ในทางฟิสิกส์ ฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating function approach) คือการใช้อนุพันธ์ย่อยสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงพลศาสตร์ของระบบ ตัวอย่างทั่วไป เช่น ฟังก์ชันแบ่งส่วน (Partition function) ของกลศาสตร์สถิติ หรือฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันที่ทำหน้าที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 เซตของตัวแปรคาโนนิคัล (Canonical variable) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ (Canonical transformation)
สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการแปลงฟังก์ชันระหว่าง (q, p, H) และ (Q, P, K) ซึ่งทั้งสองเซตจะต้องเป็นไปตามหลักการฮามิลตัน (Hamilton's principle) โดยสามารถเขียนสมการลากรานจ์ได้ คือ
และ
ตามลำดับ โดยที่การแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) จะต้องมีค่าคงตัว นั่นคือ :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2755ed5c72d386c89794708b87ce1b548b5b43d0)
ทั้งสองสมการจะได้ความสัมพันธ์ ดังนี้
![{\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e57cc5f5a07c7cc04cda98e6cea31830bcd6f6)
โดยที่ G จะเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด ขึ้นกับพิกัดและโมเมนตัมทั้งในระบบเก่า (q หรือ p) และระบบใหม่ ระบบเก่า (Q หรือ P) และ λ จะเป็นตัวปรับขนาดของการแปลง (Scale transformation) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติจะให้
สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ จะมีฟังก์ชันก่อกำเนิดทั้งหมด 4 รูปแบบ ดังนี้
รูปแบบที่ 1 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด
[แก้]
ขึ้นกับพิกัดของทั้งระบบเก่าและใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากพิกัดระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

รูปแบบที่ 2 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด
[แก้]
ขึ้นกับพิกัดของระบบเก่ากับโมเมนตัมของระบบใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากพิกัดของระบบเก่าและโมเมนตัมของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

รูปแบบที่ 3 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด
[แก้]
ขึ้นกับโมเมนตัมของระบบเก่ากับพิกัดของระบบใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและพิกัดของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

รูปแบบที่ 4 ของฟังก์ชันก่อกำเนิด
[แก้]
ขึ้นกับโมเมนตัมของทั้งระบบเก่าและใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
