ผลต่างระหว่างรุ่นของ "อนุกรมฟูรีเย"

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ไม่มีความย่อการแก้ไข
Potapt (คุย | ส่วนร่วม)
ไม่มีความย่อการแก้ไข
บรรทัด 1: บรรทัด 1:
{{ต้องการอ้างอิง}}
{{ต้องการอ้างอิง}}
'''อนุกรมฟูเรียร์''' ตั้งชื่อตาม [[โฌแซ็ฟ ฟูรีเย]] อนุกรมฟูเรียร์เป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูเรียร์ นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป
'''อนุกรมฟูรีเย''' ตั้งชื่อตาม [[โฌแซ็ฟ ฟูรีเย]] อนุกรมฟูรีเยเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูรีเย นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป


:<math>x\mapsto e^{inx}</math>
:<math>x\mapsto e^{inx}</math>
บรรทัด 6: บรรทัด 6:
ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ ''e''<sup>''i x''</sup> หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์
ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ ''e''<sup>''i x''</sup> หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์


''ดูประวัติที่บทความหลัก [[การแปลงฟูรีเย|การแปลงฟูเรียร์]]''
''ดูประวัติที่บทความหลัก [[การแปลงฟูรีเย]]''


== นิยาม ==
== นิยาม ==
บรรทัด 13: บรรทัด 13:
{|border="0" cellpaddin="5" cellspacing="10" width=100%
{|border="0" cellpaddin="5" cellspacing="10" width=100%
|- style="background-color: gainsboro"
|- style="background-color: gainsboro"
! อนุกรมฟูเรียร์
! อนุกรมฟูรีเย
! สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูเรียร์
! สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
|-
|-
|align = center|<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}.</math>
|align = center|<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}.</math>
บรรทัด 29: บรรทัด 29:


== ตัวอย่าง ==
== ตัวอย่าง ==
พิจารณาฟังก์ชัน <math> \, f(x) = x \,</math> สำหรับค่า <math> x \in (-\pi,\pi) </math> และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูเรียร์ ดังรูป
พิจารณาฟังก์ชัน <math> \, f(x) = x \,</math> สำหรับค่า <math> x \in (-\pi,\pi) </math> และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป
::[[ไฟล์:Fxeqx.png|450px]]
::[[ไฟล์:Fxeqx.png|450px]]


สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูเรียร์สามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(''nx'') เป็น[[ฟังก์ชันคู่]] ในขณะที่ ''f'' เป็น[[ฟังก์ชันคี่]]เช่นเดียวกับ sin(''nx'')
สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(''nx'') เป็น[[ฟังก์ชันคู่]] ในขณะที่ ''f'' เป็น[[ฟังก์ชันคี่]]เช่นเดียวกับ sin(''nx'')


:<math>a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\, dx= 0,</math>
:<math>a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\, dx= 0,</math>
บรรทัด 44: บรรทัด 44:
\right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}</math>
\right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}</math>


สังเกตว่า ''a''<sub>0</sub> และ ''a<sub>n</sub>'' มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก ''x'' และ ''x'' cos(''nx'') เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูเรียร์ของ ''f''(''x'') = ''x'' คือ:
สังเกตว่า ''a''<sub>0</sub> และ ''a<sub>n</sub>'' มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก ''x'' และ ''x'' cos(''nx'') เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ ''f''(''x'') = ''x'' คือ:


:<math>f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) </math>
:<math>f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) </math>
บรรทัด 50: บรรทัด 50:
::<math>=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)</math>
::<math>=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)</math>


สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูเรียร์ ดู ค่าของ[[ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์]] ที่ ''s'' = 2
สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของ[[ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์]] ที่ ''s'' = 2


[[ไฟล์:Periodic identity function.gif|left|thumb|400px|ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ]]
[[ไฟล์:Periodic identity function.gif|left|thumb|400px|ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ]]

รุ่นแก้ไขเมื่อ 09:34, 20 กุมภาพันธ์ 2560

อนุกรมฟูรีเย ตั้งชื่อตาม โฌแซ็ฟ ฟูรีเย อนุกรมฟูรีเยเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูรีเย นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป

ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ ei x หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์

ดูประวัติที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย

นิยาม

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก

อนุกรมฟูรีเย สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ และ

โดยที่ , และ

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชัน สำหรับค่า และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)

สังเกตว่า a0 และ an มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ f(x) = x คือ:

สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ที่ s = 2

ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