ลำดับเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric progression) หรือ ลำดับเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า อัตราส่วนทั่วไป (common ratio) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... เป็นการก้าวหน้าเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนทั่วไปเท่ากับ 3 และลำดับ 10, 5, 2.5, 1.25, ... มีอัตราส่วนเท่ากับ 0.5 เป็นต้น

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเรขาคณิตลำดับหนึ่งคือ a₁ และมีอัตราส่วนทั่วไป r ≠ 0 ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ

$a_{n}=a_{1}r^{n-1}\,\!$

หรือในกรณีทั่วไป จะได้

$a_{n}=a_{m}r^{n-m}\,\!$

หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

$a_{n}=ra_{n-1}\,\!$

สมบัติเบื้องต้น

การที่จะทำให้ทราบได้ว่าลำดับที่กำหนดให้เป็นการก้าวหน้าเรขาคณิตหรือไม่ สามารถตรวจสอบได้จากอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกัน ซึ่งจะมีค่าเท่ากันทั้งลำดับ อัตราส่วนทั่วไปอาจเป็นค่าติดลบก็ได้ ซึ่งจะทำให้เกิดลำดับสลับเครื่องหมาย หมายความว่าจำนวนจะสลับเครื่องหมายบวกลบตลอดทั้งลำดับ เช่น 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... เป็นการก้าวหน้าเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนทั่วไปเท่ากับ −3

พฤติกรรมของจำนวนในการก้าวหน้าเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนทั่วไป

• ถ้าเป็นจำนวนบวก ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายเหมือนกับพจน์แรก
• ถ้าเป็นจำนวนลบ ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน
• ถ้ามากกว่า 1 ลำดับนั้นจะเพิ่มแบบชี้กำลัง (exponential growth) ไปยังอนันต์
• ถ้าเท่ากับ 1 ลำดับนั้นจะคงที่ทุกพจน์
• ถ้ามีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 แต่ไม่เป็น 0 ลำดับนั้นจะลดแบบชี้กำลัง (exponential decay) ไปยังศูนย์
• ถ้าเท่ากับ −1 ลำดับนั้นจะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน แต่ค่าตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง
• ถ้าน้อยกว่า −1 ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ต่างๆ จะเพิ่มแบบชี้กำลังไปยังอนันต์

จะเห็นว่าการก้าวหน้าเรขาคณิต (ที่มีอัตราส่วนไม่ใช่ −1, 1 หรือ 0) แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มหรือการลดแบบชี้กำลัง ต่างกับการเพิ่ม (หรือลด) แบบเชิงเส้นของการก้าวหน้าเลขคณิต แต่การก้าวหน้าทั้งสองชนิดก็มีความเกี่ยวข้องกัน นั่นคือ ถ้าหากใส่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลงในทุกพจน์ของการก้าวหน้าเลขคณิตก็จะได้การก้าวหน้าเรขาคณิต และหากใส่ฟังก์ชันลอการิทึมลงในทุกพจน์ของการก้าวหน้าเรขาคณิตก็จะได้การก้าวหน้าเลขคณิต

ผลรวม

บทความหลัก: อนุกรมเรขาคณิต

ผลรวมของสมาชิกในการก้าวหน้าเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric series)

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,\!$

เราสามารถทำสูตรให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย $(1-r)$ แล้วเราจะได้

$(1-r)\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a-ar^{n+1}\,\!$

ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-1)}{r-1}}$

ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ

$\sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-r^{m})}{r-1}}$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย $(1-r^{2})$

$(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}$

จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}$

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่

$(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}$

จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}$

อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด

อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด คืออนุกรมเรขาคณิตที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือเป็นจำนวนอนันต์ อนุกรมนี้จะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อ ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนทั่วไปมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง ($|r|<1$) ค่าของอนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัดสามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}$

ซึ่ง $r^{k}$ จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ k มีค่าเข้าใกล้อนันต์และ $|r|<1$ ดังนั้น

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}$

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}$

โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ $|r|<1$ เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก

ผลคูณ

ผลคูณของการก้าวหน้าเรขาคณิตก็คือผลคูณของทุกพจน์ในลำดับ และถ้าหากพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนบวก เราจะสามารถคำนวณผลคูณได้ด้วยการหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย แล้วยกกำลังด้วยจำนวนพจน์ทั้งหมด ดังนี้

$\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=\left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n+1}}}\right)^{n+1}$ เมื่อ $a,r>0$

พิสูจน์

กำหนดให้ผลคูณของการก้าวหน้าเลขคณิตแทนด้วย P

$P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}$

รวมผลจากการคูณเข้าด้วยกัน จะได้

$P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}$

นำสูตรผลรวมของอนุกรมเลขคณิตมาใช้กับเลขชี้กำลังของ r

$P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}$

$P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}$

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

$P^{2}=(a^{2}r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^{n})^{n+1}$

และในที่สุดก็จะได้

$P^{2}=(a_{1}\cdot a_{n+1})^{n+1}$

$P=(a_{1}\cdot a_{n+1})^{\frac {n+1}{2}}$

ดูเพิ่ม

• อนุกรมเรขาคณิต
• การก้าวหน้าเลขคณิต

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Geometric Sequence" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Geometric Series" จากแมทเวิลด์.