พหุนามเลอจองดร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในสมการเลอจองดร์ จะมีสมการเลอจองดร์สมทบ (Associated Legendre polynomials) ที่จะเป็นผลเฉลยของสมการเลอจองดร์และหนุนามเลอจองดร์จะเป็นผลเฉลยของการสมมาตรบนแกนZ แบบทรงกระบอก

ส่วนในทางคณิตศาสตร์แล้วนั้นฟังก์ชันเลอจองดร์จะเป็นผลเฉลยของสมการอนุพันธ์ของเลอจองดร์ :

ลจ1.svg

ผู้คิดค้นสมการนี้คือ เอเดรี่ยน มาเรีย เลอจองดร์ สมการอนุพันธ์สามัญ (ordinary differential equation, ODE)นี้มักจะนำมาใช้ในวิชาฟิสิกส์และเทคนิคอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะปรากฏในสมการลาปลาซ (Laplace's equation) ซึ่งสัมพันธ์กับการแก้สมการโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (partial differential equations, PDE)ในระบบพิกัดทรงกลม (spherical coordinates)

สมการเชิงอนุพันธ์ของเลอจองดร์มักจะนำไปใช้แก้ปัญหาของอนุกรมกำลัง (power series)สมการที่มีค่า regular singular points ที่ x= ±1 แต่โดยทั่วไปแล้วผลเฉลยของอนุกรมที่จุดเริ่มต้นจะมีค่าลู่เข้าที่ |x| < 1 เมื่อ n เป็นเลขจำนวนเต็ม ผลเฉลยของ Pn(x) จะ regular ที่ x = 1 และ  regular ที่ x = −1 และอนุกรมเหล่านี้จะหาค่าได้ (เช่นพหุนาม)

ผลเฉลยสำหรับ n = 0, 1, 2, …(ที่มีค่า normalization Pn(1) = 1) มาจากสมบัติของการ orthogonal ที่เรียกว่า พหุนามของเลอจองดร์ (Legenre polynomials) ในแต่ละพหุนามของเลอจองดร์ Pn(x) คือ พหุนามที่ n สามารถที่จะใช้สูตรของ Rodrigues

ลจ2.svg

ในพหุนามเหล่านี้จะนำมาใช้ใน สมการเชิงอนุพันธ์ของเลอจองดร์(สมการแรก) ที่จะมีจำนวนการอนุพันธ์เป็น n+1 ครั้ง ทั้ง2ข้างของสมการเอกลักษณ์

ลจ3.svg

และมักจะใช้กฎทั่วไปของ Leibniz สำหรับการทำอนุพันธ์ซ้ำ ค่า  Pn สามารถนิยามเหมือนกับสัมประสิทธ์ในการกระจายของอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series expansion)

ลจ4.svg

ในทางฟิสิกส์นั้นฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function)นี้ จะเป็นพื้นฐานของ multipole expansions

ตัวอย่างของพหุนามเลอจองดร์[แก้]

ลจ5.svg

กราฟแสดงค่าพหุนาม[แก้]

กราฟแสดงค่าพหุนามเมื่อ n ตั้งแต่ 0 ถึง 5 

ลจ6.png