ข้ามไปเนื้อหา

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "การคูณ"

เพิ่มขึ้น 14 ไบต์ ,  9 ปีที่แล้ว
เก็บกวาด
(เก็บกวาด)
(เก็บกวาด)
 
การคูณสามารถนิยามบน[[จำนวนธรรมชาติ]]ว่าเป็นการบวกที่ซ้ำๆ กัน ตัวอย่างเช่น 4 คูณด้วย 3 (หรือเรียกโดยย่อว่า 4 คูณ 3) หมายถึงการบวกจำนวน 4 เข้าไป 3 ชุด ดังนี้
:: <math>4 + 4 + 4 = 12\,\!</math>
สำหรับการคูณของ[[จำนวนตรรกยะ]] ([[เศษส่วน]]) และ[[จำนวนจริง]] ก็นิยามโดยกรณีทั่วไปที่เป็นระบบของแนวความคิดพื้นฐานดังกล่าว
 
[[ไฟล์:Multiplication Sign.svg|thumb|right|เครื่องหมายคูณ ลักษณะคล้าย[[กากบาท]]]]
โดยทั่วไปการคูณสามารถเขียนโดยใช้[[เครื่องหมายคูณ]] (×) ระหว่างจำนวนทั้งสอง (ในรูปแบบ[[สัญกรณ์เติมกลาง]]) ตัวอย่างเช่น
:: <math>2 \times 3 = 6</math> (อ่านว่า 2 คูณ 3 เท่ากับ 6)
:: <math>3 \times 4 = 12</math>
:: <math>2 \times 3 \times 5 = 6 \times 5 = 30</math>
:: <math>2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32</math>
 
อย่างไรก็ตามก็ยังมีการใช้สัญกรณ์อื่นๆ แทนการคูณโดยทั่วไป อาทิ
 
== ผลคูณของลำดับ ==
ถ้าพจน์แต่ละพจน์ของผลคูณไม่ได้เขียนออกมาทั้งหมด เราอาจจะใช้เครื่องหมายจุดไข่ปลาแทนพจน์ที่หายไป เช่นเดียวกับการดำเนินการอื่นๆ (เช่น การบวก) เช่น ผลคูณของ[[จำนวนธรรมชาติ]] ตั้งแต่ 1-100 อาจเขียน <math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100</math>. และสามารถเขียนให้เครื่องหมายจุดไข่ปลาอยู่บริเวณกึ่งกลางแนวตั้งของแถวได้อีกด้วย คือ <math>1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 99 \cdot 100</math>.
 
นอกจากนี้แล้ว ผลคูณยังสามารถเขียนได้ด้วยเครื่องหมายผลคูณ ซึ่งมาจาก [[พาย (อักษรกรีก)|อักษร Π (Pi)]] ตัวใหญ่ ใน[[อักษรกรีก]].
นอกจากนี้ยังสามารถแทน <math>m</math> ด้วยจำนวนลบอนันต์
 
: <math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i := \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=-n}^m x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=m+1}^n x_i\right),</math>
 
และสำหรับจำนวนเต็ม <math>m</math> บางจำนวน สามารถกำหนดได้ทั้งอนันต์และลบอนันต์
สำหรับความหมายของการคูณ ผลคูณของ[[จำนวนธรรมชาติ]] n และ m ใดๆ
 
: <math>mn := \sum_{k=1}^n m</math>
 
กล่าวสั้นๆ คือ 'บวก m เข้ากับตัวเอง n ตัว' สามารถเขียนได้ในลักษณะนี้เพื่อให้ชัดเจนมากขึ้น
 
: ''m'' × ''n'' = ''m'' + ''m'' + ''m'' + ... + ''m''
 
หมายถึงมีจำนวน 'm' n ตัวบวกกันนั่นเอง
โดยใช้นิยาม เราสามารถพิสูจน์สมบัติของการคูณได้โดยง่ายดาย โดยดูจากสองตัวอย่างข้างต้น เรามีสมบัติว่า จำนวนสองจำนวนที่คูณกันสามารถสลับที่กันได้โดยผลคูณยังคงเดิม เราเรียกสมบัตินี้ว่า [[สมบัติการสลับที่]] และ สมบัตินี้เป็นจริงสำหรับจำนวน x และ y ใดๆ นั่นคือ
 
: ''x'' · ''y'' = ''y'' · ''x''.
 
นอกจากนี้ การคูณยังมี[[สมบัติการเปลี่ยนหมู่]]อีกด้วย ความหมายสำหรับจำนวน x,y และ z ใดๆ คือ
 
: (''x'' · ''y'')''z'' = ''x''(''y'' · ''z'').
 
หมายเหตุจาก[[พีชคณิต]]: เครื่องหมายวงเล็บ หมายถึง การดำเนินภายในวงเล็บจะต้องกระทำก่อนการดำเนินการภายนอกวงเล็บ
การคูณมี[[สมบัติการแจกแจง]] เพราะ
 
: ''x''(''y'' + ''z'') = ''xy'' + ''xz''.
 
มีสิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับการคูณกับ 1 นั่นคือ
 
: 1 · ''x'' = ''x''.
 
เราเรียก 1 ว่า [[จำนวนเอกลักษณ์]]
สำหรับเลข 0 เราจะได้
 
: ''m'' · 0 = ''m'' + ''m'' + ''m'' +...+ ''m''
 
เมื่อเรานำ '0' ''m'' ตัวมาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมเป็นศูนย์ นั่นคือ
 
: ''m'' · 0 = 0
 
ไม่ว่า ''m'' จะเป็นจำนวนใด (แม้กระทั่งอนันต์).
การคูณกับจำนวนลบอาจจะต้องมีการคิดเล็กน้อย เริ่มจากการคูณ (−1) กับจำนวนเต็ม ''m'' ใดๆ
 
: (−1)''m'' = (−1) + (−1) +...+ (−1) = −''m''
 
นี่เป็นความจริงที่น่าสนใจว่า จำนวนลบ คือ จำนวนลบหนึ่ง คูณกับจำนวนบวกนั่นเอง เพราะฉะนั้นผลคูณระหว่างจำนวนบวกกับจำนวนลบทำได้โดยการคูณปกติ แล้วคูณด้วย (−1)
 
: (−1)(−1) = −(−1) = 1
 
ในขณะนี้ เราสามารถสรุปการคูณระหว่าง[[จำนวนเต็ม]]สองจำนวนใดๆ ได้แล้ว และนิยามนี้ยังขยายไปสำหรับ[[เซต]]ของ[[เศษส่วน]] หรือ [[จำนวนตรรกยะ]] และขยายไปถึง[[จำนวนจริง]]และ[[จำนวนเชิงซ้อน]]
138,643

การแก้ไข