ต้นไม้ (โครงสร้างข้อมูล)

สำหรับความหมายอื่น ดูที่ ต้นไม้ (แก้ความกำกวม)

ต้นไม้
การเรียงตัวของต้นไม้ในมโนทัศน์ของโครงสร้างข้อมูล
ความสำคัญของลำดับ	เรียงจากน้อยไปมาก
การซ้ำกันของสมาชิก	ไม่อนุญาตให้ซ้ำกัน
เวลาที่ใช้ในการเข้าถึง	การแวะผ่านต้นไม้ (tree traversal)
โครงสร้างที่นำไปใช้	ต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาค

ต้นไม้ (อังกฤษ: Tree) เป็น แบบชนิดข้อมูลนามธรรม ประเภทหนึ่ง มีลักษณะการเรียงเป็นกิ่งก้านสาขาแตกแขนงออกไป จะไม่มีวงวน (loop) โยงในสมาชิกตัวต่างๆ โดยสมาชิกจะถูกเก็บไว้ในประเภทข้อมูลชนิดวัตถุ (Object) หรือโครงสร้าง (Structure) เรียกว่าปม (node) ซึ่งจะมีตัวแปรซึ่งเก็บตัวชี้ (Pointer) ไปยังปมอื่นๆได้

ต้นไม้ถูกใช้ในการจัดการข้อมูลที่เปรียบเทียบกันได้ (comparable) อย่างรวดเร็วเช่น ตัวเลข หรือ การเรียงลำดับความสำคัญของข้อมูล เช่น การคำนวณที่มีวงเล็บ เป็นอาทิ

ส่วนประกอบของต้นไม้

• ปม (node) หมายถึงสิ่งที่เก็บสมาชิกของต้นไม้
• ราก (root) หมายถึงปมที่เราใช้เริ่มค้นหาภายในต้นไม้ ถ้าเป็น null หมายถึงต้นไม้ว่าง (empty tree)
• ปมลูก (child node) หมายถึงปมที่แตกออกมาจากของปมดังกล่าว ส่วนปมที่ปมดังกล่าวแตกมาเรียกว่า ปมพ่อ (parent node) และเรียกปมพ่อของปมพ่อว่า ปมปู่ (grandparent node) และเรียกตามลำดับการนับญาติฝ่ายพ่อไปเรื่อยๆ ส่วนปมลูกของปมลูกก็จะเป็นปมหลาน (grandchild node) ไปเรื่อยๆ ตามลำดับการเรียกญาติฝ่ายลูก
• ปมที่มีปมพ่อเป็นปมเดียวกันเรียกว่า ปมพี่น้อง (sibling node)
• ปมที่มี m ลูก เราจะเรียกว่า ปมแบบ m (m-type node)
• ใบ (leaf node) หมายถึงปมที่ไม่มีปมลูก
• การเขียนต้นไม้มักเขียนปมรากอยู่ข้างบน และเขียนแตกแขนงลงมาให้ปมใบอยู่ข้างล่าง
• ความลึกของปม (node depth) หมายถึงจำนวนครั้งของความสัมพันธ์เชิงพ่อ-ลูก ระหว่าง ปมรากถึงปมใดๆ
• ความสูง (tree height) หมายถึงความลึกของใบที่ลึกที่สุด สำหรับต้นไม้ที่มีแต่รากจะสูง 0 และต้นไม้ว่างอาจตั้งได้ว่าสูง -1
• ต้นไม้ย่อย (subtree) หมายถึงต้นไม้ย่อยที่ใช้สมาชิกของต้นไม้ที่เราพิจารณา ไปเป็นรากส่งผลให้ ปมลูกปมหลานที่อยู่ใต้สมาชิกตัวนั้นกลายเป็นสมาชิกของต้นไม้ย่อยไปด้วย

