วงจรแบบอนุกรมและขนาน

วงจรไฟฟ้าแบบอนุกรมที่ต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า (เช่น แบตเตอรี่ หรือในภาพคือเซลล์ไฟฟ้า) และตัวต้านทานสามหน่วย

อุปกรณ์สองขั้วต่อและเครือข่ายไฟฟ้าที่สามารถเชื่อมต่อได้ทั้งวงจรแบบอนุกรมหรือวงจรแบบขนาน โดยเครือข่ายไฟฟ้าที่เกิดขึ้นจะมีขั้วสองขั้วต่อและสามารถนำไปใช้ในทอพอโลยีแบบอนุกรมหรือขนานได้อีก ไม่ว่าจะมองว่า "วัตถุ" สองขั้วต่อนั้นเป็นอุปกรณ์ไฟฟ้า (เช่น ตัวต้านทาน) หรือเป็นเครือข่ายไฟฟ้า (เช่น ตัวต้านทานที่ต่อกันแบบอนุกรม) นั้นจะขึ้นอยู่กับมุมมอง ในบทความนี้จะใช้คำว่า "อุปกรณ์" เพื่อสื่อถึง "วัตถุ" สองขั้วต่อที่มีบทบาทอยู่ในเครือข่ายแบบอนุกรมหรือขนาน

อุปกรณ์ที่ต่อกันแบบอนุกรมจะเชื่อมต่อกันตาม "แนวไฟฟ้า" เพียงเส้นทางเดียว และกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านแต่ละอุปกรณ์จะเท่ากัน และเท่ากับกระแสที่ไหลผ่านทั้งเครือข่าย แรงดันไฟฟ้ารวมที่ตกคร่อมเครือข่ายจะเท่ากับผลรวมของแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมแต่ละอุปกรณ์

อุปกรณ์ที่ต่อกันแบบขนานจะเชื่อมต่อกันตามหลายเส้นทาง และแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมแต่ละอุปกรณ์จะเท่ากัน และเท่ากับแรงดันที่ตกคร่อมทั้งเครือข่าย กระแสไฟฟ้ารวมที่ไหลผ่านเครือข่ายจะเท่ากับผลรวมของกระแสที่ไหลผ่านแต่ละอุปกรณ์

คำบรรยายทั้งสองก่อนหน้านี้มีความสมมูลกัน เว้นแต่มีการสลับบทบาทระหว่างแรงดันไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้า

วงจรที่ประกอบด้วยอุปกรณ์ที่ต่อกันแบบอนุกรมทั้งหมดเรียกว่า วงจรอนุกรม และในทำนองเดียวกัน วงจรที่เชื่อมต่อกันแบบขนานทั้งหมดเรียกว่า วงจรขนาน วงจรจำนวนมากสามารถวิเคราะห์ได้ว่าเป็นการรวมกันของวงจรอนุกรมและขนาน รวมถึงรูปแบบการเชื่อมต่ออื่นด้วย

ในวงจรแบบอนุกรม กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านแต่ละอุปกรณ์จะเท่ากัน และแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมทั้งวงจรจะเป็นผลรวมของแรงดันตกที่ตกคร่อมแต่ละอุปกรณ์ ส่วนในวงจรขนาน แรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมแต่ละอุปกรณ์จะเท่ากัน และกระแสไฟฟ้ารวมจะเป็นผลรวมของกระแสที่ไหลผ่านแต่ละอุปกรณ์

