รูปหลายเหลี่ยมปรกติ

รูปหลายเหลี่ยมปรกติ

เส้นขอบและจุดยอด	$n$
สัญลักษณ์ชเลฟลี	$\{n\}$
แผนภาพค็อกเซเตอร์–ดิงกิน
กลุ่มสมมาตร	ไดฮีดรัล Dn, อันดับ 2n
รูปหลายเหลี่ยมคู่กัน	เป็นคู่ของตัวเอง (Self-dual)
พื้นที่ (เมื่อกำหนดความยาวด้าน $s$)	$A={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$
มุมภายใน	$(n-2)\times {\frac {\pi }{n}}$
ผลรวมมุมภายใน	$\left(n-2\right)\times {\pi }$
เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมแนบใน	$d_{\text{IC}}=s\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$
เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ	$d_{\text{OC}}=s\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)$
สมบัติ	คอนเวกซ์, แนบในวงกลมได้ (cyclic), ด้านเท่า, มุมเท่ารอบจุดยอด, ด้านสมมูลกัน

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปหลายเหลี่ยมปรกติ (regular polyhedron) คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมเท่า (มุมทุกมุมมีขนาดเท่ากัน) และด้านเท่า รูปหลายเหลี่ยมปรกติอาจเป็นแบบคอนเวกซ์ หรือรูปดาวก็ได้ ในทางลิมิต ลำดับของรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่มีจำนวนด้านเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ จะเข้าใกล้วงกลม หากกำหนดให้เส้นรอบรูปหรือพื้นที่คงที่ หรือเข้าใกล้อะพีโรกอน (apeirogon) ปกติ (ซึ่งมีลักษณะเสมือนเส้นตรง) หากกำหนดให้ความยาวด้านคงที่

สมบัติทั่วไป

สมบัติเหล่านี้ใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมปรกติทุกรูป ไม่ว่าจะเป็นแบบคอนเวกซ์หรือแบบรูปดาว:

• รูปหลายเหลี่ยมปรกติที่มี n ด้าน จะมีความสมมาตรการหมุนอันดับ n

• จุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมปรกติจะอยู่บนวงกลมวงเดียวกัน (เรียกว่า วงกลมล้อม) กล่าวคือ จุดยอดเหล่านี้ร่วมวงกลมกัน นั่นคือ รูปหลายเหลี่ยมปรกติทุกรูปเป็นรูปหลายเหลี่ยมแนบในวงกลม (cyclic)

• เมื่อรวมกับสมบัติที่ว่าด้านทุกด้านมีความยาวเท่ากันแล้ว สิ่งนี้ทำให้รูปหลายเหลี่ยมปรกติทุกรูปมีวงกลมแนบในหรือวงกลมใน (incircle) ที่สัมผัสกับทุกด้านที่จุดกึ่งกลาง ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมปรกติจึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมแนบนอกวงกลม (tangential) ด้วย

• รูปหลายเหลี่ยมปรกติที่มี n ด้าน สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง ก็ต่อเมื่อตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะเลขคี่ของ n เป็นจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ที่แตกต่างกัน

• รูปหลายเหลี่ยมปรกติที่มี n ด้าน สามารถสร้างได้ด้วยโอริงามิ ก็ต่อเมื่อ $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ สำหรับบาง $r\in \mathbb {N}$ โดยที่แต่ละ $p_{i}$ ที่แตกต่างกันคือจำนวนเฉพาะเพียร์ปอนต์ (Pierpont prime)

สมมาตร

กลุ่มสมมาตรของรูปหลายเหลี่ยมปรกติ n ด้าน คือกลุ่มไดฮีดรัล D_n (อันดับ 2n): D₂, D₃, D₄, ... ซึ่งประกอบด้วยการหมุนใน C_n รวมกับการสมมาตรการสะท้อนในแกน n แกนที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง หาก n เป็นจำนวนคู่ แกนเหล่านี้ครึ่งหนึ่งจะลากผ่านจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกัน และอีกครึ่งหนึ่งจะลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านที่อยู่ตรงข้ามกัน หาก n เป็นจำนวนคี่ แกนทั้งหมดจะลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านที่อยู่ตรงข้าม

รูปหลายเหลี่ยมคอนเวกซ์ปรกติ

มุม

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปรกติแบบคอนเวกซ์ n เหลี่ยม มุมภายในแต่ละมุมจะมีขนาด:

${\frac {(n-2)180}{n}}$ องศา;

