ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ลำดับเลขคณิต"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม

ในบรรทัด

รุ่นแก้ไขเมื่อ 00:13, 31 มกราคม 2556

ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic progression) หรือ ลำดับเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งมีผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัว ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นการก้าวหน้าเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ a₁ และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ d ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ

a_{n}=a_{1}+(n-1)d\,\!

หรือในกรณีทั่วไป จะได้

a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,\!

หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

a_{n}=a_{n-1}+d\,\!

ผลรวม

ผลรวมของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic series) ซึ่งสามารถนำเสนอได้สองแบบ ได้แก่

S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)

S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}

รวมสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ d จะหายไป และเหลือเพียง

2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\,\!

จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ ดังนั้นเราจะได้

S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}

มีเรื่องเล่ากันว่าเกาส์ได้ค้นพบสูตรนี้ เมื่อครูของเขาสั่งให้ทั้งห้องหาผลบวกของจำนวน 1 ถึง 100 และเขาก็ตอบอย่างรวดเร็วว่า 5,050^{[ต้องการอ้างอิง]}

ผลคูณ

ผลคูณของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต โดยเริ่มตั้งแต่พจน์ a₁ ไปถึง a_n ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ d สามารถคำนวณได้จาก

a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}}

โดยที่สัญลักษณ์ $x^{\overline {n}}$ หมายถึงผลคูณลำดับเพิ่ม (rising sequential product) และ $\Gamma (x)$ แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ $a_{1}/d$ เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์

นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของการก้าวหน้าเลขคณิต 1 × 2 × ... × n ที่ได้นิยามไว้แล้วในแฟกทอเรียล n! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้

m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!

จะมีค่าเท่ากับ

{\frac {n!}{(m-1)!}}

โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

อ้างอิง

Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.

ดูเพิ่ม

แหล่งข้อมูลอื่น

@@ บรรทัด 2: / บรรทัด 2: @@
 ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ ''a''<sub>1</sub> และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ ''d'' ดังนั้นพจน์ที่ ''n'' ของลำดับนี้คือ
-::<math>a_n = a_1 + (n - 1)d\,\!</math>
+:: <math>a_n = a_1 + (n - 1)d\,\!</math>
 หรือในกรณีทั่วไป จะได้
-::<math>a_n = a_m + (n - m)d\,\!</math>
+:: <math>a_n = a_m + (n - m)d\,\!</math>
 หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบ[[ความสัมพันธ์เวียนเกิด]]
-::<math>a_n = a_{n-1} + d\,\!</math>
+:: <math>a_n = a_{n-1} + d\,\!</math>
 == ผลรวม ==
 [[ผลรวม]]ของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต เรียกว่า '''อนุกรมเลขคณิต''' ({{lang-en|arithmetic series}}) ซึ่งสามารถนำเสนอได้สองแบบ ได้แก่
-::<math>S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)</math>
+:: <math>S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)</math>
-::<math>S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n</math>
+:: <math>S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n</math>
 รวมสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ ''d'' จะหายไป และเหลือเพียง
-::<math>2S_n=n(a_1+a_n)\,\!</math>
+:: <math>2S_n=n(a_1+a_n)\,\!</math>
 จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า <math>a_n = a_1 + (n-1)d</math> ดังนั้นเราจะได้
-::<math>S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}</math>
+:: <math>S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}</math>
 มีเรื่องเล่ากันว่า[[คาร์ล ฟรีดริช เกาส์|เกาส์]]ได้ค้นพบสูตรนี้ เมื่อครูของเขาสั่งให้ทั้งห้องหาผลบวกของจำนวน 1 ถึง 100 และเขาก็ตอบอย่างรวดเร็วว่า 5,050{{อ้างอิง}}
@@ บรรทัด 23: / บรรทัด 23: @@
 == ผลคูณ ==
 [[ผลคูณ]]ของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต โดยเริ่มตั้งแต่พจน์ ''a''<sub>1</sub> ไปถึง ''a''<sub>''n''</sub> ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ ''d'' สามารถคำนวณได้จาก
-::<math>a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) }</math>
+:: <math>a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) }</math>
 โดยที่สัญลักษณ์ <math>x^{\overline{n}}</math> หมายถึง[[ผลคูณลำดับเพิ่ม]] (rising sequential product) และ <math>\Gamma (x)</math> แทน[[ฟังก์ชันแกมมา]] อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ {{nowrap|<math>a_1/d</math>}} เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์
 นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของการก้าวหน้าเลขคณิต 1 × 2 × ... × ''n'' ที่ได้นิยามไว้แล้วใน[[แฟกทอเรียล]] ''n''! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้
-::<math>m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!</math>
+:: <math>m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!</math>
 จะมีค่าเท่ากับ
-::<math>\frac{n!}{(m-1)!}</math>
+:: <math>\frac{n!}{(m-1)!}</math>
 โดยที่ ''m'' และ ''n'' เป็น[[จำนวนเต็ม]]บวก
 == อ้างอิง ==
 {{รายการอ้างอิง}}
-*{{cite book
+* {{cite book
  | title = Fibonacci's Liber Abaci
  | author = Sigler, Laurence E. (trans.)