ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ฟังก์ชันเป็นคาบ"
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
||
บรรทัด 3: | บรรทัด 3: | ||
== นิยาม == |
== นิยาม == |
||
สำหรับฟังก์ชันบน[[จำนวนจริง]]หรือ[[จำนวนเต็ม]]ที่ให้ค่าซ้ำกันเป็นช่วงๆ นั่นหมายความว่า[[กราฟ]]ทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นสามารถวาดได้จากการคัดลอกกราฟในช่วงที่ซ้ำกันต่อไปเรื่อยๆ หรือในทางที่เจาะจงกว่านี้ ฟังก์ชัน ''f'' จะเรียกว่าฟังก์ชันเป็นคาบ บนทุกๆ คาบ ''P'' ที่มากกว่า[[ศูนย์]] เมื่อ |
สำหรับฟังก์ชันบน[[จำนวนจริง]]หรือ[[จำนวนเต็ม]]ที่ให้ค่าซ้ำกันเป็นช่วงๆ นั่นหมายความว่า[[กราฟ]]ทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นสามารถวาดได้จากการคัดลอกกราฟในช่วงที่ซ้ำกันต่อไปเรื่อยๆ หรือในทางที่เจาะจงกว่านี้ ฟังก์ชัน ''f'' จะเรียกว่าฟังก์ชันเป็นคาบ บนทุกๆ คาบ ''P'' ที่มากกว่า[[ศูนย์]] เมื่อ |
||
::<math>f(x+P) = f(x) |
::<math>f(x+P) = f(x)</math> |
||
สำหรับทุกค่าของ ''x'' ที่อยู่ในโดเมนของ ''f'' |
สำหรับทุกค่าของ ''x'' ที่อยู่ในโดเมนของ ''f'' |
||
และเมื่อ ''f'' เป็นฟังก์ชันเป็นคาบแล้ว จะได้ |
และเมื่อ ''f'' เป็นฟังก์ชันเป็นคาบแล้ว จะได้ |
||
::<math>f(x+nP) = f(x) |
::<math>f(x+nP) = f(x)</math> |
||
สำหรับทุกค่าของ ''n'' ที่เป็นจำนวนเต็ม |
สำหรับทุกค่าของ ''n'' ที่เป็นจำนวนเต็ม |
||
รุ่นแก้ไขเมื่อ 11:31, 28 สิงหาคม 2550
ฟังก์ชันเป็นคาบ (periodic function) ในทางคณิตศาสตร์หมายถึงฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์ออกมาเป็นค่าที่ซ้ำกัน บนช่วงจำกัดหนึ่งๆ เรียกว่า คาบ ซึ่งบวกเข้ากับตัวแปรต้น ตัวอย่างในชีวิตประจำวันจะสามารถเห็นได้จากตัวแปรต้นที่เป็นเวลา เช่นเข็มนาฬิกาหรือข้างขึ้นข้างแรมของดวงจันทร์ จะแสดงพฤติกรรมที่ซ้ำกันเป็นช่วงๆ
นิยาม
สำหรับฟังก์ชันบนจำนวนจริงหรือจำนวนเต็มที่ให้ค่าซ้ำกันเป็นช่วงๆ นั่นหมายความว่ากราฟทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นสามารถวาดได้จากการคัดลอกกราฟในช่วงที่ซ้ำกันต่อไปเรื่อยๆ หรือในทางที่เจาะจงกว่านี้ ฟังก์ชัน f จะเรียกว่าฟังก์ชันเป็นคาบ บนทุกๆ คาบ P ที่มากกว่าศูนย์ เมื่อ
สำหรับทุกค่าของ x ที่อยู่ในโดเมนของ f
และเมื่อ f เป็นฟังก์ชันเป็นคาบแล้ว จะได้
สำหรับทุกค่าของ n ที่เป็นจำนวนเต็ม
ตัวอย่าง
จากนิยามข้างต้น หากค่า P เท่ากับ 1 จะได้
และเนื่องจากคาบของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่น้อยที่สุด ดังนั้นตามตัวอย่างที่กล่าวมา ค่า P สามารถเท่ากับ 2 ก็ได้
อีกตัวอย่างหนึ่งสามารถสังเกตได้จากฟังก์ชัน f ที่ให้ผลลัพธ์เป็น "เศษหลังจุดทศนิยม" ของตัวแปรต้น
ซึ่งจะมีช่วงที่ซ้ำกันบนคาบ P ที่เท่ากับ 1 และกราฟของฟังก์ชันนี้เป็นรูปคลื่นฟันเลื่อย (sawtooth wave)
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันเป็นคาบอย่างหนึ่ง ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2π