ลำดับเลขคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเลขคณิต (arithmetic progression) หรือ ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งมีผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, ... เป็นการก้าวหน้าเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

รูปแบบทั่วไปของการก้าวหน้าเลขคณิตคือ

$a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ a+4d,\ \ldots$

ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับสามารถหาได้จาก

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d\,\!$

หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

$a_{n}=a_{n-1}+d\,\!$ ซึ่ง n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่น้อยกว่า 2

เมื่อ d คือผลต่างร่วมของลำดับดังกล่าว

ผลรวมของจำนวนในลำดับเลขคณิต (เริ่มตั้งแต่พจน์แรก) เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต (arithmetic series)

สูตร

สูตรสำหรับอนุกรมเลขคณิต มักใช้ $S_{n}$ แทนผลบวกของพจน์ n พจน์แรกของการก้าวหน้าเลขคณิต, $a_{n}$ แทนพจน์ที่ n ของการก้าวหน้าเลขคณิต และ d แทนผลต่างร่วมระหว่าง 2 พจน์ที่อยู่ติดกันของการก้าวหน้าเลขคณิต สูตรที่ใช้หาผลบวกของพจน์ n พจน์แรกของการก้าวหน้าเลขคณิต คือ

$S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d]$

มีเรื่องเล่ากันว่าเกาส์ได้ค้นพบสูตรนี้ เมื่อครูของเขาสั่งให้ทั้งห้องหาผลบวกของ 100 จำนวนแรก และเขาก็ตอบอย่างรวดเร็วว่า 5050 ครับ

ดูเพิ่ม

• การก้าวหน้าเรขาคณิต

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Arithmetic progression" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Arithmetic series" จากแมทเวิลด์.