ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ทฤษฎีบทของวิลสัน"
ล r2.6.4) (โรบอต เพิ่ม: ar:مبرهنة ويلسون |
Luckas-bot (คุย | ส่วนร่วม) ล r2.7.1) (โรบอต เพิ่ม: kk:Вильсон теоремасы |
||
บรรทัด 47: | บรรทัด 47: | ||
[[it:Teorema di Wilson]] |
[[it:Teorema di Wilson]] |
||
[[ja:ウィルソンの定理]] |
[[ja:ウィルソンの定理]] |
||
[[kk:Вильсон теоремасы]] |
|||
[[ko:윌슨의 정리]] |
[[ko:윌슨의 정리]] |
||
[[lv:Vilsona teorēma]] |
[[lv:Vilsona teorēma]] |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 00:31, 28 กันยายน 2554
ในคณิตศาสตร์, ทฤษฎีบทของวิลสัน (Wilson's Theorem) กล่าวว่า สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 1,
(ดูเพิ่มเติมใน แฟกทอเรียล และ เลขคณิตมอดุลาร์ สำหรับความหมายของสัญกรณ์)
ประวัติ
การพิสูจน์
ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ แล้วเซต G = (Z/pZ) × = {1, 2, ... p − 1} จะอยู่ในรูปกรุปภายใต้การคูณมอดุโล pได้ นั่นหมายความว่า สำหรับแต่ละสมาชิก i ใน G จะมีสมาชิกผกผัน j ใน G ที่ทำให้ ij ≡ 1 (mod p) ได้อย่างเดียว. ถ้า i ≡ j (mod p) แล้วจะทำให้ i2 − 1 = (i + 1) (i − 1) ≡ 0 (mod p) จาก p เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ i ≡ 1 หรือ −1 (mod p) , นั่นคือ i = 1 หรือ i = p − 1.
หรือกล่าวได้ว่า 1 และ p − 1 เท่านั้น ที่เป็นตัวผกผันกับตัวเอง แต่สมาชิกตัวอื่นๆใน G จะมีตัวผกผันที่แตกต่างกัน ดังนั้น ถ้าจับคู่สมาชิกตัวที่ผกผันกันใน G และคูณทั้งหมดเข้าด้วยกัน จะได้ผลคูณเท่ากับ -1 ตัวอย่างเช่น ถ้า p = 11 จะได้
สำหรับบทกลับ ให้ n เป็นจำนวนประกอบ ที่ทำให้ (n − 1) ! ≡ −1 (mod p) , ดังนั้น n จะมีตัวหารแท้ d ซึ่ง 1 < d < n ดังนั้น d หาร (n − 1) ! ลงตัว แต่ d หาร (n − 1) ! + 1 ลงตัวด้วย ดังนั้น d หาร 1 ลงตัว เกิดข้อขัดแย้ง
การประยุกต์
บทกลับ
บทกลับของทฤษฎีบทของวิลสันกล่าวไว้ว่า สำหรับจำนวนประกอบ n > 5
- (n − 1) ! หารด้วย n ลงตัว
เหลือกรณีที่ n = 4 ซึ่ง 3! สมภาคกับ 2 โมดุโล 4