ลูกตุ้ม

บทความนี้เกี่ยวกับตุ้มน้ำหนักที่แขวนไว้กับจุดหมุน สำหรับการใช้งานอื่นๆ ดูที่ ลูกตุ้ม (แก้ความกำกวม)

แบบจำลอง "ลูกตุ้มอย่างง่าย" สมมติว่าไม่มีแรงเสียดทานหรือแรงต้านอากาศ

ลูกตุ้ม (Pendulum) คืออุปกรณ์เชิงกลที่ประกอบด้วยตุ้มน้ำหนักที่แขวนไว้กับจุดหมุนเพื่อให้สามารถแกว่งได้อย่างอิสระ เมื่อลูกตุ้มถูกทำให้เบี่ยงเบนออกไปด้านข้างจากตำแหน่งสมดุลกลเดิม มันจะถูกกระทำด้วยแรงดึงกลับ (Restoring force) เนื่องจากแรงโน้มถ่วง ซึ่งจะเร่งความเร็วมันกลับสู่ตำแหน่งสมดุล เมื่อปล่อย แรงดึงกลับที่กระทำต่อมวลของลูกตุ้มจะทำให้มันแกว่งกวัดรอบตำแหน่งสมดุล โดยแกว่งไปและกลับ ระยะเวลาสำหรับการครบรอบหนึ่งรอบ ซึ่งประกอบด้วยการแกว่งซ้ายและการแกว่งขวา หรือเรียกว่า คาบ (Period) โดยทั่วไปจะขึ้นอยู่กับความยาวของลูกตุ้มและขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด (ความกว้างของการแกว่งของลูกตุ้ม) บ้างเล็กน้อย หน่วย SI ของคาบของลูกตุ้มคือวินาที (s)

การเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอของลูกตุ้มทำให้มันเหมาะสำหรับการบอกเวลา นาฬิกาลูกตุ้มถูกประดิษฐ์ขึ้นโดย คริสตียาน เฮยเคินส์ (Christiaan Huygens) ในปี ค.ศ. 1656 และกลายเป็นมาตรฐานการบอกเวลาของโลก ซึ่งใช้กันตามบ้านเรือนและสำนักงานเป็นเวลา 270 ปี นาฬิกาชอตต์-ซิงโครโนม (Shortt-Synchronome clock) มีความแม่นยำสูงถึงประมาณหนึ่งวินาทีต่อปี ก่อนที่จะถูกแทนที่ในฐานะมาตรฐานเวลาด้วยนาฬิกาควอตซ์ในทศวรรษที่ 1930 นอกจากนี้ ลูกตุ้มยังถูกใช้ในเครื่องมือวัดทางวิทยาศาสตร์ เช่น มาตรความเร่ง (Accelerometer) และเครื่องตรวจวัดแผ่นดินไหว (Seismometer) ในอดีต ลูกตุ้มเคยถูกใช้เป็นเครื่องวัดความโน้มถ่วง (Gravimeter) เพื่อวัดความเร่งโน้มถ่วงในการสำรวจธรณีฟิสิกส์ และใช้เป็นมาตรฐานความยาว คำว่า pendulum เป็นคำภาษานีโอละติน มาจากภาษาละติน pendulus ซึ่งหมายถึง 'การห้อยหรือแขวน'

กลศาสตร์

บทความหลัก: ลูกตุ้ม (กลศาสตร์)

ลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่าย

ลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่าย คือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติของลูกตุ้ม ซึ่งประกอบด้วยน้ำหนัก (หรือตุ้มมวล) ที่ปลายสายเชือกไร้มวลซึ่งแขวนไว้กับจุดหมุน โดยไม่มีแรงเสียดทาน เมื่อให้แรงผลักเริ่มต้น มันจะแกว่งไปมาด้วยแอมพลิจูดคงที่ ลูกตุ้มในความเป็นจริงนั้นต้องเผชิญกับแรงเสียดทานและแรงต้านอากาศ ดังนั้นแอมพลิจูดของการแกว่งจึงค่อย ๆ ลดลง

ลูกตุ้ม (Pendulum)

แอนิเมชันของลูกตุ้มแสดงแรงที่กระทำต่อตุ้มมวล ได้แก่ แรงตึงเชือก T และแรงโน้มถ่วง mg