ลองพิจารณาวงจรอย่างง่ายที่ประกอบด้วยหลอดไฟทั้งหมดสี่ดวงและแบตเตอรี่รถยนต์ขนาด 12 โวลต์ ถ้ามีสายไฟเชื่อมจากแบตเตอรี่ไปยังหลอดไฟดวงแรก ต่อไปยังดวงที่สอง ดวงที่สาม ดวงที่สี่ แล้วจึงวนกลับมายังแบตเตอรี่ในแนวเดียวกันแบบต่อเนื่อง หลอดไฟเหล่านี้จะถือว่าต่อกันแบบอนุกรม แต่ถ้าหลอดไฟแต่ละดวงต่อเข้ากับแบตเตอรี่แยกกันเป็นแนวของตัวเอง หลอดไฟเหล่านี้จะถือว่าต่อกันแบบขนาน ถ้าหลอดไฟทั้งสี่ดวงต่อกันแบบอนุกรม กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านจะเท่ากันทั้งหมด และแรงดันไฟฟ้าจะตกคร่อมที่แต่ละหลอดประมาณ 3 โวลต์ ซึ่งอาจไม่เพียงพอให้หลอดไฟสว่าง แต่ถ้าหลอดไฟทั้งสี่ต่อกันแบบขนาน กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านแต่ละหลอดจะรวมกันเป็นกระแสรวมที่ไหลจากแบตเตอรี่ และแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมแต่ละหลอดจะเท่ากับ 12 โวลต์ ทำให้หลอดไฟทุกดวงสว่างได้

ในวงจรแบบอนุกรม อุปกรณ์ทุกชิ้นต้องทำงานเพื่อให้วงจรสมบูรณ์ หากหลอดไฟดวงหนึ่งขาด วงจรทั้งหมดก็จะถูกตัดขาดทำให้ไม่สามารถทำงานได้ ส่วนในวงจรแบบขนาน หลอดไฟแต่ละดวงมีวงจรของตัวเอง ดังนั้นแม้หลอดดวงอื่นจะขาดหมด หลอดสุดท้ายก็ยังคงทำงานได้ตามปกติ

วงจรแบบอนุกรม

วงจรแบบอนุกรม บางครั้งอาจเรียกว่า วงจรเชื่อมต่อด้วยกระแส (current-coupled) เนื่องจากกระแสในวงจรอนุกรมจะไหลผ่านทุกอุปกรณ์ที่อยู่ในวงจร ดังนั้น อุปกรณ์ทั้งหมดที่เชื่อมต่อกันแบบอนุกรมจะมีกระแสไฟฟ้าเท่ากัน

วงจรอนุกรมมีเพียงเส้นทางเดียวที่กระแสไฟฟ้าสามารถไหลผ่านได้ หากมีการเปิดหรือการขาดตอนของวงจรในตำแหน่งใดก็ตาม จะทำให้วงจรทั้งหมด "เปิด" หรือหยุดทำงานทันที ตัวอย่างเช่น ถ้าหลอดไฟดวงหนึ่งในไฟประดับต้นคริสต์มาสแบบเก่าเกิดขาดหรือมีการนำออก สายไฟทั้งเส้นจะไม่สามารถใช้งานได้ จนกว่าจะเปลี่ยนหลอดที่เสีย

กระแส

$$I=I_{1}=I_{2}=\cdots =I_{n}$$

ในวงจรอนุกรม กระแสไฟฟ้าจะเท่ากันสำหรับทุกส่วนประกอบในวงจร

แรงดัน

ในวงจรอนุกรม แรงดันไฟฟ้ารวมจะเท่ากับผลรวมของแรงดันตกที่ตกคร่อมแต่ละส่วนประกอบ (หน่วยความต้านทาน) $$V=\sum _{i=1}^{n}V_{i}=I\sum _{i=1}^{n}R_{i}$$

หน่วยความต้านทาน

ความต้านทานรวมของตัวต้านทานสองตัวหรือมากกว่าที่ต่อกันแบบอนุกรม จะเท่ากับผลรวมของค่าความต้านทานแต่ละตัว

$$R_{s}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}=R_{1}+R_{2}+R_{3}\cdots +R_{n}$$ ในที่นี้ ตัวห้อย s ใน R_s หมายถึง "อนุกรม" และ R_s หมายถึง ความต้านทานในวงจรแบบอนุกรม

ความนำ

ความนำไฟฟ้าเป็นปริมาณผกผันกับความต้านทาน ดังนั้น ค่าความนำรวมของวงจรอนุกรมที่มีเฉพาะความต้านทาน สามารถคำนวณได้จากนิพจน์ต่อไปนี้ $$G=\left(\sum _{i=1}^{n}{1 \over G_{i}}\right)^{-1}=\left({1 \over G_{1}}+{1 \over G_{2}}+{1 \over G_{3}}+\dots +{1 \over G_{n}}\right)^{-1}$$

