ระบบมีพลวัตแบบเวลายง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ระบบมีพลวัตแบบเวลายง หรือ ระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (อังกฤษ: Time-invariant system) คือระบบที่คุณสมบัติของระบบไม่เปลี่ยนไปเมื่อเวลาเปลี่ยนไป กล่าวคือ สมมุติว่าไม่มีความล่าช้าเกิดขึ้นในระบบ (ระบบรับสัญญาณขาเข้าแล้วสามารถให้สัญญาณขาออกได้ในทันที) ถ้าป้อนสัญญาณขาเข้า x (t) ที่เวลา t จะได้สัญญาณขาออกเป็น y (t) ที่เวลา t ดังนั้นหากป้อนสัญญาณขาเข้าเดิมที่เวลา t + \delta นั้นคือ x (t + \delta) สัญญาญาณขาออกผลลัพธ์ก็ต้องเป็น ค่าเดิม คือ y (t + \delta)เพียงแต่จะปรากฏที่เวลา t + \delta ตามเวลาที่ป้อนสัญญาณขาเข้า x (t + \delta)

ตัวอย่างที่หนึ่ง[แก้]

ตัวอย่างนี้เป้นการพิจารณาอย่างง่าย โดยเมื่อพิจารณา สมการสถานะ :

  • ระบบ A: y (t) = t\, x (t)
  • ระบบ B: \,\!b (t) = 10 x (t)

จะเห็นได้ว่า ระบบ A นั้นมีพารามิเตอร์ของระบบ (สัมประสิทธิ์หน้า  x (t ) ) ขึ้นกับเวลา t อย่างชัดแจ้ง นั้นหมายความว่าระบบมีคุณสมบัติเปลี่ยนแปรตามเวลาได้ ส่วนระบบ B นั้น พารามิเตอร์ของระบบไม่ขึ้นกับ เวลา t ดังนั้นระบบเป็นระบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

ตัวอย่างที่ 2[แก้]

ในตัวอยางนี้เราจะใช้นิยามที่ 2 ในการตรวจสอบคุณสมบัติความไม่แปรเปลี่ยนตามเวลาของระบบ

ระบบ A:

พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า (delay) x_d (t) = \,\!x (t + \delta)
y (t) = t\, x (t)
y_1 (t) = t\, x_d (t) = t\, x (t + \delta)
และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา t + \delta
y (t) = t\, x (t)
y_2 (t) = \,\!y (t + \delta) = (t + \delta) x (t + \delta)
จะเห็นได้ว่า y_1 (t) \,\!\ne y_2 (t), ดังนั้นระบบมีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา

ระบบ B:

พิจารณาสัญญาณขาเข้าที่มีความล่าช้า x_d (t) = \,\!x (t + \delta)
y (t) = 10 \, x (t)
y_1 (t) = 10 \,x_d (t) = 10 \,x (t + \delta)
และเมื่อพิจารณาสัญณาญขาออกของระบบที่เวลา \,\!\delta
y (t) = 10 \,x (t)
y_2 (t) = y (t + \delta) = 10 \,x (t + \delta)
จะเห็นได้ว่า y_1 (t) = \,\!y_2 (t), ดังนั้นระบบไม่มีการเปลี่ยนแปรไปตามเวลา

ตัวอย่างที่ 3[แก้]

เราจะใช้ ตัวดำเนินการเลื่อน (shift operator) โดยเขียนในสัญลักษณ์ \mathbb{T}_r โดยที่ r คือจำนวนที่เราต้องการทำการเลื่อนเชิงเวลา ตัวอย่างเช่น ระบบที่มีการล้ำหน้าเชิงเวลาไป 1 (advance-by-1)


x (t+1) = \,\!\delta (t+1) * x (t)

เวลาเขียนในรูปแบบที่ใช้ตัวดำเนินการเลื่อนได้ดังนี้

\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}

โดยที่ \tilde{x} คือฟังก์ชันนิยามโดย

\tilde{x} = x (t) \, \forall \, t \in \mathbb{R}

ซึ่งหลังจากดำเนินการเลื่อนแล้วจะได้ว่า

\tilde{x}_1 = x (t + 1) \, \forall \, t \in \mathbb{R}

โดยจะเห็นได้ว่า \mathbb{T}_1 คือตัวดำเนินการที่ทำให้สัญญาณขาเข้าของเวกเตอร์เลื่อนไปข้างหน้า 1 ขั้นของหน่วยเวลา

หากเราเขียนระบบในในรูปของตัวดำเนินการของตัวระบบ (ในที่นี้คือพารามิเตอร์ A, B, C, D ในรูปแบบสมการปริภูมิสถานะนั้นเอง) \mathbb{H} ที่ว่านี้ จะเห็นได้ว่าระบบจะมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลา ถ้าสมการของตัวระบบมีสมบัติการสลับที่กับตัวดำเนินการเลื่อน ดังนี้


\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r  \,\, \forall \, r

นั้นคือถ้าระบบของเราสามารถเขียนได้ในรูปสมการนี้

\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}

จะเห็นได้ว่าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปลงเชิงเวลาถ้าเราสามารถดำเนินการระหว่าง \mathbb{H} ต่อ \tilde{x} แล้วตามด้วยนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ \mathbb{T}_r ที่หลัง หรือ เราสามารถดำเนินการ \mathbb{T}_r กับ \mathbb{H} ได้เลย แล้วนำผลที่ได้ไปดำเนินการกับ \tilde{x} โดยผลลัทพ์ที่ได้สุดท้าย นั้นจะไม่แต่ต่างกันเลย

โดยการดำเนินการของระบบ \mathbb{H} ก่อนกับ \tilde{x} จะได้

\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r

โดยการดำเนินการเลื่อน \mathbb{T}_r ต่อ \tilde{x} ก่อนจะได้

\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \, \tilde{x} = \mathbb{H} \, \tilde{x}_r

และถ้าระบบมีคุณสมบัติไม่เปลี่ยแปรงเชิงเวลาแล้วจะได้ว่า

\mathbb{H} \, \tilde{x}_r = \tilde{y}_r

ดูเพิ่ม[แก้]