แอนิเมชันของลูกตุ้มแสดงเวกเตอร์ความเร็วและความเร่ง

คาบของการแกว่งกวัด

คาบของลูกตุ้มจะยาวขึ้นเมื่อแอมพลิจูด θ₀ (ความกว้างของการแกว่ง) เพิ่มขึ้น

คาบการแกว่งของลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่าย ขึ้นอยู่กับความยาวของมัน, ความเข้มของแรงโน้มถ่วง ณ จุดนั้น, และขึ้นอยู่กับมุมสูงสุดที่ลูกตุ้มแกว่งออกไปจากแนวตั้ง (เรียกว่า θ₀ หรือแอมพลิจูด) เล็กน้อย โดยไม่ขึ้นอยู่กับมวลของตุ้มมวล หากแอมพลิจูดจำกัดให้อยู่ในการแกว่งมุมแคบ คาบ T ของลูกตุ้มอย่างง่าย ซึ่งเป็นเวลาที่ใช้ในการครบรอบหนึ่งรอบ จะมีค่าเท่ากับ:

$$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1{\text{ radian}}$$

(1)

โดยที่ $L$ คือความยาวของลูกตุ้ม และ $g$ คือความเร่งโน้มถ่วง ณ จุดนั้น

สำหรับการแกว่งมุมแคบ คาบการแกว่งจะมีค่าใกล้เคียงกันสำหรับการแกว่งที่มีขนาดต่างกัน นั่นคือ คาบจะไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด สมบัติข้อนี้เรียกว่าการคงความถี่ (Isochronism) ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมลูกตุ้มจึงมีประโยชน์มากสำหรับการบอกเวลา การแกว่งที่ต่อเนื่องกันของลูกตุ้ม จะใช้เวลาเท่ากันแม้ว่าแอมพลิจูดจะเปลี่ยนแปลงไปก็ตาม

สำหรับแอมพลิจูดที่มีขนาดใหญ่ขึ้น คาบจะค่อย ๆ เพิ่มขึ้นตามแอมพลิจูด ทำให้มีค่ายาวกว่าที่คำนวณได้จากสมการ (1) ตัวอย่างเช่น ที่แอมพลิจูด θ₀ = 0.4 เรเดียน (23°) คาบจะมีค่ามากกว่าสมการ (1) อยู่ 1% คาบจะเพิ่มขึ้นแบบเข้าใกล้ (อนันต์) เมื่อ θ₀ เข้าใกล้ π เรเดียน (180°) เนื่องจากค่า θ₀ = π คือตำแหน่งสมดุลที่ไม่เสถียรของลูกตุ้ม คาบที่แท้จริงของลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่ายในอุดมคติสามารถเขียนได้หลายรูปแบบ หนึ่งในตัวอย่างคือในรูปของอนุกรมอนันต์: $$T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)$$ โดยที่ $\theta _{0}$ มีหน่วยเป็นเรเดียน

ความแตกต่างระหว่างคาบที่แท้จริงนี้กับคาบสำหรับการแกว่งมุมแคบ (1) ด้านบนเรียกว่า ความคลาดเคลื่อนเชิงวงกลม (Circular error) ในกรณีของนาฬิกาลูกตุ้มตั้งพื้น (Grandfather clock) ทั่วไป ซึ่งลูกตุ้มมีการแกว่งกว้าง 6° และมีแอมพลิจูดเท่ากับ 3° (0.05 เรเดียน) ความแตกต่างระหว่างคาบที่แท้จริงกับการประมาณค่ามุมน้อย (1) จะคิดเป็นเวลาประมาณ 15 วินาทีต่อวัน

สำหรับการแกว่งมุมแคบ ลูกตุ้มจะมีพฤติกรรมใกล้เคียงกับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก และการเคลื่อนที่เป็นฟังก์ชันของเวลา t จะมีลักษณะใกล้เคียงกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: $$\theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,t+\varphi \right)$$ โดยที่ $\varphi$ คือค่าคงที่ ซึ่งขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น

สำหรับลูกตุ้มในความเป็นจริง คาบจะแปรผันเล็กน้อยตามปัจจัยต่างๆ เช่น แรงลอยตัวและความต้านทานหนืดของอากาศ, มวลของเชือกหรือก้าน, ขนาดและรูปร่างของตุ้มมวลรวมถึงวิธีการยึดติดกับเชือก, ตลอดจนความยืดหยุ่นและการยืดตัวของเชือก ในงานที่ต้องการความแม่นยำสูง อาจจำเป็นต้องนำปัจจัยเหล่านี้มาคำนวณปรับแก้สมการ (1) เพื่อให้ได้ค่าคาบที่ถูกต้องแม่นยำ

ลูกตุ้มที่มีการหน่วงและถูกขับเคลื่อน (Damped, driven pendulum) ถือเป็นระบบอลวน (Chaotic system)