${\frac {(n-2)\pi }{n}}$ เรเดียน; หรือ

${\frac {(n-2)}{2n}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}$ รอบ

เส้นทแยงมุม

สำหรับ $n>2$ จำนวนของเส้นทแยงมุมคือ ${\tfrac {1}{2}}n(n-3)$ กล่าวคือ 0, 2, 5, 9, ... สำหรับรูปสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, ห้าเหลี่ยม, หกเหลี่ยม, ... ตามลำดับ เส้นทแยงมุมเหล่านี้จะแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็น 1, 4, 11, 24, ... ชิ้น

รัศมีวงกลมล้อมรอบ

ห้าเหลี่ยมปรกติ (n = 5) พร้อมด้วยเส้นขอบ s, รัศมีวงล้อม (circumradius) R และระยะแนบใน (apothem) a

รัศมีวงกลมล้อมรอบ R จากจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปรกติไปยังจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง สัมพันธ์กับความยาวด้าน s หรือกับระยะแนบใน (apothem) a ตามสมการ

$R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}$

พื้นที่

พื้นที่ A ของรูปหลายเหลี่ยมปรกติแบบคอนเวกซ์ n ด้าน ที่มีความยาวเส้นขอบ s, รัศมีวงกลมล้อม R, ระยะแนบใน a และเส้นรอบรูป p กำหนดโดย $${\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}nsa\\&={\tfrac {1}{2}}pa\\&={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)\end{aligned}}$$

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่มีด้าน s = 1, รัศมีวงกลมล้อมรอบ R = 1 หรือระยะแนบใน a = 1 จะให้ค่าดังตารางต่อไปนี้:

Number of sides	พื้นที่เมื่อด้าน s = 1		พื้นที่เมื่อรัศมีวงล้อม R = 1			พื้นที่เมื่อระยะแนบใน a = 1
	แม่นตรง	ประมาณ	แม่นตรง	ประมาณ	เทียบกับ­พื้นที่วงกลมล้อม	แม่นตรง	ประมาณ	เทียบกับ­พื้นที่วงกลมใน
n	$\scriptstyle {\tfrac {n}{4}}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$		$\scriptstyle {\tfrac {n}{2}}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)$		$\scriptstyle {\tfrac {n}{2\pi }}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)$	$\scriptstyle n\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$		$\scriptstyle {\tfrac {n}{\pi }}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$
3	⁠$\scriptstyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}$⁠	0.433012702	⁠$\scriptstyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{4}}$⁠	1.299038105	0.4134966714	⁠$\scriptstyle 3{\sqrt {3}}$⁠	5.196152424	1.653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0.6366197722	4	4.000000000	1.273239544
5	⁠$\scriptstyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$⁠	1.720477401	⁠$\scriptstyle {\tfrac {5}{4}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$⁠	2.377641291	0.7568267288	⁠$\scriptstyle 5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$⁠	3.632712640	1.156328347
6	⁠$\scriptstyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}$⁠	2.598076211	⁠$\scriptstyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}$⁠	2.598076211	0.8269933428	⁠$\scriptstyle 2{\sqrt {3}}$⁠	3.464101616	1.102657791
7		3.633912444		2.736410189	0.8710264157		3.371022333	1.073029735
8	⁠$\scriptstyle 2+2{\sqrt {2}}$⁠	4.828427125	⁠$\scriptstyle 2{\sqrt {2}}$⁠	2.828427125	0.9003163160	⁠$\scriptstyle 8\left({\sqrt {2}}-1\right)$⁠	3.313708500	1.054786175
9		6.181824194		2.892544244	0.9207254290		3.275732109	1.042697914
10	⁠$\scriptstyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$⁠	7.694208843	⁠$\scriptstyle {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}$⁠	2.938926262	0.9354892840	⁠$\scriptstyle 2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}$⁠	3.249196963	1.034251515
11		9.365639907		2.973524496	0.9465022440		3.229891423	1.028106371
12	⁠$\scriptstyle 6+3{\sqrt {3}}$⁠	11.19615242	3	3.000000000	0.9549296586	⁠$\scriptstyle 12\left(2-{\sqrt {3}}\right)$⁠	3.215390309	1.023490523
13		13.18576833		3.020700617	0.9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3.037186175	0.9667663859		3.195408642	1.017130161
15	⁠$\scriptstyle {\tfrac {15}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)$⁠	17.64236291	⁠$\scriptstyle {\tfrac {15}{16}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)$⁠	3.050524822	0.9710122088	⁠$\scriptstyle {\tfrac {15}{2}}\left(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\right)$⁠	3.188348426	1.014882824
16	⁠$\scriptstyle 4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\right)$⁠	20.10935797	⁠$\scriptstyle 4{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$⁠	3.061467460	0.9744953584	⁠$\scriptstyle 16\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}-1\right)$⁠	3.182597878	1.013052368
17		22.73549190		3.070554163	0.9773877456		3.177850752	1.011541311
18		25.52076819		3.078181290	0.9798155361		3.173885653	1.010279181
19		28.46518943		3.084644958	0.9818729854		3.170539238	1.009213984
20	⁠$\scriptstyle 5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$⁠	31.56875757	⁠$\scriptstyle {\tfrac {5}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$⁠	3.090169944	0.9836316430	⁠$\scriptstyle 20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$⁠	3.167688806	1.008306663
100		795.5128988		3.139525977	0.9993421565		3.142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3.141571983	0.9999934200		3.141602989	1.000003290
104		7957746.893		3.141592448	0.9999999345		3.141592757	1.000000033
106		79577471545		3.141592654	1.000000000		3.141592654	1.000000000

