ฟังก์ชันกำเนิด

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในทางฟิสิกส์ ฟังก์ชันกำเนิด (Generating function approach) คือการใช้อนุพันธ์ย่อยสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงพลศาสตร์ของระบบ ตัวอย่างทั่วไป เช่น ฟังก์ชันแบ่งส่วน (Partition function) ของกลศาสตร์สถิติ หรือฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันที่ทำหน้าที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 เซตของตัวแปรคาโนนิคัล (Canonical variable) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ (Canonical transformation) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการแปลงฟังก์ชันระหว่าง (q, p, H) และ (Q, P, K) ซึ่งทั้งสองเซตจะต้องเป็นไปตามหลักการฮามิลตัน (Hamilton's principle) โดยสามารถเขียนสมการลากรานจ์ได้ คือ และ ตามลำดับ โดยที่การแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) จะต้องมีค่าคงตัว นั่นคือ :

ทั้งสองสมการจะได้ความสัมพันธ์ ดังนี้

โดยที่ G จะเป็นฟังก์ชันกำเนิด (Generating function) ขึ้นกับพิกัดและโมเมนตัมทั้งในระบบเก่า (q หรือ p) และระบบใหม่ ระบบเก่า (Q หรือ P) และ λ จะเป็นตัวปรับขนาดของการแปลง (Scale transformation) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติจะให้

สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ จะมีฟังก์ชันกำเนิดทั้งหมด 4 รูปแบบ ดังนี้

รูปแบบที่ 1 ของฟังก์ชันกำเนิด[แก้]

ขึ้นกับพิกัดของทั้งระบบเก่าและใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากพิกัดระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

รูปแบบที่ 2 ของฟังก์ชันกำเนิด[แก้]

ขึ้นกับพิกัดของระบบเก่ากับโมเมนตัมของระบบใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากพิกัดของระบบเก่าและโมเมนตัมของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

รูปแบบที่ 3 ของฟังก์ชันกำเนิด[แก้]

ขึ้นกับโมเมนตัมของระบบเก่ากับพิกัดของระบบใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและพิกัดของระบบใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

รูปแบบที่ 4 ของฟังก์ชันกำเนิด[แก้]

ขึ้นกับโมเมนตัมของทั้งระบบเก่าและใหม่

สามารถเขียนสมการได้ ดังนี้

เนื่องจากโมเมนตัมของระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