ลูกตุ้มเชิงซ้อน

วัตถุแข็งเกร็งที่แกว่งได้และมีอิสระในการหมุนรอบแกนแนวนอนตรึงกับที่ เรียกว่า ลูกตุ้มเชิงซ้อน (Compound pendulum) หรือ ลูกตุ้มกายภาพ (Physical pendulum) ลูกตุ้มเชิงซ้อนจะมีคาบการแกว่งเท่ากับลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่ายที่มีความยาว $\ell ^{\mathrm {eq} }$ ซึ่งเรียกว่า ความยาวสมมูล (Equivalent length) หรือ รัศมีของการแกว่งกวัด (Radius of oscillation) โดยมีค่าเท่ากับระยะทางจากจุดหมุนไปยังจุดที่เรียกว่า ศูนย์กลางของการแกว่งกวัด (Center of oscillation) จุดนี้จะอยู่ต่ำกว่าจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้ม ลงมาเป็นระยะทางที่ขึ้นอยู่กับการกระจายมวลของลูกตุ้มนั้น หากมวลส่วนใหญ่กระจุกตัวอยู่ที่ตุ้มมวลค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบกับความยาวของลูกตุ้ม ศูนย์กลางของการแกว่งจะอยู่ใกล้กับจุดศูนย์กลางมวล

รัศมีของการแกว่งหรือความยาวสมมูล $\ell ^{\mathrm {eq} }$ ของลูกตุ้มกายภาพใดๆ สามารถแสดงได้ดังนี้ $$\ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\mathrm {CM} }}}$$

โดยที่ $I_{O}$ คือโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มรอบจุดหมุน $O$, $m$ คือมวลรวมของลูกตุ้ม และ $r_{\mathrm {CM} }$ คือระยะห่างระหว่างจุดหมุนกับจุดศูนย์กลางมวล เมื่อแทนค่านิพจน์นี้ลงในสมการ (1) ด้านบน คาบ $T$ ของลูกตุ้มเชิงซ้อนจึงกำหนดโดย $$T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}$$ สำหรับการแกว่งที่มีมุมน้อยเพียงพอ

ตัวอย่างเช่น แท่งวัตถุแข็งเกร็งสม่ำเสมอมีความยาว $\ell$ และมีจุดหมุนอยู่ที่ปลายด้านหนึ่ง จะมีโมเมนต์ความเฉื่อย ${\textstyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$ จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ที่กึ่งกลางของแท่งวัตถุ ดังนั้น ${\textstyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{2}}\ell }$ เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการข้างต้นจะได้ ${\textstyle T=2\pi {\sqrt {\frac {{\frac {2}{3}}\ell }{g}}}}$ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าลูกตุ้มที่เป็นแท่งวัตถุแข็งเกร็งจะมีคาบการแกว่งเท่ากับลูกตุ้มอย่างง่ายที่มีความยาวเป็นสองในสามของความยาวแท่งนั้น

คริสตียาน เฮยเคินส์ ได้พิสูจน์ไว้ในปี ค.ศ. 1673 ว่าจุดหมุนและศูนย์กลางของการแกว่งสามารถสลับที่กันได้ ซึ่งหมายความว่าหากพลิกลูกตุ้มคว่ำลงและทำให้แกว่งจากจุดหมุนที่อยู่ตรงตำแหน่งศูนย์กลางของการแกว่งเดิม ลูกตุ้มจะมีคาบการแกว่งเท่าเดิม และศูนย์กลางของการแกว่งอันใหม่จะไปอยู่ที่ตำแหน่งจุดหมุนเดิม ในปี ค.ศ. 1817 เฮนรี เคเทอร์ (Henry Kater) ได้นำแนวคิดนี้มาประดิษฐ์ลูกตุ้มชนิดที่สามารถสลับหัวท้ายได้ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ ลูกตุ้มเคเทอร์ (Kater pendulum) เพื่อใช้ในการวัดความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงให้มีความแม่นยำยิ่งขึ้น

ลูกตุ้มคู่

แอนิเมชันของลูกตุ้มคู่เชิงซ้อนแสดงพฤติกรรมแบบอลวน (Chaotic) ส่วนทั้งสองมีความยาวและมวลเท่ากัน โดยมวลกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอตามความยาวของแต่ละส่วน และมีจุดหมุนอยู่ที่ปลายสุด การเคลื่อนที่คำนวณโดยใช้วิธีรุงเง-คุททา อันดับสี่ (Fourth-order Runge–Kutta method)

บทความหลัก: ลูกตุ้มคู่

ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ สาขาระบบพลวัต ลูกตุ้มคู่ (Double pendulum) หรือที่รู้จักกันในชื่อลูกตุ้มอลวน คือลูกตุ้มที่มีลูกตุ้มอีกอันหนึ่งติดไว้ที่ปลาย ซึ่งก่อให้เกิดระบบกายภาพอย่างง่ายที่แสดงพฤติกรรมทางพลศาสตร์ที่ซับซ้อน พร้อมด้วยความไวสูงต่อเงื่อนไขเริ่มต้น การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มคู่ถูกควบคุมด้วยชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญคู่ควบ และมีพฤติกรรมแบบอลวน