ลำดับโคชี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
(a) กราฟที่ได้จากการพล็อตลำดับโคชี (สีน้ำเงิน) บนระบบพิกัดฉาก เทียบกับค่า ถ้าปริภูมิของลำดับนี้เป็นปริภูมิบริบูรณ์ แล้วลำดับโคชีจะมีลิมิตเสมอ
(b) ตัวอย่างลำดับที่ไม่เป็นลำดับโคชี สมาชิกของลำดับไม่ได้เข้าใกล้มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อพจน์ของมันมากขึ้นเรื่อย ๆ

ในคณิตศาสตร์ ลำดับโคชี (อังกฤษ: Cauchy sequence) เป็นลำดับที่สมาชิกเข้าใกล้กันมากขึ้นเมื่อลำดับนั้นล่วงไป หรือเมื่อพิจารณาพจน์ที่ตำแหน่งสูงขึ้นเรื่อย ๆ[1] หากกล่าวให้รัดกุมยิ่งขึ้นคือ เมื่อกำหนดระยะห่างค่าบวกเป็นค่าน้อยเท่าไหร่ก็ตาม เกือบทุกสมาชิกของลำดับยกเว้นแต่สมาชิกจำนวนจำกัดตัว จะอยู่ห่างกันน้อยกว่าระยะห่างที่กำหนด

ลำดับนี้ตั้งชื่อตามโอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี

เงื่อนไขที่ว่าทุกพจน์ติดกันของลำดับจะอยู่ใกล้กันเท่าไรก็ได้ (arbitrarily close) นั้นไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น ลำดับของรากที่สองของจำนวนธรรมชาติ พจน์ที่อยู่ติดกันจะอยู่ใกล้กันเท่าไหร่ก็ได้ เนื่องจาก

แต่ลำดับดังกล่าวไม่เป็นลำดับลู่เข้า ทั้งนี้เพราะว่าพจน์ มีค่ามากได้ไม่จำกัด และทุกจำนวนเต็มบวก และระยะทางค่าบวก ใด ๆ จะมีจำนวนเต็มบวก ที่ทำให้ ลำดับดังกล่าวจึงไม่เป็นลำดับโคชี

ในระบบจำนวนจริง[แก้]

ลำดับ ของจำนวนจริงจะเรียกว่าเป็นลำดับโคชี ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริงบวก จะมีจำนวนเต็มบวก ที่ทำให้สำหรับทุกจำนวนนับ จะได้ว่า

สำหรับจำนวนจริง ใด ๆ ลำดับที่เกิดจากการกระจายทศนิยมแล้วตัดทอนทศนิยมตำแหน่งต่าง ๆ ของ จะเป็นลำดับโคชี ตัวอย่างเช่น เมื่อ จะสร้างลำดับโคชีได้เป็น (3, 3.1, 3.14, 3.141, . . . ) เทอมที่ และ ของลำดับจะต่างกันได้มากสุด เมื่อ จึงส่งผลให้เมื่อ มีค่าโตขึ้น ผลต่างของเทอมที่ และ จะน้อยกว่าจำนวนบวก ใดที่กำหนดได้

ในปริภูมิเมตริก[แก้]

เนื่องจากนิยามของลำดับโคชีนั้นใช้แนวคิดเกี่ยวกับเมตริกเท่านั้น จึงสามารถขยายนัยทั่วไปยังปริภูมิเมตริก ใด ๆ ได้ โดยเปลี่ยนฟังก์ชันค่าสมบูรณ์ของ เป็นฟังก์ชันเมตริก ของปริภูมิเมตริกนั้น

ความบริบูรณ์[แก้]

ปริภูมิเมตริก ที่ทุกลำดับโคชีลู่เข้าใน เรียกว่าปริภูมิสมบูรณ์

ตัวอย่าง[แก้]

ระบบจำนวนจริงเป็นปริภูมิสมบูรณ์ภายใต้เมตริกค่าสัมบูรณ์ปกติ และวิธีการสร้างจำนวนจริงที่รู้จักกันทั่วไปนั้นใช้ลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะ ในการสร้างจำนวนจริงข้างต้น ทุกชั้นสมมูลของลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะที่มีพฤติกรรมอย่างเดียวกัน จะถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริง

อ้างอิง[แก้]

  1. Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., ISBN 978-0-201-55540-0