วงจรอาร์ซี

วงจรตัวต้านทาน–ตัวเก็บประจุ (วงจรอาร์ซี) หรือ วงจรกรองอาร์ซี หรือ วงจรข่ายอาร์ซี เป็นวงจรไฟฟ้าประกอบด้วยตัวต้านทานและตัวเก็บประจุ ซึ่งอาจขับเคลื่อนด้วยแรงดันไฟฟ้าหรือแหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้าและสิ่งเหล่านี้จะก่อให้เกิดการตอบสนองที่ต่างกัน ในลำดับแรกวงจรอาร์ซีประกอบด้วยตัวต้านทานหนึ่งตัวและตัวเก็บประจุหนึ่งตัวและถือเป็นประเภทของวงจรอาร์ซีที่ง่ายที่สุด

วงจรอาร์ซีสามารถใช้กรองสัญญาณได้ โดยทำหน้าที่ปิดกั้นบางความถี่และปล่อยให้บางความถี่ผ่านไปได้ วงจรกรองอาร์ซีที่พบบ่อยที่สุดสองแบบคือวงจรกรองผ่านสูง (high-pass filter) และวงจรกรองผ่านต่ำ (low-pass filter) ส่วนวงจรกรองผ่านแถบ (band-pass filter) และวงจรกรองหยุดแถบ (band-stop filter) มักต้องใช้วงจรกรองอาร์เอลซีแต่อาจสร้างแบบอย่างง่ายได้ด้วยวงจรอาร์ซีเช่นกัน

การตอบสนองตามธรรมชาติ

วงจรอาร์ซีอย่างง่ายที่สุด

วงจรอาร์ซีอย่างง่ายที่สุดประกอบด้วยตัวต้านทานที่มีความต้านทาน R และตัวเก็บประจุที่มีความจุ C ต่อเข้าด้วยกันในวงจรปิดเพียงวงเดียวโดยไม่มีแหล่งจ่ายแรงดันภายนอก ตัวเก็บประจุจะคายพลังงานที่เก็บไว้ผ่านตัวต้านทาน และถ้าให้ V(t) เป็นแรงดันไฟฟ้าของแผ่นขั้วบนของตัวเก็บประจุเมื่อเทียบกับแผ่นขั้วล่าง ดังรูป จากความสัมพันธ์กระแส–แรงดันของตัวเก็บประจุ กล่าวว่า กระแส I(t) ที่ ไหลออก จากแผ่นขั้วบนของตัวเก็บประจุจะมีค่าเท่ากับ ผลคูณระหว่าง C กับ ค่าลบ ของอนุพันธ์ของ V(t) เทียบกับเวลา โดยกฎกระแสของเคิร์ชฮอฟฟ์ กล่าวว่า กระแสนี้เป็นกระแสเดียวกับกระแสที่ไหลเข้าสู่ด้านบนของตัวต้านทาน ซึ่งตามกฎของโอห์มมีค่าเท่ากับ V(t)/R จากความสัมพันธ์จะได้สมการอนุพันธ์เชิงเส้นสำหรับวงจรนี้

$$\overbrace {C{\frac {-\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}} ^{\text{กระแสตัวเก็บประจุ}}=\overbrace {\frac {V(t)}{R}} ^{\text{กระแสตัวต้านทาน}}$$

ซึ่งสามารถจัดรูปใหม่ตามรูปแบบมาตรฐานสำหรับการลดระดับแบบเลขชี้กำลังได้

$${\frac {\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{RC}}V(t)$$

ซึ่งหมายความว่า อัตราการลดลงของแรงดันไฟฟ้าบัดดล ณ เวลาหนึ่ง เป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงดันไฟฟ้า ณ เวลานั้น เมื่อนำสมการมาแก้สำหรับ V(t) จะได้กราฟเส้นโค้งการลดระดับแบบเลขชี้กำลังที่ลดลงเข้าใกล้ศูนย์เชิงเส้นกำกับ

