาณต่าง ๆ (เช่น มวล ตำแหน่ง ฯลฯ) ที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคแต่ละตัว

ดูเพิ่มเติม

• สเกลาร์ (ฟิสิกส์)
• เวกเตอร์
• ระยะทาง
• การกระจัด
• อัตราเร็ว
• ความเร็ว
• ความเร่ง
• การกระจัดเชิงมุม
• อัตราเร็วเชิงมุม
• ความเร็วเชิงมุม
• ความเร่งเชิงมุม
• แนววิถีเชิงพาราโบลา
• พิกัดเชิงเส้นโค้ง
• พิกัดเชิงตั้งฉาก
• กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
• การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
• สมการของตอร์รีเชลลี
• สมการอ็อยเลอร์–ลากร็องฌ์
• กฎการเคลื่อนที่นิวตัน–อ็อยเลอร์สำหรับวัตถุแข็งเกร็ง