ในกรณีพิเศษที่มีความนำไฟฟ้าสองค่าที่ต่อกันแบบอนุกรม ค่าความนำไฟฟ้ารวมจะเท่ากับ $$G={\frac {G_{1}G_{2}}{G_{1}+G_{2}}}$$

วงจรแบบขนาน

การเปรียบเทียบค่าความต้านทาน ความเหนี่ยวนำ และความจุไฟฟ้าที่เกิดขึ้นจากตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุสองตัวเมื่อต่อกันแบบอนุกรมและแบบขนาน

หากมีอุปกรณ์สองชิ้นหรือมากกว่าต่อกันแบบขนาน อุปกรณ์เหล่านี้จะมีความต่างศักย์ (แรงดัน) ที่ตกคร่อมปลายทั้งสองข้างเท่ากัน ความต่างศักย์ที่ตกคร่อมอุปกรณ์แต่ละชิ้นจะมีขนาดเท่ากัน และมีขั้วที่เหมือนกันด้วย แรงดันไฟฟ้าเดียวกันจะจ่ายให้กับอุปกรณ์ทุกชิ้นที่ต่อขนานกัน กระแสรวมในวงจรจะเท่ากับผลรวมของกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านอุปกรณ์แต่ละชิ้น ตามกฎกระแสของเคียร์ชฮ็อฟ

แรงดัน

ในวงจรแบบขนาน แรงดันจะเท่ากันสำหรับทุกส่วนประกอบในวงจร $$V=V_{1}=V_{2}=\dots =V_{n}$$

กระแส

กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัวสามารถหาได้โดยใช้กฎของโอห์ม เมื่อนำแรงดันไฟฟ้าออกมาแยกเป็นตัวประกอบ จะได้ว่า $$I=\sum _{i=1}^{n}I_{i}=V\sum _{i=1}^{n}{1 \over R_{i}}$$

หน่วยความต้านทาน

ในการหาความต้านทานรวมของอุปกรณ์ทั้งหมดในวงจรขนาน ให้บวกส่วนกลับของค่าความต้านทาน $R_{i}$ ของแต่ละอุปกรณ์เข้าด้วยกัน แล้วจึงนำผลรวมนั้นไปหาส่วนกลับอีกครั้ง ซึ่งค่าความต้านทานรวมที่ได้จะมีค่าต่ำกว่าค่าความต้านทานของอุปกรณ์ที่มีค่าน้อยที่สุดเสมอ

$$R=\left(\sum _{i=1}^{n}{1 \over R_{i}}\right)^{-1}=\left({1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}}+{1 \over R_{3}}+\dots +{1 \over R_{n}}\right)^{-1}$$

สำหรับกรณีที่มีความต้านทานเพียงสองค่า นิพจน์ที่ไม่ต้องหาส่วนกลับจะค่อนข้างง่าย ดังนี้ $$R={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$$

นิพจน์นี้บางครั้งอาจเรียกด้วยคำช่วยจำว่า ผลคูณหารด้วยผลบวก (product over sum)

สำหรับตัวต้านทานจำนวน N ตัวที่มีค่าความต้านทานเท่ากันและต่อกันแบบขนาน นิพจน์หาส่วนกลับของความต้านทานรวมจะง่ายขึ้นเป็น $${\frac {1}{R}}=N{\frac {1}{R}}$$ และดังนั้น จะได้ $$R={\frac {R}{N}}$$

ในการหากระแสที่ไหลผ่านอุปกรณ์ที่มีค่าความต้านทาน $R_{i}$ ให้ใช้กฎของโอห์มอีกครั้ง $$I_{i}={\frac {V}{R_{i}}}\,$$

อุปกรณ์ต่าง ๆ จะแบ่งกระแสตามส่วนกลับของค่าความต้านทานของแต่ละตัว ดังนั้นในกรณีของตัวต้านทานสองตัว จะได้ $${\frac {I_{1}}{I_{2}}}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}$$

คำเก่าที่ใช้เรียกอุปกรณ์ที่ต่อกันแบบขนานคือ มัลติเพิล (multiple) เช่น การต่อแบบมัลติเพิลสำหรับหลอดไฟอาร์ก

