รูปแบบกำลังสอง

ในคณิตศาสตร์ รูปแบบกำลังสอง (อังกฤษ: quadratic form) คือพหุนามชนิดหนึ่งที่ทุก ๆ พจน์มีดีกรี (เลขชี้กำลังของตัวแปรที่บวกกัน) เท่ากับสองทั้งหมด ตัวอย่างเช่น $$4x^{2}+2xy-3y^{2}$$ เป็นรูปแบบกำลังสองในตัวแปร x และ y โดยทั่วไปแล้ว สัมประสิทธิ์ของรูปแบบกำลังสองมักจะมาจากฟีลด์ K ที่กำหนดไว้ เช่น จำนวนจริง หรือจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งเราจะเรียกรูปแบบกำลังสองนั้นว่า รูปแบบกำลังสองบนฟีลด์ K เมื่อพิจารณาบนฟีลด์ของจำนวนจริง รูปแบบกำลังสองจะถูกเรียกว่าเป็นรูปแบบกำหนดแน่ก็ต่อเมื่อค่าของรูปแบบกำลังสองดังกล่าวจะเป็นศูนย์ได้เพียงกรณีเดียวเท่านั้น คือเมื่อตัวแปรทุกตัวมีค่าเป็นศูนย์พร้อมกัน ถ้าไม่ใช่กรณีดังกล่าว รูปแบบกำลังสองนั้นจะถูกเรียกว่าเป็นรูปแบบไอโซทรอปิก

รูปแบบกำลังสองถือเป็นแกนกลางในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็นทฤษฎีจำนวน พีชคณิตเชิงเส้น ทฤษฎีกรุป (กรุปเชิงตั้งฉาก) เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (เมตริกรีมันน์และรูปแบบหลักมูลที่สอง) ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ (รูปแบบอินเตอร์เซกชันของแมนิโฟลด์ โดยเฉพาะแบบสี่แมนิโฟลด์) ทฤษฎีลี (รูปแบบคิลลิง) และสถิติศาสตร์ (ซึ่งเลขชี้กำลังของการแจกแจงปรกติหลายตัวแปรที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์จะอยู่ในรูปของ $-\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x}$)

สิ่งสำคัญคือต้องไม่สับสนระหว่างรูปแบบกำลังสองกับสมการกำลังสอง สมการกำลังสองนั้นมักจะมีเพียงตัวแปรเดียว และอาจมีพจน์ที่มีดีกรีน้อยกว่าสองรวมอยู่ด้วยได้ ในขณะที่รูปแบบกำลังสองเป็นกรณีเฉพาะเจาะจงของแนวคิดที่กว้างกว่าที่เรียกว่า พหุนามเอกพันธุ์