ผลต่างระหว่างรุ่นของ "อนุกรมฟูรีเย"
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 1: | บรรทัด 1: | ||
{{ต้องการอ้างอิง}} |
{{ต้องการอ้างอิง}} |
||
'''อนุกรมฟู |
'''อนุกรมฟูรีเย''' ตั้งชื่อตาม [[โฌแซ็ฟ ฟูรีเย]] อนุกรมฟูรีเยเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูรีเย นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป |
||
:<math>x\mapsto e^{inx}</math> |
:<math>x\mapsto e^{inx}</math> |
||
บรรทัด 6: | บรรทัด 6: | ||
ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ ''e''<sup>''i x''</sup> หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์ |
ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ ''e''<sup>''i x''</sup> หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์ |
||
''ดูประวัติที่บทความหลัก [[การแปลงฟูรีเย |
''ดูประวัติที่บทความหลัก [[การแปลงฟูรีเย]]'' |
||
== นิยาม == |
== นิยาม == |
||
บรรทัด 13: | บรรทัด 13: | ||
{|border="0" cellpaddin="5" cellspacing="10" width=100% |
{|border="0" cellpaddin="5" cellspacing="10" width=100% |
||
|- style="background-color: gainsboro" |
|- style="background-color: gainsboro" |
||
! อนุกรมฟู |
! อนุกรมฟูรีเย |
||
! สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟู |
! สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย |
||
|- |
|- |
||
|align = center|<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}.</math> |
|align = center|<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}.</math> |
||
บรรทัด 29: | บรรทัด 29: | ||
== ตัวอย่าง == |
== ตัวอย่าง == |
||
พิจารณาฟังก์ชัน <math> \, f(x) = x \,</math> สำหรับค่า <math> x \in (-\pi,\pi) </math> และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟู |
พิจารณาฟังก์ชัน <math> \, f(x) = x \,</math> สำหรับค่า <math> x \in (-\pi,\pi) </math> และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป |
||
::[[ไฟล์:Fxeqx.png|450px]] |
::[[ไฟล์:Fxeqx.png|450px]] |
||
สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟู |
สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(''nx'') เป็น[[ฟังก์ชันคู่]] ในขณะที่ ''f'' เป็น[[ฟังก์ชันคี่]]เช่นเดียวกับ sin(''nx'') |
||
:<math>a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\, dx= 0,</math> |
:<math>a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\, dx= 0,</math> |
||
บรรทัด 44: | บรรทัด 44: | ||
\right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}</math> |
\right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}</math> |
||
สังเกตว่า ''a''<sub>0</sub> และ ''a<sub>n</sub>'' มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก ''x'' และ ''x'' cos(''nx'') เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟู |
สังเกตว่า ''a''<sub>0</sub> และ ''a<sub>n</sub>'' มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก ''x'' และ ''x'' cos(''nx'') เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ ''f''(''x'') = ''x'' คือ: |
||
:<math>f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) </math> |
:<math>f(x)=x=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) </math> |
||
บรรทัด 50: | บรรทัด 50: | ||
::<math>=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)</math> |
::<math>=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)</math> |
||
สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟู |
สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของ[[ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์]] ที่ ''s'' = 2 |
||
[[ไฟล์:Periodic identity function.gif|left|thumb|400px|ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ]] |
[[ไฟล์:Periodic identity function.gif|left|thumb|400px|ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ]] |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 09:34, 20 กุมภาพันธ์ 2560
บทความนี้ไม่มีการอ้างอิงจากแหล่งที่มาใด |
อนุกรมฟูรีเย ตั้งชื่อตาม โฌแซ็ฟ ฟูรีเย อนุกรมฟูรีเยเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูรีเย นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป
ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ ei x หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์
ดูประวัติที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย
นิยาม
พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก
อนุกรมฟูรีเย | สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย |
---|---|
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ และ | |
| |
โดยที่ , และ |
ตัวอย่าง
พิจารณาฟังก์ชัน สำหรับค่า และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป
สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)
สังเกตว่า a0 และ an มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ f(x) = x คือ:
สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ที่ s = 2