$$V(t)=V_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}$$

โดยที่ V₀ เป็นแรงดันตัวเก็บประจุ ที่เวลา t = 0 และ e เป็นจำนวนของออยเลอร์

เวลาที่ต้องการเพื่อให้แรงดันไฟฟ้าลดลงถึง V₀/e เรียกว่าค่าคงที่เวลาอาร์ซี โดยกำหนดให้

$$\tau =RC$$

ตามระบบหน่วยวัดระหว่างประเทศ (เอสไอ) ค่าความต้านทาน R มีหน่วยเป็นโอห์ม และค่าความจุ C มีหน่วยเป็นฟารัด ดังนั้นค่าคงที่เวลา τ จะมีหน่วยเป็นวินาที โดยที่เวลาหนึ่ง ๆ ค่าของประจุหรือแรงดันของตัวเก็บประจุ N·τ จะเป็น 1/e^N เท่าของค่าตั้งต้น ดังนั้น ถ้าประจุหรือแรงดันของตัวเก็บประจุเริ่มต้นที่ร้อยละ 100 จะเหลือร้อยละ 36.8 ที่เวลา 1·τ เหลือร้อยละ 13.5 ที่เวลา 2·τ เหลือร้อยละ 5 ที่เวลา 3·τ เหลือร้อยละ 1.8 ที่เวลา 4·τ และเหลือน้อยกว่าร้อยละ 0.7 ที่เวลา 5·τ และถัดไป

ครึ่งชีวิต (t_1/2) คือช่วงเวลาที่ประจุหรือแรงดันของตัวเก็บประจุลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าตั้งต้น

$${\frac {1}{2}}=e^{-{\tfrac {t_{1/2}}{\tau }}}\quad \Rightarrow \quad t_{1/2}=\ln(2)\,\tau \approx {\text{0.693}}\,\tau$$

ตัวอย่างเช่น ประจุหรือแรงดันเหลืออยู่ร้อยละ 50 ที่เวลา 1·t_1/2 ถัดไปเหลืออยู่ร้อยละ 25 ที่เวลา 2·t_1/2 ถัดไปเหลืออยู่ร้อยละ 12.5 ที่เวลา 3·t_1/2 และจะเหลืออยู่ที่ 1/2^N ของค่าตั้งต้น ที่เวลา N·t_1/2

เครื่องคิดเลขการคายประจุวงจรอาร์ซี

0.000001

1000000

1

1

1

1

1

1

1

.368

36.8

1

0.368

1 1

1

0.159

1

1

1

1

ตัวอย่างเช่น ความต้านทานที่ 1  กับความจุที่ 1  สร้างค่าคงที่เวลาประมาณ 1 วินาที ค่า τ นี้สอดคล้องกับความถี่คัตออฟที่ประมาณ 159 มิลลิเฮิรตซ์ หรือ 1 เรเดียนต่อวินาที ถ้าตัวเก็บประจุมีแรงดันเริ่มต้น V₀ ที่ 1 , และหลังจาก 1 τ (ประมาณ 1 วินาที หรือ 1.443 ครึ่งชีวิต) แรงดันของตัวเก็บประจุจะคายประจุประมาณ 368 มิลลิโวลต์

 V_C(1τ) ≈ 36.8% of V₀ 

ดูเพิ่มเติม

• ค่าคงที่เวลาอาร์ซี
• วงจรอาร์เอล
• วงจรเอลซี
• วงจรอาร์แอลซี
• เครือข่ายไฟฟ้า
• สัญญาณรบกวนจอห์นสัน–นือควิสต์ § Notes – ให้การอนุพัทธ์ของสัญญาณรบกวนเคทีซี ที่เกิดจากตัวต้านทานที่มีตัวเก็บประจุไว้ดังนี้

$V_{\text{rms}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}$

บรรณานุกรม

• Bakshi, U.A.; Bakshi, A.V., Circuit Analysis - II, Technical Publications, 2009 ISBN 9788184315974.
• Horowitz, Paul; Hill, Winfield, The Art of Electronics (3rd edition), Cambridge University Press, 2015 ISBN 0521809266.