วิธีวนซ้ำ

วิธีการวนซ้ำ (iterative method) เป็นคำทั่วไปสำหรับวิธีการในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข ที่ใช้การวนซ้ำ ในทางตรงกันข้าม วิธีการเชิงตัวเลขที่ได้คำตอบด้วยวิธีการโดยใช้ขั้นตอนที่จำนวนจำกัดนั้นเรียกว่าเป็น วิธีการทางตรง (direct method) ในวิธีวนซ้ำ จะเริ่มต้นจากอจุดเริ่มต้นที่เหมาะสม $x_{0}$ แล้วจึงทำการปรับค่าใหม่เป็น $x_{i+1}=x_{i}+d_{i}$ ได้เป็นลำดับจุด $\{x_{i}\}$ ซึ่งในที่สุดแล้วก็จะลู่เข้าสู่คำตอบที่เหมาะที่สุด มีการใช้งานมาเป็นเวลานานเนื่องจากถือว่าขั้นตอนวิธีมีความเรียบง่าย

ขั้นตอนวิธี

พิจารณาการทำให้ได้ค่า x ที่ f(x) = 0 สำหรับฟังก์ชัน f ที่ให้มา ขั้นตอนวิธีการวนซ้ำทั่วไปจะดำเนินการดังนี้:

1. กำหนดค่าเริ่มต้น x₀ ∈ Rⁿ ให้ i = 0
2. ความสัมพันธ์เวียนเกิด

   $x_{i+1}=g(x_{i})$

3. หา x_i+1 โดย โดยที่ g เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย f
4. หากพบเกณฑ์การตัดสินที่เหมาะสม

   $r(x_{i},x_{i+1})\leq \epsilon \quad (\epsilon >0)$

5. นั่นคือค่าลู่เข้าสู่ค่าหนึ่ง ก็ให้หยุดแล้วใช้ x_i นั้นเป็นคำตอบของปัญหานี้ แต่ถ้ายังไม่ลู่เข้าก็ให้กลับสู่ขั้นตอนที่ 2 โดยให้ i → i+1 โดยทั่วไปแล้วเกณฑ์การตัดสินที่ใช้ เช่น ความแตกต่างระหว่างค่าเก่ากับค่าใหม่

   $r(x_{i},x_{i+1})=|x_{i+1}-x_{i}|$

6. เป็นต้น