ความนำ

จากความนำไฟฟ้า $G$ มีความสัมพันธ์เป็นส่วนกลับกับความต้านทาน จะได้นิพจน์สำหรับหาค่าความนำไฟฟ้ารวมของวงจรขนานที่มีตัวต้านทานได้ดังนี้ $$G=\sum _{i=1}^{n}G_{i}=G_{1}+G_{2}+G_{3}\cdots +G_{n}$$

ความสัมพันธ์ระหว่างค่าความนำรวมและค่าความต้านทานรวมมีลักษณะเป็นความสัมพันธ์แบบเติมเต็ม กล่าวคือนิพจน์สำหรับการต่อแบบอนุกรมของความต้านทานจะเหมือนกับนิพจน์สำหรับการต่อแบบขนานของความนำ และในทางกลับกันก็เป็นเช่นเดียวกัน

การรวมค่าความนำ

จากกฎวงจรของเคียร์ชฮ็อฟ จะสามารถสรุปกฎสำหรับการรวมค่าความนำได้ สำหรับตัวนำสองตัวคือ $G_{1}$ และ $G_{2}$ ที่ต่อกันแบบขนาน จะมีแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมเท่ากัน และจากกฎกระแสของเคียร์ชฮ็อฟ (KCL) กระแสรวมทั้งหมดจะเท่ากับ $$I=I_{1}+I_{2}$$

เมื่อนำกฎของโอห์มมาแทนในรูปของความนำ จะได้ $$GV=G_{1}V+G_{2}V$$ และความนำสมมูลจะมีค่าเท่ากับ $$G=G_{1}+G_{2}$$

สำหรับตัวนำ $G_{1}$ และ $G_{2}$ ที่ต่อกันแบบอนุกรมกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านจะมีค่าเท่ากัน และตามกฎแรงดันของเคียร์ชฮ็อฟ แรงดันตกคร่อมทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของแรงดันที่ตกคร่อมแต่ละตัวนำ กล่าวคือ $$V=V_{1}+V_{2}$$

เมื่อนำกฎของโอห์มมาแทนในรูปของความนำ จะได้ $${\frac {I}{G}}={\frac {I}{G_{1}}}+{\frac {I}{G_{2}}}$$ ซึ่งนำไปสู่นิพจน์สำหรับหาค่าความนำสมมูลที่ว่า $${\frac {1}{G}}={\frac {1}{G_{1}}}+{\frac {1}{G_{2}}}$$

สมการนี้สามารถจัดรูปใหม่ได้เล็กน้อย ซึ่งการจัดรูปในลักษณะนี้จะสามารถทำได้แค่ในเฉพาะกรณีที่มีส่วนประกอบเพียงสองตัวเท่านั้น

$$G={\frac {G_{1}G_{2}}{G_{1}+G_{2}}}$$ สำหรับตัวนำสามตัวที่ต่อกันแบบอนุกรม จะได้ $$G={\frac {G_{1}G_{2}G_{3}}{G_{1}G_{2}+G_{1}G_{3}+G_{2}G_{3}}}$$

สัญกรณ์

ค่าของส่วนประกอบสองตัวที่ต่อกันแบบขนานมักแทนด้วยตัวดำเนินการการขนานคือ เครื่องหมายขีดตั้งสองขีด (∥) ซึ่งยืมมาจากสัญกรณ์เส้นขนานในทางเรขาคณิต $$R\equiv R_{1}\parallel R_{2}\equiv \left(R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}\right)^{-1}\equiv {\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$$

การจัดให้อยู่ในรูปอย่างง่ายนี้ช่วยลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่อาจจะเกิดขึ้นจากการกระจายพจน์ต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น $$R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}\equiv {\frac {R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}}$$

อ่านเพิ่มเติม

• Williams, Tim (2005). The Circuit Designer's Companion. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-6370-7.
• "Resistor combinations: How many values using 1K ohm resistors?". EDN magazine.
• Grotz, Bernhard (2018-01-04). "Strömungswiderstand". Mechanik der Flüssigkeiten (ภาษาเยอรมัน).