ผลต่างระหว่างรุ่นของ "การแปลงลาปลัส"
ล r2.7.2) (โรบอต เพิ่ม: ml:ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം; ปรับแต่งให้อ่านง่าย |
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 2: | บรรทัด 2: | ||
การแปลงลาปลาสเกี่ยวข้องกับ[[การแปลงฟูรีเย]] แต่ขณะที่การแปลงฟูรีเยนั้นใช้ในการแก้ฟังก์ชันหรือสัญญาณในโหมดของการสั่นสะเทือน |
การแปลงลาปลาสเกี่ยวข้องกับ[[การแปลงฟูรีเย]] แต่ขณะที่การแปลงฟูรีเยนั้นใช้ในการแก้ฟังก์ชันหรือสัญญาณในโหมดของการสั่นสะเทือน |
||
== คุณสมบัติ == |
|||
กำหนดให้ ''f''(''t'') และ ''g''(''t'') มีผลการแปลงลาปลาสเป็น ''F''(''s'') และ ''G''(''s'') ตามลำดับ: |
|||
: <math> f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} </math> |
|||
: <math> g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \} </math> |
|||
ตารางต่อไปนี้เป็นตารางคุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว (unilateral Laplace transform):<ref>{{harv|Korn|Korn|1967|pp=226–227}}</ref> |
|||
{| class="wikitable" |
|||
|+ '''คุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว''' |
|||
! |
|||
! โดเมนเวลา |
|||
! โดเมน 's' |
|||
! หมายเหตุ |
|||
|- |
|||
! [[ภาวะเชิงเส้น]] |
|||
| <math> a f(t) + b g(t) \ </math> |
|||
| <math> a F(s) + b G(s) \ </math> |
|||
| สามารถพิจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของอินทิเกรท |
|||
|- |
|||
! [[อนุพันธ์เชิงความถี่|อนุพันธ์เชิงความถี่]] (Frequency differentiation) |
|||
| <math> t f(t) \ </math> |
|||
| <math> -F'(s) \ </math> |
|||
| <math>F'\,</math> เป็นอนุพันธอันดับแรกของ <math>F\,</math>. |
|||
|- |
|||
! [[อนุพันธ์เชิงความถี่|อนุพันธ์เชิงความถี่]] (Frequency differentiation) |
|||
| <math> t^{n} f(t) \ </math> |
|||
| <math> (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ </math> |
|||
| รูปแบบทั่วไปของอนุพันธอันดับ ''n''<sup>th</sup> ของ F(s) |
|||
|- |
|||
! [[อนุพันธ]] (Differentiation) |
|||
| <math> f'(t) \ </math> |
|||
| <math> s F(s) - f(0) \ </math> |
|||
| สมมุติให้ ''ƒ'' เป็นฟังก์ชั่นที่อนุพันธได้ (differentiable function) |
|||
|- |
|||
! อนุพันธอันดับสอง (Differentiation) |
|||
| <math> f''(t) \ </math> |
|||
| <math> s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ </math> |
|||
| สมมุติให้ ''ƒ'' มีอนุพันธอันดับสอง |
|||
|- |
|||
! อนุพันธอันดับใดๆ (Differentiation) |
|||
| <math> f^{(n)}(t) \ </math> |
|||
| <math> s^n F(s) - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0) \ </math> |
|||
| สมมุติให้ ''ƒ'' มีอนุพันธอันดับ ''n'' ใดๆ |
|||
|- |
|||
! [[ปริพันธ์เชิงความถี่]] (Frequency integration) |
|||
| <math> \frac{f(t)}{t} \ </math> |
|||
| <math> \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \ </math> |
|||
| |
|||
|- |
|||
! [[ปริพันธ์]] Integration |
|||
| <math> \int_0^t f(\tau)\, d\tau = (u * f)(t)</math> |
|||
| <math> {1 \over s} F(s) </math> |
|||
| <math>u(t)</math> คือ ฟังก์ชั่นขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ <math>(u * f)(t)</math> คือสังวัตนาการ (convolution) ของ <math>u(t) </math> และ <math>f(t)</math> |
|||
|- |
|||
! ขยายเชิงเวลา (Time scaling) |
|||
| <math> f(at) \ </math> |
|||
| <math> \frac{1}{|a|} F \left ( {s \over a} \right )</math> |
|||
| |
|||
|- |
|||
! การเลื่อนเชิงความถี่ (Frequency shifting) |
|||
| <math> e^{at} f(t) \ </math> |
|||
| <math> F(s - a) \ </math> |
|||
| |
|||
|- |
|||
! การเลื่ออนเชิงเวลา (Time shifting) |
|||
| <math> f(t - a) u(t - a) \ </math> |
|||
| <math> e^{-as} F(s) \ </math> |
|||
| <math>u(t)</math> คือ ฟังก์ชั่นขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) |
|||
|- |
|||
! [[การคูณ]] (Multiplication) |
|||
| <math> f(t) g(t) \ </math> |
|||
| <math> \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c-iT}^{c+iT}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ </math> |
|||
| การหาปริพันธ์จะกระทำบนแกนแนวดิ่ง <math>Re(\sigma)=c</math> ซึ่งอยู่ในขอบเขตการลู่เข้า (region of convergence) ของ ''F''<ref>{{harvnb|Bracewell|2000|loc=Table 14.1, p. 385}}</ref> |
|||
|- |
|||
! [[สังวัตนาการ]] (Convolution) |
|||
| <math> (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau</math> |
|||
| <math> F(s) \cdot G(s) \ </math> |
|||
| ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ''ƒ''(''t'') และ ''g''(''t'') มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ ''t'' < 0 |
|||
|- |
|||
! [[คอนจูเกตเชิงซ้อน]]Complex conjugation |
|||
| <math> f^*(t) </math> |
|||
| <math> F^*(s^*) </math> |
|||
| |
|||
|- |
|||
! [[สหสัมพันธ์ไขว้]] (Cross-correlation) |
|||
| <math> f(t)\star g(t) </math> |
|||
| <math> F^*(-s^*)\cdot G(s) </math> |
|||
| |
|||
|- |
|||
! [[ฟังก์ชันคาบ]] (Periodic Function) |
|||
| <math> f(t) \ </math> |
|||
| <math>{1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt </math> |
|||
| <math>f(t)</math> เป็น ฟังก์ชันคาบ ของคาบ <math>T</math> กล่าวคือ <math>f(t) = f(t + T), \; \forall t\ge 0</math> เป็นการรวมการของคุณสมบัติการเลื่อนเชิงเวลาและคุณสมบัติของลำดับเรขาคณิต |
|||
|} |
|||
== เชิงอรรถ == |
== เชิงอรรถ == |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 08:00, 13 ตุลาคม 2554
ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงลาปลาส (อังกฤษ: Laplace transform) คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง แสดงอยู่ในรูป การแปลงลาปลาสจะทำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของ f(t) ซึ่งค่า t เป็นอาร์กิวเมนต์จริง(t ≥ 0) จะแปลงไปอยู่ในรูปฟังก์ชัน F(s) โดย s เป็นอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน การแปลงนี้เป็นการทำฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่สำคัญมากในการใช้งานในทางปฏิบัติ คู่ฟังก์ชัน f(t) กับ F(s) นั้นจับคู่กันในตาราง การแปลงลาปลาสถูกใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่มันมีความสัมพันธ์และการดำเนินการของฟังกันดังเดิม f(t) น้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์กับการดำเนินการในรูปของ F(s) การแปลงลาปลาสถูกประยุกต์ใช้ในงานสำคัญมากมายที่เป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ สำหรับชื่อลาปลาสนี้มาจากชื่อของปีแยร์-ซีมง ลาปลาส ผู้ที่นำการแปลงนี้ไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น
การแปลงลาปลาสเกี่ยวข้องกับการแปลงฟูรีเย แต่ขณะที่การแปลงฟูรีเยนั้นใช้ในการแก้ฟังก์ชันหรือสัญญาณในโหมดของการสั่นสะเทือน
คุณสมบัติ
กำหนดให้ f(t) และ g(t) มีผลการแปลงลาปลาสเป็น F(s) และ G(s) ตามลำดับ:
ตารางต่อไปนี้เป็นตารางคุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว (unilateral Laplace transform):[1]
โดเมนเวลา | โดเมน 's' | หมายเหตุ | |
---|---|---|---|
ภาวะเชิงเส้น | สามารถพิจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของอินทิเกรท | ||
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation) | เป็นอนุพันธอันดับแรกของ . | ||
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation) | รูปแบบทั่วไปของอนุพันธอันดับ nth ของ F(s) | ||
อนุพันธ (Differentiation) | สมมุติให้ ƒ เป็นฟังก์ชั่นที่อนุพันธได้ (differentiable function) | ||
อนุพันธอันดับสอง (Differentiation) | สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับสอง | ||
อนุพันธอันดับใดๆ (Differentiation) | สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับ n ใดๆ | ||
ปริพันธ์เชิงความถี่ (Frequency integration) | |||
ปริพันธ์ Integration | คือ ฟังก์ชั่นขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ คือสังวัตนาการ (convolution) ของ และ | ||
ขยายเชิงเวลา (Time scaling) | |||
การเลื่อนเชิงความถี่ (Frequency shifting) | |||
การเลื่ออนเชิงเวลา (Time shifting) | คือ ฟังก์ชั่นขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) | ||
การคูณ (Multiplication) | การหาปริพันธ์จะกระทำบนแกนแนวดิ่ง ซึ่งอยู่ในขอบเขตการลู่เข้า (region of convergence) ของ F[2] | ||
สังวัตนาการ (Convolution) | ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ƒ(t) และ g(t) มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ t < 0 | ||
คอนจูเกตเชิงซ้อนComplex conjugation | |||
สหสัมพันธ์ไขว้ (Cross-correlation) | |||
ฟังก์ชันคาบ (Periodic Function) | เป็น ฟังก์ชันคาบ ของคาบ กล่าวคือ เป็นการรวมการของคุณสมบัติการเลื่อนเชิงเวลาและคุณสมบัติของลำดับเรขาคณิต |
เชิงอรรถ
- อาจพบเห็นการสะกดชื่อการแปลงลาปลาสอย่างอื่นเช่น การแปลงลาปลาซ, การแปลงลาพลาส, การแปลงลาพลาซ หรือใช้คำนำหน้าว่า ผลการแปลง–, การแปลงรูป–
อ้างอิง
- Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 3764365498.
- Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 0071160434.
- ↑ (Korn & Korn 1967, pp. 226–227)
- ↑ Bracewell 2000, Table 14.1, p. 385