ทฤษฎีบทของวิลสัน

ในคณิตศาสตร์, ทฤษฎีบทของวิลสัน (Wilson's Theorem) กล่าวว่า สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 1,

$(p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ p)$

(ดูเพิ่มเติมใน แฟกทอเรียล และ เลขคณิตมอดุลาร์ สำหรับความหมายของสัญกรณ์)

การพิสูจน์

ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ แล้วเซต G = (Z/pZ)^× = {1, 2, ... p − 1} จะอยู่ในรูปกรุปภายใต้มอดุโลการคูณ pได้ นั่นหมายความว่า สำหรับแต่ละสมาชิก i ใน G จะมีสมาชิกผกผัน j ใน G ที่ทำให้ ij ≡ 1 (mod p) ได้อย่างเดียว. ถ้า i ≡ j (mod p) แล้วจะทำให้ i² − 1 = (i + 1)(i − 1) ≡ 0 (mod p) จาก p เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ i ≡ 1 หรือ −1 (mod p), นั่นคือ i = 1 หรือ i = p − 1.

หรือกล่าวได้ว่า 1 และ p − 1 เท่านั้น ที่เป็นตัวผกผันกับตัวเอง แต่สมาชิกตัวอื่นๆใน G จะมีตัวผกผันที่แตกต่างกัน ดังนั้น ถ้าจับคู่สมาชิกตัวที่ผกผันกันใน G และคูณทั้งหมดเข้าด้วยกัน จะได้ผลคูณเท่ากับ -1 ตัวอย่างเช่น ถ้า p = 11 จะได้

$10!=1(10)(2\cdot 6)(3\cdot 4)(5\cdot 9)(7\cdot 8)\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ 11)$

สำหรับบทกลับ ให้ n เป็นจำนวนประกอบ ที่ทำให้ (n − 1)! ≡ −1 (mod p), n จะมีตัวหารแท้ d ซึ่ง 1 < d < n ดังนั้น d หาร (n − 1)! ลงตัว แต่ d หาร (n − 1)! + 1 ลงตัวด้วย ดังนั้น d หาร 1 ลงตัว ทำให้เกิดข้อขัดแย้ง