ต้นไม้พิเศษ

• ต้นไม้ค้นหา (search tree) หมายถึงต้นไม้ที่ตามปมใดๆต้นไม้ย่อยจะน้อยกว่า มากกว่า หรืออยู่ระหว่าง สมาชิกของปมนั้น ในลักษณะการเรียงลำดับ สำหรับต้นไม้ค้นหาที่มีปมแบบ m ใดๆ ย่อมมีสมาชิกให้เปรียบเทียบ m-1 ตัวในปมนั้น เช่น ปมแบบสาม จะมีสมาชิกสองตัว
• ต้นไม้ m ภาค (m-ary tree) หมายถึงต้นไม้ที่ใช้แต่ปมแบบ m กล่าวคือมี m ลูก
• ต้นไม้ทวิภาค (binary tree) หมายถึงต้นไม้ที่มีแต่ปมแบบสอง
• ต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาค (binary search tree) หมายถึงต้นไม้ที่มีแต่ปมแบบสอง โดยต้นไม้ย่อยของลูกซ้าย (left child subtree) จะมีค่าน้อยกว่าปมนั้นๆ และต้นไม้ย่อยของลูกขวา (right child subtree) จะมีค่ามากกว่าปมนั้นๆ
• ต้นไม้ประกันการทำงาน หมายถึงต้นไม้ที่ประกันความเร็วการทำงานเป็น O (log n)
• ต้นไม้ประกันความสูง หมายถึงต้นไม้ที่ประกันความสูงเป็น O (log n) ต้นไม้ประกันความสูงย่อมเป็นต้นไม้ประกันการทำงานไปด้วย
• ต้นไม้ได้ดุล (balanced tree) หมายถึงต้นไม้ที่มีความสูงต่ำสุดเท่าที่เป็นไปได้สำหรับชุดข้อมูลใดๆ ต้นไม้ได้ดุลย่อมเป็นต้นไม้ที่ประกันความสูงไปด้วย
• ต้นไม้เติมเต็ม (completed tree) หมายถึงต้นไม้ที่ปมใดๆสามารถมีลูกได้ก็ต่อเมื่อปมพี่น้องทางซ้ายมีลูกเท่านั้น ต้นไม้เติมเต็มย่อมเป็นต้นไม้ได้ดุลไปด้วย
• ฮีป (heap) หมายถึงต้นไม้ที่เมื่อพิจารณาในต้นไม้ย่อยใดๆในต้นไม้ รากจะมีความสำคัญ (priority) มากที่สุด

จุดเด่นของต้นไม้

ต้นไม้เป็นโครงสร้างที่เน้นข้อมูลที่เปรียบเทียบกันได้ (comparable) เช่นต้นไม้ค้นหา หรือมีลำดับความสำคัญเป็นขั้นตอน เช่นฮีป มักใช้ในการจัดการค้นหาอย่างรวดเร็วเป็น O (log n) หรือการจัดลำดับความสำคัญ เช่นการจัดนิพจน์ ซึ่งเรียงลำดับการทำงานโดยต้นไม้นิพจน์

สมบัติของต้นไม้ในทางคณิตศาสตร์ที่มักใช้

ดูเพิ่ม: ต้นไม้ (ทฤษฎีกราฟ)

• ต้นไม้ m ภาคจะมีความสูงต่ำสุดที่เป็นไปได้คือ $\lfloor log_{m}n\rfloor$

บริการที่มักจะมี

• การเพิ่ม ลบ และค้นสมาชิก
• การหาตัวมากที่สุด หรือน้อยที่สุด
• การไล่สมาชิกตามการแวะผ่านต้นไม้ (tree traversal)

ความเร็วที่ใช้ในการทำงาน

ต้นไม้เน้นการทำงานอย่างรวดเร็วโดยการตัดทอนกิ่งที่ไม่สนใจ เช่นต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาคที่สามารถไล่ไปตามกิ่งของต้นไม้ ทำให้อย่างมากที่สุด การค้นหาก็จะผ่านจำนวนข้อมูลเท่ากับความสูงของต้นไม้ ซึ่งความสูงของต้นไม้ที่น้อยที่สุดเป็น O (log n) จึงทำให้บริการที่เร็วที่สุดเป็น O (log n) อย่างไรก็ตาม หากจัดการไม่เหมาะสม ความสูงของต้นไม้อาจยืดเป็น O (n)ได้ส่งผลให้บริการช้า จึงต้องมีการจำกัดความสูงและคงสมดุลของต้นไม้ให้เหมาะสม

การแวะผ่านต้นไม้

การแวะผ่านต้นไม้ (tree traversal) หมายถึงการทำงานผ่านต้นไม้ใดๆ เช่นการไล่พิมพ์สมาชิก การสร้างแถวลำดับเก็บทุกสมาชิกของต้นไม้ ฯลฯ ที่จำเป็นต้องผ่านสมาชิกทุกๆตัวในต้นไม้ ซึ่งการเรียงลำดับการแวะผ่านต้นไม้จำเป็นต้องใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด การแวะผ่านต้นไม้มีสามแบบดังต่อไปนี้

• การแวะผ่านก่อนลำดับ (preorder traversal) หมายถึงการแวะผ่านโดยให้ความสำคัญรากก่อนแล้วจึงแวะผ่านต้นไม้ย่อยของลูกจากซ้ายไปขวา
• การแวะผ่านตามลำดับ (inorder traversal) หมายถึงการแวะผ่านโดยให้ความสำคัญต้นไม้ย่อยของลูกซ้ายก่อน และกลับมาแวะที่ราก แล้วจึงแวะผ่านต้นไม้ย่อยทางขวา และกลับมาแวะที่ราก เช่นนี้ไปเรื่อยๆสลับกันไป จนถึงต้นไม้ย่อยของลูกสุดท้าย
• การแวะผ่านหลังลำดับ (postorder traversal) หมายถึงการแวะผ่านต้นไม้ย่อยของลูกเรียงจากซ้ายไปขวา แล้วจึงแวะผ่านรากทีหลัง

โครงสร้างข้อมูลที่เป็นต้นไม้

• ต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาค

ดูเพิ่ม

• ต้นไม้ (ทฤษฎีกราฟ)