ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ลำดับเรขาคณิต"
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
||
บรรทัด 28: | บรรทัด 28: | ||
เราสามารถทำสูตรให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย <math>(1-r)</math> แล้วเราจะได้ |
เราสามารถทำสูตรให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย <math>(1-r)</math> แล้วเราจะได้ |
||
::<math>(1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k = a-ar^{n+1}\,\!</math> |
::<math>(1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k = a-ar^{n+1}\,\!</math> |
||
ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ ''r'' ≠ 1 |
ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ ''r'' ≠ 1 |
||
::<math>\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(r^{n+1}-1)}{r-1}</math> |
::<math>\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(r^{n+1}-1)}{r-1}</math> |
||
ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ |
ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ |
||
::<math>\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^{n+1}-r^m)}{r-1}</math> |
::<math>\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^{n+1}-r^m)}{r-1}</math> |
||
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ ''r'' เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย <math>(1-r^2)</math> |
|||
::<math>(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}</math> |
|||
จะได้สูตร |
|||
::<math>\sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}</math> |
|||
ส่วนเลขชี้กำลังของ ''r'' ที่เป็นจำนวนคี่ |
|||
::<math>(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}</math> |
|||
จะได้สูตร |
|||
::<math>\sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}</math> |
|||
== ดูเพิ่ม == |
== ดูเพิ่ม == |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 07:44, 13 มกราคม 2552
ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric progression) หรือ ลำดับเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า อัตราส่วนทั่วไป (common ratio) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... เป็นการก้าวหน้าเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนทั่วไปเท่ากับ 3 และลำดับ 10, 5, 2.5, 1.25, ... มีอัตราส่วนเท่ากับ 0.5 เป็นต้น
ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเรขาคณิตลำดับหนึ่งคือ a1 และมีอัตราส่วนทั่วไป r ≠ 0 ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ
หรือในกรณีทั่วไป จะได้
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด
สมบัติเบื้องต้น
การที่จะทำให้ทราบได้ว่าลำดับที่กำหนดให้เป็นการก้าวหน้าเรขาคณิตหรือไม่ สามารถตรวจสอบได้จากอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกัน ซึ่งจะมีค่าเท่ากันทั้งลำดับ อัตราส่วนทั่วไปอาจเป็นค่าติดลบก็ได้ ซึ่งจะทำให้เกิดลำดับสลับเครื่องหมาย หมายความว่าจำนวนจะสลับเครื่องหมายบวกลบตลอดทั้งลำดับ เช่น 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... เป็นการก้าวหน้าเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนทั่วไปเท่ากับ −3
พฤติกรรมของจำนวนในการก้าวหน้าเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนทั่วไป
- ถ้าเป็นจำนวนบวก ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายเหมือนกับพจน์แรก
- ถ้าเป็นจำนวนลบ ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน
- ถ้ามากกว่า 1 ลำดับนั้นจะเพิ่มแบบชี้กำลัง (exponential growth) ไปยังอนันต์
- ถ้าเท่ากับ 1 ลำดับนั้นจะคงที่ทุกพจน์
- ถ้ามีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 แต่ไม่เป็น 0 ลำดับนั้นจะลดแบบชี้กำลัง (exponential decay) ไปยังศูนย์
- ถ้าเท่ากับ −1 ลำดับนั้นจะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน แต่ค่าตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง
- ถ้าน้อยกว่า −1 ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ต่างๆ จะเพิ่มแบบชี้กำลังไปยังอนันต์
จะเห็นว่าการก้าวหน้าเรขาคณิต (ที่มีอัตราส่วนไม่ใช่ −1, 1 หรือ 0) แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มหรือการลดแบบชี้กำลัง ต่างกับการเพิ่ม (หรือลด) แบบเชิงเส้นของการก้าวหน้าเลขคณิต แต่การก้าวหน้าทั้งสองชนิดก็มีความเกี่ยวข้องกัน นั่นคือ ถ้าหากใส่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลงในทุกพจน์ของการก้าวหน้าเลขคณิตก็จะได้การก้าวหน้าเรขาคณิต และหากใส่ฟังก์ชันลอการิทึมลงในทุกพจน์ของการก้าวหน้าเรขาคณิตก็จะได้การก้าวหน้าเลขคณิต
ผลรวม
ผลรวมของสมาชิกในการก้าวหน้าเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric series)
เราสามารถทำสูตรให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย แล้วเราจะได้
ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1
ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ
สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย
จะได้สูตร
ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่เป็นจำนวนคี่
จะได้สูตร