พีชคณิตสากล

พีชคณิตสากล (อังกฤษ: universal algebra) คือสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างเชิงพีชคณิตโดยทั่วไป ไม่ใช่โครงสร้างพีชคณิตเฉพาะชนิดใดชนิดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น แทนที่จะพิจารณากรุปหรือริงเป็นเป้าหมายที่ศึกษา ซึ่งเป็นหัวข้อของทฤษฎีกรุปและทฤษฎีริง พีชคณิตสากลมุ่งศึกษาโครงสร้างเชิงพีชคณิตชนิดต่าง ๆ ที่เป็นไปได้และความสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างเหล่านั้น

แนวคิดพื้นฐาน

บทความหลัก: โครงสร้างเชิงพีชคณิต

ในพีชคณิตสากล พีชคณิต (หรือโครงสร้างเชิงพีชคณิต) หมายถึงเซต A ที่มาพร้อมกับการดำเนินการจำนวนหนึ่งที่นิยามบน A

อาริตี้

การดำเนินการ n ภาค (n-ary operation) บน A คือฟังก์ชันที่รับสมาชิกของ A จำนวน n ตัว และให้ผลลัพธ์เป็นสมาชิกเพียงหนึ่งตัวของ A ดังนั้น การดำเนินการ 0 ภาค สามารถแทนได้อย่างง่ายด้วยสมาชิกตัวหนึ่งของ A หรือค่าคงตัว ซึ่งมักเขียนแทนด้วยตัวอักษร เช่น a การดำเนินการ 1 ภาค (หรือการดำเนินการเอกภาค) เป็นเพียงฟังก์ชันจาก A ไปยัง A ซึ่งมักเขียนด้วยสัญลักษณ์ที่วางไว้หน้าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันนั้น เช่น ~x การดำเนินการ 2 ภาค (หรือการดำเนินการทวิภาค) มักเขียนด้วยสัญลักษณ์ที่วางอยู่ระหว่างอาร์กิวเมนต์ทั้งสอง (เรียกว่า สัญกรณ์เติมกลาง) เช่น x ∗ y การดำเนินการที่มีอาริตี้สูงกว่านี้หรือไม่ได้ระบุจำนวนอย่างชัดเจน มักเขียนด้วยสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน โดยใส่อาร์กิวเมนต์ไว้ในวงเล็บและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น f(x,y,z) หรือ f(x₁,...,x_n) ดังนั้น วิธีหนึ่งในการกล่าวถึงพีชคณิตก็คือ การเรียกพีชคณิตนั้นว่า พีชคณิตชนิด Ω (algebra of a certain type Ω) โดยที่ Ω เป็นลำดับที่มีการจัดเรียงของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งใช้แทนค่าอาริตี้ของการดำเนินการต่าง ๆ ในพีชคณิตนั้น อย่างไรก็ตาม นักวิจัยบางคนยังยอมให้มีการดำเนินการอนันต์ได้ เช่น $\textstyle \bigwedge _{\alpha \in J}x_{\alpha }$ เมื่อ J เป็นเซตดัชนีอนันต์ ซึ่งเป็นการดำเนินการที่ปรากฏในทฤษฎีพีชคณิตของแลตทิซบริบูรณ์

สมการ

หลังจากระบุการดำเนินการแล้ว พีชคณิตจะถูกนิยามเพิ่มเติมด้วยสัจพจน์ ซึ่งในพีชคณิตสากลมักอยู่ในรูปของเอกลักษณ์หรือกฎเชิงสมการ (equational law) ตัวอย่างหนึ่งคือสัจพจน์การเปลี่ยนหมู่ของการดำเนินการทวิภาค ซึ่งเขียนเป็นสมการ x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z โดยสัจพจน์นี้ถือว่าสมการดังกล่าวเป็นจริงสำหรับสมาชิกทุกตัว x, y และ z ของเซต A

แรงจูงใจและการประยุกต์ใช้

นอกเหนือจากบทบาทในการสร้างกรอบแนวคิดที่เป็นเอกภาพแล้ว พีชคณิตสากลยังมีทฤษฎีบทที่ลึกซึ้ง ตลอดจนตัวอย่างและตัวอย่างค้านที่สำคัญอีกมากมาย อีกทั้งยังเป็นกรอบแนวคิดที่มีประโยชน์สำหรับผู้ที่ต้องการเริ่มศึกษาพีชคณิตประเภทใหม่ ๆ นอกจากนี้ พีชคณิตสากลยังทำให้สามารถนำวิธีการที่พัฒนาขึ้นสำหรับพีชคณิตบางประเภทไปใช้กับพีชคณิตประเภทอื่นได้ โดยปรับวิธีการเหล่านั้นให้อยู่ในภาษาของพีชคณิตสากล (ถ้าทำได้) แล้วจึงนำผลที่ได้ไปประยุกต์ใช้กับพีชคณิตประเภทอื่น นอกจากนี้ยังช่วยให้มโนทัศน์ต่าง ๆ มีความกระจ่างชัดยิ่งขึ้น ดังที่ เจ.ดี.เอช. สมิธ กล่าวว่า "สิ่งที่ดูยุ่งยากและซับซ้อนภายใต้กรอบแนวคิดเฉพาะ อาจกลับกลายเป็นเรื่องง่ายและชัดเจนเมื่อมองจากกรอบทั่วไปที่เหมาะสม"

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตสากลสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการศึกษาโมนอยด์ ริง และแลตทิซได้ ก่อนที่จะมีพีชคณิตสากลขึ้นมา ทฤษฎีบทหลายข้อ (โดยเฉพาะทฤษฎีบทสมสัณฐาน) จะต้องถูกพิสูจน์แยกกันสำหรับโครงสร้างแต่ละชนิดเหล่านี้ แต่ด้วยพีชคณิตสากล ทฤษฎีบทเหล่านั้นสามารถพิสูจน์ได้ในครั้งเดียวสำหรับระบบพีชคณิตทุกชนิด

บทความของฮิกกินส์ในปี ค.ศ. 1956 ได้สร้างกรอบแนวคิดสำหรับระบบพีชคณิตเฉพาะหลายประเภท ส่วนบทความของเขาในปี ค.ศ. 1963 โดดเด่นจากการอภิปรายเกี่ยวกับพีชคณิตที่มีการดำเนินการบางส่วน ตัวอย่างทั่วไปของสิ่งนี้ ได้แก่ แคทิกอรี และกรุปพอยด์ การวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมคือหัวข้อของพีชคณิตมิติสูง ซึ่งสามารถนิยามได้ว่าเป็นการศึกษาทฤษฎีพีชคณิตที่มีการดำเนินการบางส่วนโดยโดเมนของการดำเนินการเหล่านั้นถูกกำหนดภายใต้เงื่อนไขเชิงเรขาคณิต ตัวอย่างที่สำคัญของสิ่งนี้ ได้แก่ แคทีกอรีมิติสูง และกรุปพอยด์มิติสูงในรูปแบบต่าง ๆ