ผลต่างระหว่างรุ่นของ "การแปลงลาปลัส"
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
|||
บรรทัด 21: | บรรทัด 21: | ||
! หมายเหตุ |
! หมายเหตุ |
||
|- |
|- |
||
! [[ภาวะเชิงเส้น]] |
! [[ภาวะเชิงเส้น]] (Linearity) |
||
| <math> a f(t) + b g(t) \ </math> |
| <math> a f(t) + b g(t) \ </math> |
||
| <math> a F(s) + b G(s) \ </math> |
| <math> a F(s) + b G(s) \ </math> |
||
| สามารถ |
| สามารถพิสูจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการหาปริพันธ์ |
||
|- |
|- |
||
! [[ |
! [[อนุพันธ์เชิงความถี่]] (Frequency differentiation) |
||
| <math> t f(t) \ </math> |
| <math> t f(t) \ </math> |
||
| <math> -F'(s) \ </math> |
| <math> -F'(s) \ </math> |
||
| <math>F'\,</math> เป็นอนุพันธอันดับแรกของ <math>F\,</math>. |
| <math>F'\,</math> เป็นอนุพันธอันดับแรกของ <math>F\,</math>. |
||
|- |
|- |
||
! |
! อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation) |
||
| <math> t^{n} f(t) \ </math> |
| <math> t^{n} f(t) \ </math> |
||
| <math> (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ </math> |
| <math> (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ </math> |
||
| รูปแบบทั่วไปของอนุพันธอันดับ ''n''<sup>th</sup> ของ F(s) |
| รูปแบบทั่วไปของอนุพันธอันดับ ''n''<sup>th</sup> ของ F(s) |
||
|- |
|- |
||
! |
! อนุพันธ์ (Differentiation) |
||
| <math> f'(t) \ </math> |
| <math> f'(t) \ </math> |
||
| <math> s F(s) - f(0) \ </math> |
| <math> s F(s) - f(0) \ </math> |
||
บรรทัด 61: | บรรทัด 61: | ||
| <math>u(t)</math> คือ ฟังก์ชั่นขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ <math>(u * f)(t)</math> คือสังวัตนาการ (convolution) ของ <math>u(t) </math> และ <math>f(t)</math> |
| <math>u(t)</math> คือ ฟังก์ชั่นขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ <math>(u * f)(t)</math> คือสังวัตนาการ (convolution) ของ <math>u(t) </math> และ <math>f(t)</math> |
||
|- |
|- |
||
! ขยายเชิงเวลา (Time scaling) |
! การขยายเชิงเวลา (Time scaling) |
||
| <math> f(at) \ </math> |
| <math> f(at) \ </math> |
||
| <math> \frac{1}{|a|} F \left ( {s \over a} \right )</math> |
| <math> \frac{1}{|a|} F \left ( {s \over a} \right )</math> |
||
บรรทัด 71: | บรรทัด 71: | ||
| |
| |
||
|- |
|- |
||
! การ |
! การเลื่อนเชิงเวลา (Time shifting) |
||
| <math> f(t - a) u(t - a) \ </math> |
| <math> f(t - a) u(t - a) \ </math> |
||
| <math> e^{-as} F(s) \ </math> |
| <math> e^{-as} F(s) \ </math> |
||
บรรทัด 86: | บรรทัด 86: | ||
| ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ''ƒ''(''t'') และ ''g''(''t'') มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ ''t'' < 0 |
| ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ''ƒ''(''t'') และ ''g''(''t'') มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ ''t'' < 0 |
||
|- |
|- |
||
! [[สังยุค (จำนวนเชิงซ้อน)|สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน]]Complex conjugation |
|||
! [[คอนจูเกตเชิงซ้อน]]Complex conjugation |
|||
| <math> f^*(t) </math> |
| <math> f^*(t) </math> |
||
| <math> F^*(s^*) </math> |
| <math> F^*(s^*) </math> |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 08:05, 13 ตุลาคม 2554
ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงลาปลาส (อังกฤษ: Laplace transform) คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง แสดงอยู่ในรูป การแปลงลาปลาสจะทำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของ f(t) ซึ่งค่า t เป็นอาร์กิวเมนต์จริง(t ≥ 0) จะแปลงไปอยู่ในรูปฟังก์ชัน F(s) โดย s เป็นอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน การแปลงนี้เป็นการทำฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่สำคัญมากในการใช้งานในทางปฏิบัติ คู่ฟังก์ชัน f(t) กับ F(s) นั้นจับคู่กันในตาราง การแปลงลาปลาสถูกใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่มันมีความสัมพันธ์และการดำเนินการของฟังกันดังเดิม f(t) น้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์กับการดำเนินการในรูปของ F(s) การแปลงลาปลาสถูกประยุกต์ใช้ในงานสำคัญมากมายที่เป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ สำหรับชื่อลาปลาสนี้มาจากชื่อของปีแยร์-ซีมง ลาปลาส ผู้ที่นำการแปลงนี้ไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น
การแปลงลาปลาสเกี่ยวข้องกับการแปลงฟูรีเย แต่ขณะที่การแปลงฟูรีเยนั้นใช้ในการแก้ฟังก์ชันหรือสัญญาณในโหมดของการสั่นสะเทือน
คุณสมบัติ
กำหนดให้ f(t) และ g(t) มีผลการแปลงลาปลาสเป็น F(s) และ G(s) ตามลำดับ:
ตารางต่อไปนี้เป็นตารางคุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว (unilateral Laplace transform):[1]
โดเมนเวลา | โดเมน 's' | หมายเหตุ | |
---|---|---|---|
ภาวะเชิงเส้น (Linearity) | สามารถพิสูจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการหาปริพันธ์ | ||
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation) | เป็นอนุพันธอันดับแรกของ . | ||
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation) | รูปแบบทั่วไปของอนุพันธอันดับ nth ของ F(s) | ||
อนุพันธ์ (Differentiation) | สมมุติให้ ƒ เป็นฟังก์ชั่นที่อนุพันธได้ (differentiable function) | ||
อนุพันธอันดับสอง (Differentiation) | สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับสอง | ||
อนุพันธอันดับใดๆ (Differentiation) | สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับ n ใดๆ | ||
ปริพันธ์เชิงความถี่ (Frequency integration) | |||
ปริพันธ์ Integration | คือ ฟังก์ชั่นขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ คือสังวัตนาการ (convolution) ของ และ | ||
การขยายเชิงเวลา (Time scaling) | |||
การเลื่อนเชิงความถี่ (Frequency shifting) | |||
การเลื่อนเชิงเวลา (Time shifting) | คือ ฟังก์ชั่นขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) | ||
การคูณ (Multiplication) | การหาปริพันธ์จะกระทำบนแกนแนวดิ่ง ซึ่งอยู่ในขอบเขตการลู่เข้า (region of convergence) ของ F[2] | ||
สังวัตนาการ (Convolution) | ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ƒ(t) และ g(t) มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ t < 0 | ||
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนComplex conjugation | |||
สหสัมพันธ์ไขว้ (Cross-correlation) | |||
ฟังก์ชันคาบ (Periodic Function) | เป็น ฟังก์ชันคาบ ของคาบ กล่าวคือ เป็นการรวมการของคุณสมบัติการเลื่อนเชิงเวลาและคุณสมบัติของลำดับเรขาคณิต |
เชิงอรรถ
- อาจพบเห็นการสะกดชื่อการแปลงลาปลาสอย่างอื่นเช่น การแปลงลาปลาซ, การแปลงลาพลาส, การแปลงลาพลาซ หรือใช้คำนำหน้าว่า ผลการแปลง–, การแปลงรูป–
อ้างอิง
- Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 3764365498.
- Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 0071160434.
- ↑ (Korn & Korn 1967, pp. 226–227)
- ↑ Bracewell 2000, Table 14.1, p. 385