รูปหลายเหลี่ยมรูปดาวปรกติ

รูปหลายเหลี่ยมปรกติที่เป็นรูปดาว

2 < 2q < p, หรม.(p, q) = 1
{5/2} {7/2} {7/3}
สัญลักษณ์ชเลฟลี	{p/q}
จุดยอด และ เส้นขอบ	p
ความหนาแน่น	q
แผนภาพค็อกเซเตอร์
กลุ่มสมมาตร	ไดฮีดรัล (Dp)
รูปหลายเหลี่ยมคู่กัน	เป็นคู่ของตัวเอง (Self-dual)
มุมภายใน (องศา)	$180-{\frac {360q}{p}}$

รูปหลายเหลี่ยมปรกติที่ไม่คอนเวกซ์คือ รูปหลายเหลี่ยมรูปดาว ตัวอย่างที่พบได้บ่อยที่สุดคือรูปดาวห้าแฉก ซึ่งมีจุดยอดชุดเดียวกับรูปห้าเหลี่ยม แต่เชื่อมต่อจุดยอดข้ามจุดเว้นจุด

สำหรับรูปดาว n เหลี่ยม สัญลักษณ์ชเลฟลีจะถูกปรับเปลี่ยนเพื่อระบุความหนาแน่นหรือ "ความดาว" m ของรูปหลายเหลี่ยม ในรูปแบบ {n/m} ตัวอย่างเช่น หาก m เท่ากับ 2 แสดงว่าทุก ๆ จุดยอดที่สองจะถูกเชื่อมเข้าด้วยกัน หาก m เท่ากับ 3 แสดงว่าทุก ๆ จุดยอดที่สามจะถูกเชื่อมเข้าด้วยกัน ขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยมจะพันรอบจุดศูนย์กลางเป็นจำนวน m รอบ

รูปดาวปรกติ (ที่ไม่เสื่อมรูป) ที่มีจำนวนด้านสูงสุด 12 ด้าน ได้แก่:

• รูปดาวห้าแฉก Pentagram – {5/2}
• รูปดาวเจ็ดแฉก Heptagram – {7/2} และ {7/3}
• รูปดาวแปดแฉก Octagram – {8/3}
• รูปดาวเก้าแฉก Enneagram – {9/2} และ {9/4}
• รูปดาวสิบแฉก Decagram – {10/3}
• รูปดาวสิบเอ็ดแฉก Hendecagram – {11/2}, {11/3}, {11/4} และ {11/5}
• รูปดาวสิบสองแฉก Dodecagram – {12/5}

อ่านเพิ่ม

• Lee, Hwa Young; "Origami-Constructible Numbers".
• Coxeter, H.S.M. (1948). Regular Polytopes. Methuen and Co.
• Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra?, Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, Ed. Aronov et al., Springer (2003), pp. 461–488.
• Poinsot, L.; Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), pp. 16–48.

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Regular polygon" จากแมทเวิลด์.
• Regular Polygon description With interactive animation
• Incircle of a Regular Polygon With interactive animation
• Area of a Regular Polygon Three different formulae, with interactive animation
• Renaissance artists' constructions of regular polygons เก็บถาวร 2006-02-12 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน at Convergence เก็บถาวร 2006-02-12 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน