มัชฌิมฮาร์มอนิก

มัชฌิมฮาร์มอนิก หรือ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก (อังกฤษ: harmonic mean; H.M.) เป็นมัชฌิมชนิดหนึ่งซึ่งคำนวณจากส่วนกลับของมัชฌิมเลขคณิตของส่วนกลับของข้อมูล มัชฌิมฮาร์มอนิกเป็นหนึ่งในมัชฌิมพีทาโกรัสสามชนิด ร่วมกับมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมเรขาคณิต^[1]

มัชฌิมฮาร์มอนิกเหมาะสำหรับการหาค่าเฉลี่ยของอัตราหรืออัตราส่วนบางประเภท โดยเฉพาะเมื่อปริมาณที่อยู่ในตัวเศษของแต่ละอัตรามีค่าเท่ากัน เช่น ความเร็วในช่วงที่เดินทางเป็นระยะทางเท่ากัน อัตราการทำงานต่อหน่วยงาน และราคาเฉลี่ยต่อหน่วยเมื่อใช้เงินเท่ากันในแต่ละครั้ง^[2] เมื่อข้อมูลทั้งหมดเป็นจำนวนบวก มัชฌิมฮาร์มอนิกจะไม่มากกว่ามัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมเลขคณิต และจะมีค่าเท่ากันก็ต่อเมื่อข้อมูลทุกตัวเท่ากัน^[3]

นิยาม

สำหรับจำนวนจริงบวก $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ มัชฌิมฮาร์มอนิก $H$ นิยามเป็น^[4]

H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}

หรือเขียนในรูปที่ใช้คำนวณโดยตรงได้ว่า

H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ขั้นตอนการหามัชฌิมฮาร์มอนิกประกอบด้วย

หาส่วนกลับของข้อมูลแต่ละตัว
หามัชฌิมเลขคณิตของส่วนกลับเหล่านั้น
หาส่วนกลับของผลลัพธ์อีกครั้ง

ตัวอย่างเช่น มัชฌิมฮาร์มอนิกของ 1, 4 และ 4 คือ

H(1,4,4)={\frac {3}{1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{\frac {3}{2}}}=2

ในทางปฏิบัติ มัชฌิมฮาร์มอนิกมักนิยามสำหรับจำนวนจริงบวก สูตรสามารถขยายไปยังจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ได้ถ้าผลรวมของส่วนกลับไม่เป็นศูนย์ แต่ค่าที่ได้อาจไม่อยู่ระหว่างค่าต่ำสุดกับค่าสูงสุดและอาจไม่รักษาสมบัติของมัชฌิมตามความหมายทั่วไป^[1] ถ้ามีข้อมูลตัวใดเป็นศูนย์ สูตรที่เขียนด้วยส่วนกลับจะไม่ถูกนิยาม สำหรับข้อมูลไม่เป็นลบ บางบริบทกำหนดค่าลิมิตของมัชฌิมฮาร์มอนิกให้เป็นศูนย์เมื่อมีข้อมูลอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ แต่ต้องระบุข้อตกลงนี้อย่างชัดเจน

จำนวนสองตัว

สำหรับจำนวนบวกสองจำนวน $a$ และ $b$ สูตรทั่วไปย่อได้เป็น

H(a,b)={\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}={\frac {2ab}{a+b}}

ตัวอย่างเช่น

H(4,16)={\frac {2(4)(16)}{4+16}}={\frac {128}{20}}=6.4

จำนวนสามตัว

สำหรับจำนวนบวกสามจำนวน $a$ , $b$ และ $c$ จะได้

H(a,b,c)={\frac {3}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}}={\frac {3abc}{ab+ac+bc}}

ตัวอย่างเช่น

H(2,3,6)={\frac {3(2)(3)(6)}{(2)(3)+(2)(6)+(3)(6)}}={\frac {108}{36}}=3

ข้อมูลที่มีความถี่

ถ้าค่า $x_{i}$ ปรากฏด้วยความถี่ $f_{i}$ และจำนวนข้อมูลทั้งหมดคือ

N=\sum _{i=1}^{k}f_{i}

มัชฌิมฮาร์มอนิกคำนวณได้จาก

H={\frac {N}{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}}{x_{i}}}}}

ตัวอย่างเช่น ถ้าค่า 2 ปรากฏ 3 ครั้ง และค่า 8 ปรากฏ 2 ครั้ง มัชฌิมฮาร์มอนิกคือ

H={\frac {5}{{\frac {3}{2}}+{\frac {2}{8}}}}={\frac {5}{\frac {7}{4}}}={\frac {20}{7}}\approx 2.857

มัชฌิมฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนัก

ถ้าข้อมูล $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ มีน้ำหนัก $w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}$ ที่ไม่เป็นลบ และมีน้ำหนักรวมมากกว่าศูนย์ มัชฌิมฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักนิยามว่า^[5]

H_{w}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}

ถ้ากำหนดให้น้ำหนักรวมเท่ากับ 1 สูตรจะย่อเป็น

H_{w}=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}\right)^{-1},\qquad \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1

มัชฌิมฮาร์มอนิกธรรมดาเป็นกรณีพิเศษที่ข้อมูลทุกตัวมีน้ำหนักเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น ถ้าอัตราสองค่า 40 และ 60 มีน้ำหนักตามระยะทางเป็น 1 และ 2 ตามลำดับ มัชฌิมฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักคือ

H_{w}={\frac {1+2}{{\frac {1}{40}}+{\frac {2}{60}}}}={\frac {3}{\frac {7}{120}}}={\frac {360}{7}}\approx 51.43

ความสัมพันธ์กับมัชฌิมชนิดอื่น

มัชฌิมพีทาโกรัส

สำหรับจำนวนจริงบวก $x_{1},\ldots ,x_{n}$ กำหนดให้

A={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}

เป็นมัชฌิมเลขคณิต;

G=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}

เป็นมัชฌิมเรขาคณิต และ;

H={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}1/x_{i}}}

เป็นมัชฌิมฮาร์มอนิก;

ค่าทั้งสามเป็นไปตามอสมการ^[3]^[6]

H\leq G\leq A

เครื่องหมายเท่ากับเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ

x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}

ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวน 4 และ 16:

H=6.4,\qquad G=8,\qquad A=10

จึงได้

6.4\leq 8\leq 10

ความสัมพันธ์สำหรับจำนวนสองตัว

สำหรับจำนวนบวกสองจำนวน $a$ และ $b$ ถ้าให้

A={\frac {a+b}{2}}

และ

G={\sqrt {ab}}

จะได้

H={\frac {2ab}{a+b}}={\frac {G^{2}}{A}}

ดังนั้น

G^{2}=AH

หรือ

G={\sqrt {AH}}

กล่าวคือ มัชฌิมเรขาคณิตของ $a$ และ $b$ เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของมัชฌิมเลขคณิตกับมัชฌิมฮาร์มอนิกของจำนวนทั้งสอง

ผลต่างระหว่างมัชฌิมเลขคณิตกับมัชฌิมฮาร์มอนิกเขียนได้ว่า

A-H={\frac {(a-b)^{2}}{2(a+b)}}

สมการนี้แสดงโดยตรงว่า $A\geq H$ และจะมีค่าเท่ากันเฉพาะเมื่อ $a=b$

ในฐานะมัชฌิมกำลัง

มัชฌิมกำลังของจำนวนบวกนิยามว่า

M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p},\qquad p\neq 0

มัชฌิมฮาร์มอนิกเป็นกรณีที่ $p=-1$ :

M_{-1}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}\right)^{-1}=H

อสมการมัชฌิมกำลังระบุว่า ถ้า $p<q$ แล้ว

M_{p}\leq M_{q}

จึงได้ความสัมพันธ์

H=M_{-1}\leq M_{0}=G\leq M_{1}=A

โดยมัชฌิมเรขาคณิต $M_{0}$ นิยามผ่านค่าลิมิตเมื่อ $p\to 0$ ^[1]

ในฐานะมัชฌิมกึ่งเลขคณิต

มัชฌิมกึ่งเลขคณิตที่สร้างจากฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง $f$ นิยามว่า

M_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)

ถ้าเลือก

f(x)={\frac {1}{x}}

ซึ่งมีฟังก์ชันผกผันเป็น $f^{-1}(x)=1/x$ จะได้มัชฌิมฮาร์มอนิก

M_{f}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}=H

ในฐานะมัชฌิมเลห์เมอร์

มัชฌิมเลห์เมอร์นิยามว่า

L_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p-1}}}

เมื่อ $p=0$ จะได้

L_{0}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}}}=H

ดังนั้นมัชฌิมฮาร์มอนิกเป็นกรณีพิเศษของทั้งมัชฌิมกำลัง มัชฌิมกึ่งเลขคณิต และมัชฌิมเลห์เมอร์

สมบัติ

สำหรับจำนวนจริงบวก มัชฌิมฮาร์มอนิกมีสมบัติสำคัญดังต่อไปนี้^[1]

อยู่ระหว่างค่าต่ำสุดกับค่าสูงสุด

มัชฌิมฮาร์มอนิกเป็นค่าภายใน กล่าวคือ

\min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n})

ถ้าข้อมูลไม่ได้มีค่าเท่ากันทั้งหมด อสมการทั้งสองจะเป็นอสมการโดยเคร่งครัด

ความสมมาตร

การเปลี่ยนลำดับข้อมูลไม่เปลี่ยนค่ามัชฌิมฮาร์มอนิก:

H(x_{1},\ldots ,x_{n})=H(x_{\pi (1)},\ldots ,x_{\pi (n)})

เมื่อ $\pi$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนใด ๆ

ความเป็นเนื้อเดียวกัน

สำหรับค่าคงตัว $c>0$ :

H(cx_{1},\ldots ,cx_{n})=cH(x_{1},\ldots ,x_{n})

ดังนั้น การเปลี่ยนหน่วยของข้อมูลด้วยตัวคูณเดียวกันจะเปลี่ยนมัชฌิมฮาร์มอนิกด้วยตัวคูณเดียวกัน เช่น ถ้าเปลี่ยนความเร็วจากกิโลเมตรต่อชั่วโมงเป็นเมตรต่อวินาที ค่ามัชฌิมจะเปลี่ยนตามอัตราแปลงหน่วยเดียวกัน

ความเป็นโมโนโทน

ถ้าเพิ่มค่าของข้อมูลตัวหนึ่งโดยไม่ลดค่าของข้อมูลตัวอื่น มัชฌิมฮาร์มอนิกจะไม่ลดลง สำหรับข้อมูลบวกและน้ำหนักบวก การเพิ่มค่าใดค่าหนึ่งอย่างแท้จริงทำให้มัชฌิมเพิ่มขึ้น

การทำซ้ำข้อมูล

ถ้าทำซ้ำข้อมูลทุกตัวเป็นจำนวนครั้งเท่ากัน มัชฌิมฮาร์มอนิกไม่เปลี่ยนแปลง:

H(x_{1},x_{1},x_{2},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n})=H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

ความไวต่อค่าน้อย

เนื่องจากสูตรใช้ส่วนกลับ $1/x_{i}$ ค่าที่น้อยจะมีอิทธิพลต่อมัชฌิมฮาร์มอนิกมากกว่าค่าที่มาก ตัวอย่างเช่น

H(10,10)=10

แต่เมื่อเปลี่ยนข้อมูลตัวหนึ่งเป็น 1 จะได้

H(1,10)={\frac {2}{1+{\frac {1}{10}}}}\approx 1.818

ในทางตรงกันข้าม การเพิ่มข้อมูลตัวหนึ่งจาก 10 เป็น 100 ให้

H(10,100)={\frac {2}{{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}}}\approx 18.182

สมบัตินี้ทำให้มัชฌิมฮาร์มอนิกเหมาะกับตัวชี้วัดที่ไม่ต้องการให้ค่าด้านหนึ่งสูงมากชดเชยค่าอีกด้านที่ต่ำมากได้ง่าย เช่น คะแนนเอฟในการเรียนรู้ของเครื่อง อย่างไรก็ตาม สมบัติเดียวกันทำให้มัชฌิมฮาร์มอนิกไวมากต่อค่าบวกที่อยู่ใกล้ศูนย์

การใช้งาน

ความเร็วเฉลี่ย

มัชฌิมฮาร์มอนิกใช้หาความเร็วเฉลี่ยเมื่อเดินทางแต่ละช่วงเป็นระยะทางเท่ากัน^[2]

สมมติว่าการเดินทางแต่ละช่วงมีระยะทาง $d$ และใช้ความเร็ว $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ เวลาที่ใช้ในช่วงที่ $i$ คือ

t_{i}={\frac {d}{v_{i}}}

ระยะทางรวมและเวลารวมคือ

D=nd

และ

T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d}{v_{i}}}=d\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{v_{i}}}

ดังนั้นความเร็วเฉลี่ยคือ

{\bar {v}}={\frac {D}{T}}={\frac {nd}{d\sum _{i}1/v_{i}}}={\frac {n}{\sum _{i}1/v_{i}}}

ซึ่งเท่ากับมัชฌิมฮาร์มอนิกของความเร็วแต่ละช่วง

ตัวอย่างเช่น รถเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B ด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และเดินทางกลับตามระยะทางเดิมด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ความเร็วเฉลี่ยของการเดินทางไป–กลับคือ

{\bar {v}}={\frac {2}{{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{40}}}}=48{\text{ km/h}}

ไม่ใช่ 50 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เพราะรถใช้เวลาอยู่ในช่วงที่เดินทางด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมงนานกว่า

ถ้าแต่ละช่วงใช้เวลาเท่ากันแทนที่จะมีระยะทางเท่ากัน ต้องใช้มัชฌิมเลขคณิต ไม่ใช่มัชฌิมฮาร์มอนิก ตัวอย่างเช่น ถ้าขับรถด้วยความเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมงเป็นเวลา 1 ชั่วโมง และ 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมงเป็นเวลา 1 ชั่วโมง ความเร็วเฉลี่ยจะเท่ากับ

{\frac {60+40}{2}}=50{\text{ km/h}}

อัตราทั่วไป

หลักเดียวกันใช้กับอัตราในรูป

r_{i}={\frac {q}{t_{i}}}

เมื่อปริมาณ $q$ ของแต่ละช่วงเท่ากัน

อัตรารวมเฉลี่ยจึงเป็นมัชฌิมฮาร์มอนิกของ $r_{i}$

ตัวอย่างเช่น เครื่องจักรสามเครื่องสามารถผลิตชิ้นงานชนิดเดียวกันหนึ่งชุดภายใน 4, 6 และ 12 ชั่วโมงตามลำดับ ถ้าต้องการหาเวลามาตรฐานที่ทำให้เครื่องจักรสามเครื่องซึ่งมีสมรรถนะเท่ากันผลิตงานได้รวมเท่ากับเครื่องจักรเดิมทั้งสาม เวลามาตรฐานคือ

H(4,6,12)={\frac {3}{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}}}={\frac {3}{\frac {1}{2}}}=6{\text{ ชั่วโมง}}

กล่าวคือ กำลังการผลิตรวมของเครื่องจักรเดิมทั้งสามเท่ากับกำลังการผลิตของเครื่องจักรที่เหมือนกันสามเครื่อง ซึ่งแต่ละเครื่องใช้เวลา 6 ชั่วโมงต่อชุด

ต้นทุนต่อหน่วยเมื่อใช้เงินเท่ากัน

ถ้าใช้เงินจำนวนเท่ากันซื้อสินค้าที่มีราคาต่อหน่วยแตกต่างกัน ราคาต่อหน่วยเฉลี่ยของสินค้าทั้งหมดเป็นมัชฌิมฮาร์มอนิกของราคาต่อหน่วย

สมมติว่าใช้เงินครั้งละ $B$ บาทซื้อสินค้าที่ราคา $p_{1},\ldots ,p_{n}$ บาทต่อหน่วย จำนวนสินค้าที่ซื้อได้ในครั้งที่ $i$ คือ $B/p_{i}$ ราคาต่อหน่วยเฉลี่ยจึงเป็น

{\bar {p}}={\frac {nB}{\sum _{i}B/p_{i}}}={\frac {n}{\sum _{i}1/p_{i}}}

ตัวอย่างเช่น ใช้เงินครั้งละ 600 บาทซื้อสินค้าในราคา 60 และ 40 บาทต่อหน่วย จะซื้อได้ 10 และ 15 หน่วย รวม 25 หน่วยด้วยเงิน 1,200 บาท ราคาต่อหน่วยเฉลี่ยคือ

{\frac {1\,200}{25}}=48{\text{ บาทต่อหน่วย}}

ซึ่งตรงกับ

H(60,40)=48

ถ้าซื้อจำนวนหน่วยเท่ากันในแต่ละราคาแทน ราคาต่อหน่วยเฉลี่ยจะเป็นมัชฌิมเลขคณิต

ความหนาแน่นเมื่อมวลเท่ากัน

ถ้าวัตถุหลายส่วนมีมวลเท่ากันแต่มีความหนาแน่นต่างกัน ความหนาแน่นเฉลี่ยของวัตถุรวมเป็นมัชฌิมฮาร์มอนิกของความหนาแน่นแต่ละส่วน

ถ้าแต่ละส่วนมีมวล $m$ และความหนาแน่น $\rho _{i}$ ปริมาตรของแต่ละส่วนคือ $m/\rho _{i}$ ความหนาแน่นรวมจึงเป็น

\rho _{\mathrm {Total} }={\frac {nm}{\sum _{i}m/\rho _{i}}}={\frac {n}{\sum _{i}1/\rho _{i}}}

ถ้าแต่ละส่วนมีปริมาตรเท่ากันแทน ความหนาแน่นเฉลี่ยจะเป็นมัชฌิมเลขคณิต

วงจรไฟฟ้า

สำหรับตัวต้านทาน $n$ ตัวที่ต่อแบบขนาน ความต้านทานสมมูล $R_{\mathrm {eq} }$ เป็นไปตาม

{\frac {1}{R_{\mathrm {eq} }}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}

เมื่อเปรียบเทียบกับมัชฌิมฮาร์มอนิก

H(R_{1},\ldots ,R_{n})={\frac {n}{\sum _{i}1/R_{i}}}

จึงได้

H=nR_{\mathrm {eq} }

ดังนั้น ความต้านทานสมมูลของตัวต้านทานที่ต่อขนานไม่เท่ากับมัชฌิมฮาร์มอนิกโดยตรง แต่เท่ากับมัชฌิมฮาร์มอนิกหารด้วยจำนวนตัวต้านทาน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวต้านทานที่เหมือนกัน $n$ ตัว ซึ่งแต่ละตัวมีความต้านทานเท่ากับ $H$ จะให้ความต้านทานสมมูลเท่ากับตัวต้านทานเดิมทั้งชุด

ตัวอย่างเช่น ตัวต้านทาน 60 และ 40 โอห์มที่ต่อขนานมีความต้านทานสมมูล

R_{\mathrm {eq} }={\frac {1}{{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{40}}}}=24\ \Omega

ขณะที่มัชฌิมฮาร์มอนิกของ 60 และ 40 คือ

H(60,40)=48\ \Omega =2R_{\mathrm {eq} }

คะแนนเอฟในการค้นคืนสารสนเทศและการเรียนรู้ของเครื่อง

ในการค้นคืนสารสนเทศและการเรียนรู้ของเครื่อง คะแนนเอฟ 1 ( $F_{1}score$ ) นิยามเป็นมัชฌิมฮาร์มอนิกของความแม่นยำหรือพรีซิชัน $P$ กับค่าระลึกหรือรีคอล (recall) $R$ :^[7]

F_{1}={\frac {2}{{\frac {1}{P}}+{\frac {1}{R}}}}={\frac {2PR}{P+R}}

ตัวอย่างเช่น ถ้าแบบจำลองมีพรีซิชัน 0.90 แต่มีรีคอลเพียง 0.40:

F_{1}={\frac {2(0.90)(0.40)}{0.90+0.40}}\approx 0.554

ผลลัพธ์ต่ำกว่ามัชฌิมเลขคณิต 0.65 เพราะมัชฌิมฮาร์มอนิกให้ความสำคัญกับค่าที่ต่ำกว่าและไม่ยอมให้ค่าที่สูงมากด้านหนึ่งชดเชยอีกด้านที่ต่ำได้ทั้งหมด

รูปทั่วไปคือคะแนน $F_{\beta }$ :

F_{\beta }=(1+\beta ^{2}){\frac {PR}{\beta ^{2}P+R}}

ซึ่งเป็นมัชฌิมฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักของพรีซิชันกับรีคอล เมื่อ $\beta >1$ จะให้น้ำหนักกับรีคอลมากขึ้น และเมื่อ $0<\beta <1$ จะให้น้ำหนักกับพรีซิชันมากขึ้น

การรวมค่าพี

ค่าพีมัชฌิมฮาร์มอนิก (อังกฤษ: harmonic mean p-value) เป็นวิธีทางสถิติที่ใช้มัชฌิมฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักเพื่อรวมค่าพีจากการทดสอบสมมติฐานหลายรายการ^[8]

สำหรับค่าพี $p_{1},\ldots ,p_{L}$ และน้ำหนัก $w_{i}$ วิธีนี้เริ่มจากปริมาณ

{\overset {\circ }{p}}={\frac {\sum _{i}w_{i}}{\sum _{i}w_{i}/p_{i}}}

อย่างไรก็ตาม มัชฌิมฮาร์มอนิกดิบของค่าพีไม่ควรถูกตีความเป็นค่าพีที่ผ่านการปรับแล้วโดยอัตโนมัติ การควบคุมความผิดพลาดจากการทดสอบหลายรายการต้องใช้กระบวนวิธีและค่าแก้ไขตามสมมติฐานเกี่ยวกับการพึ่งพากันของการทดสอบ^[9]

เมื่อไม่ควรใช้

มัชฌิมฮาร์มอนิกไม่ได้เหมาะกับการเฉลี่ยอัตราทุกกรณี การเลือกใช้ต้องพิจารณาว่าปริมาณใดถูกตรึงให้เท่ากันหรือใช้เป็นน้ำหนัก

ถ้าเดินทางแต่ละช่วงเป็นระยะทางเท่ากัน ให้ใช้มัชฌิมฮาร์มอนิกของความเร็ว
ถ้าเดินทางแต่ละช่วงเป็นเวลาเท่ากัน ให้ใช้มัชฌิมเลขคณิตของความเร็ว
ถ้าระยะทางหรือเวลาแต่ละช่วงไม่เท่ากัน ให้คำนวณจากระยะทางรวมหารด้วยเวลารวม หรือใช้มัชฌิมฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักด้วยระยะทาง
ถ้าใช้เงินเท่ากันซื้อสินค้าที่ราคาต่างกัน ให้ใช้มัชฌิมฮาร์มอนิกของราคา
ถ้าซื้อสินค้าเป็นจำนวนหน่วยเท่ากันที่ราคาต่างกัน ให้ใช้มัชฌิมเลขคณิตของราคา
ถ้าข้อมูลอาจมีค่าเป็นศูนย์หรืออยู่ใกล้ศูนย์ ต้องตรวจสอบนิยามและความเหมาะสมเป็นพิเศษ
ถ้าข้อมูลมีทั้งค่าบวกและค่าลบ มัชฌิมฮาร์มอนิกอาจไม่อยู่ระหว่างข้อมูลและอาจไม่มีความหมายเชิงกายภาพ

ตัวอย่างเช่น มัชฌิมฮาร์มอนิกของ 1 และ −2 ตามการขยายสูตรเชิงพีชคณิตคือ

H(1,-2)={\frac {2}{1-{\frac {1}{2}}}}=4

ซึ่งอยู่นอกช่วงระหว่าง −2 กับ 1 กรณีนี้จึงไม่เป็นมัชฌิมตามความหมายของค่ากลาง แม้ว่าสูตรเชิงพีชคณิตจะให้ผลลัพธ์ก็ตาม

การคำนวณเชิงตัวเลข

สูตรตรง

H={\frac {n}{\sum _{i}1/x_{i}}}

อาจเกิดปัญหาทางคอมพิวเตอร์เมื่อข้อมูลมีขนาดเล็กหรือใหญ่ต่างกันมาก เพราะการหาส่วนกลับอาจทำให้เกิดภาวะล้นเกินหรือภาวะต่ำเกิน

สำหรับข้อมูลบวก สามารถเลือกค่ามาตราส่วน $s>0$ แล้วคำนวณ

H=s{\frac {n}{\sum _{i}s/x_{i}}}

การเลือก $s$ ใกล้ขนาดทั่วไปของข้อมูลช่วยลดความเสี่ยงจากตัวเลขที่มีขนาดสุดโต่ง

การรวมผลบวกจำนวนมากอาจใช้ขั้นตอนวิธีหาผลรวมที่ลดความคลาดเคลื่อนจากเลขทศนิยม เช่นการหาผลรวมแบบคาฮาน

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

1 2 3 4 Bullen, P. S. (2003). Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-1522-9.
1 2 de Mestre, Neville (2019). "Discovery: What Do You Mean by an Average?". Australian Mathematics Education Journal. 1 (4): 24–25. ISSN 2652-0176.
1 2 Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952). Inequalities (พิมพ์ครั้งที่ 2nd). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-35880-4. {{cite book}}: ISBN / Date ไม่เข้ากัน (วิธีใช้)
↑ "Harmonic Mean". Dataplot Reference Manual (ภาษาอังกฤษ). สถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ. สืบค้นเมื่อ 18 สิงหาคม 2026.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
↑ Ferger, W. F. (1931). "The Nature and Use of the Harmonic Mean". Journal of the American Statistical Association. 26 (173): 36–40. doi:10.1080/01621459.1931.10503148.
↑ Plaza, Ángel (2022). "A Function-Based Proof of the Harmonic Mean–Geometric Mean–Arithmetic Mean Inequalities". The Mathematical Gazette. 106 (565): 130–131. doi:10.1017/mag.2022.22.
↑ Christen, Peter; Hand, David J.; Kirielle, Nishadi (2023). "A Review of the F-Measure: Its History, Properties, Criticism, and Alternatives". ACM Computing Surveys. 56 (3) 73: 1–24. doi:10.1145/3606367.
↑ Wilson, Daniel J. (2019). "The Harmonic Mean p-Value for Combining Dependent Tests". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 116 (4): 1195–1200. doi:10.1073/pnas.1814092116. PMC 6347718. PMID 30610179.{{cite journal}}: CS1 maint: PMC format (ลิงก์)
↑ Chen, Yuyu; Wang, Ruodu; Wang, Yuming; Zhu, Wancheng (2026). "Subuniformity of Harmonic Mean p-Values". Canadian Journal of Statistics. 54. doi:10.1002/cjs.70017.

อ่านเพิ่ม

Bullen, P. S. (2003). Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-1522-9.
Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952). Inequalities (พิมพ์ครั้งที่ 2nd). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-35880-4. {{cite book}}: ISBN / Date ไม่เข้ากัน (วิธีใช้)
Ferger, W. F. (1931). "The Nature and Use of the Harmonic Mean". Journal of the American Statistical Association. 26 (173): 36–40. doi:10.1080/01621459.1931.10503148.

แหล่งข้อมูลอื่น

Harmonic Mean ในคู่มือ Dataplot ของสถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ

[Bullen-1] 1 2 3 4 Bullen, P. S. (2003). Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-1522-9.

[deMestre-2] 1 2 de Mestre, Neville (2019). "Discovery: What Do You Mean by an Average?". Australian Mathematics Education Journal. 1 (4): 24–25. ISSN 2652-0176.

[Hardy-3] 1 2 Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952). Inequalities (พิมพ์ครั้งที่ 2nd). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-35880-4. {{cite book}}: ISBN / Date ไม่เข้ากัน (วิธีใช้)

[NIST-4] "Harmonic Mean". Dataplot Reference Manual (ภาษาอังกฤษ). สถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ. สืบค้นเมื่อ 18 สิงหาคม 2026.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)

[Ferger-5] Ferger, W. F. (1931). "The Nature and Use of the Harmonic Mean". Journal of the American Statistical Association. 26 (173): 36–40. doi:10.1080/01621459.1931.10503148.

[6] Plaza, Ángel (2022). "A Function-Based Proof of the Harmonic Mean–Geometric Mean–Arithmetic Mean Inequalities". The Mathematical Gazette. 106 (565): 130–131. doi:10.1017/mag.2022.22.

[7] Christen, Peter; Hand, David J.; Kirielle, Nishadi (2023). "A Review of the F-Measure: Its History, Properties, Criticism, and Alternatives". ACM Computing Surveys. 56 (3) 73: 1–24. doi:10.1145/3606367.

[8] Wilson, Daniel J. (2019). "The Harmonic Mean p-Value for Combining Dependent Tests". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 116 (4): 1195–1200. doi:10.1073/pnas.1814092116. PMC 6347718. PMID 30610179.{{cite journal}}: CS1 maint: PMC format (ลิงก์)

[9] Chen, Yuyu; Wang, Ruodu; Wang, Yuming; Zhu, Wancheng (2026). "Subuniformity of Harmonic Mean p-Values". Canadian Journal of Statistics. 54. doi:10.1002/cjs.70017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]