ริงสลับที่

ในคณิตศาสตร์ ริงสลับที่ (อังกฤษ: commutative ring) คือ ริงที่การคูณมีสมบัติการสลับที่ การศึกษาริงสลับที่เรียกว่า พีชคณิตสลับที่ ในทางตรงกันข้าม พีชคณิตไม่สลับที่ เป็นการศึกษาสมบัติของริงที่ไม่ได้จำกัดเฉพาะริงสลับที่ ความแตกต่างนี้เกิดขึ้นเพราะริงสลับที่มีสมบัติพื้นฐานสำคัญจำนวนมาก ซึ่งไม่สามารถต่อยอดไปใช้กับริงไม่สลับที่ได้

บทนิยาม

ข้อมูลเพิ่มเติม: ริง (คณิตศาสตร์)

ริง คือเซต $R$ ที่ถูกกำหนดการดำเนินการทวิภาคสองอย่าง กล่าวคือ การดำเนินการที่นำสมาชิกสองตัวใด ๆ ของริงมารวมกันแล้วได้สมาชิกตัวที่สาม การดำเนินการทั้งสองนี้เรียกว่า การบวก และ การคูณ ซึ่งโดยทั่วไปเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ "$+$" และ "$\cdot$" เช่น $a+b$ และ $a\cdot b$ การที่โครงสร้างหนึ่งจะเป็นริงได้ การดำเนินการทั้งสองนี้ต้องเป็นไปตามสมบัติบางประการ กล่าวคือ ริงต้องเป็นอาบีเลียนกรุปภายใต้การบวก และเป็นโมนอยด์ภายใต้การคูณ โดยที่การคูณต้องมีสมบัติการแจกแจงเหนือการบวก กล่าวคือ $a\cdot \left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)$ สมาชิกเอกลักษณ์สำหรับการบวกและการคูณ เขียนแทนด้วย $0$ และ $1$ ตามลำดับ

ถ้าการคูณมีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ $a\cdot b=b\cdot a,$ แล้วริง $R$ จะถูกเรียกว่า ริงสลับที่

อ้างอิง

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960