ผู้ใช้:Ponpan/ทดลองเขียน

หน้าหลัก User	พูดคุย Talk	บทความ Contributions	กระบะทราย ทดลองเขียน Sandbox	common.js monobook.js vector.js	คู่มือ Manual

สงครามโลกครั้งที่สอง

ระเบิดเพลิงถูกใช้อย่างแพร่หลายในสงครามโลกครั้งที่สองในฐานะอาวุธระเบิดที่มีประสิทธิภาพ บ่อยครั้งใช้ร่วมกับระเบิดแรงสูง การโจมตีด้วยระเบิดเพลิงที่มีชื่อเสียงที่สุดครั้งหนึ่งได้แก่ การทิ้งระเบิดที่เดรสเดินเมื่อ 13-15 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1945 และการทิ้งระเบิดที่โตเกียวเมื่อ 10 มีนาคม ปีเดียวกัน ระเบิดเพลิงที่ใช้ในช่วงสงครามมีรูปแบบต่างกันมากมายและมีวัสดุบรรจุหลายประเภท เช่น พอลิเมอร์ไอโซบิวทิลเมทาคริเลต (IM) เนปาล์ม รวมถึงเจลปิโตรเลียมที่มีสูตรคล้ายคลึงกัน ระเบิดเพลิงจำนวนมากได้รับการพัฒนาโดยหน่วยงาน Chemical Warfare Service ของสหรัฐ มีการทดสอบและใช้ระเบิดเพลิงหลายลักษณะ ทั้งขนาดเล็ก กระจุกระเบิดลูกปราย และระเบิดขนาดใหญ่ ปลอกระเบิดที่มีขนาดใหญ่บรรจุแท่งระเบิดลูกปรายเพลิงลูกเล็ก ๆ หลายแท่ง ตัวปลอกถูกออกแบบให้เปิดในอากาศ กระจายระเบิดลูกปรายครอบคลุมพื้นที่กว้าง ประจุระเบิดจะจุดไฟที่ตัววัสดุก่อเพลิง ก่อให้เกิดไฟโหมกระหน่ำ ไฟจะลุกไหม้ที่อุณหภูมิสูงจัดพอที่จะทำลายอาคารที่ทำจากไม้หรือวัสดุที่ติดไฟอื่น ส่วนอาคารที่สร้างด้วยหินมีแนวโน้มที่จะต้านทานเพลิงไหม้ได้ นอกเสียจากจะถูกระเบิดออกก่อนด้วยระเบิดแรงสูง

กองทัพอากาศเยอรมันใช้ระเบิดเพลิงเอเล็กโทรน B-1E ทำจากโลหะผสมแมกนีเซียม 1 กิโลกรัมที่ได้ออกแบบไว้ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1918 และถูกดัดแปลงโดยเพิ่มประจุระเบิดขนาดเล็กที่มีจุดประสงค์เพื่อเจาะทะลุหลังคาอาคาร มีการพัฒนารางที่สามารถบรรจุระเบิดดังกล่าวได้คราวละ 36 ลูก เครื่องทิ้งระเบิดจ่ายไฟฟ้าหนึ่งตัวสามารถใส่รางบรรจุระเบิดได้ 4 ราง เครื่องบินทิ้งระเบิดไฮง์เคิล เฮ 111 หนึ่งลำสามารถบรรจุระเบิดเพลิงได้ทั้งสิ้น 1,152 ลูก แต่ในความเป็นจริงแล้วส่วนมากจะบรรทุกอาวุธชนิดอื่นไปด้วย นอกจากนี้เยอรมนียังใช้ "ระเบิดเปลวไฟ" (เยอรมัน: Flammenbombe) ที่มีทั้งขนาด 250 และ 500 กิโลกรัม เปลือกหุ้มระเบิดแรงสูง เติมด้วยสารผสมน้ำมันที่ติดไฟได้ แต่ระเบิดชนิดนี้ประสบความสำเร็จน้อยกว่าระเบิดชนิดแรกเนื่องจากการจุดระเบิดแรงสูงล้มเหลวบ่อยครั้ง จึงเลิกใช้ไปตั้งแต่เดือนมกราคม 1941

บทนำกลศาสตร์ควอนตัม (en)

ทฤษฎีควอนตัมทฤษฎีแรก: มัคส์ พลังค์และการแผ่รังสีของวัตถุดำ

พลังค์ในวัยผู้ใหญ่ตอนต้น (ค.ศ. 1878)

รังสีความร้อนคือรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่ปล่อยออกมาจากพื้นผิวของวัตถุเนื่องจากพลังงานภายในของวัตถุ หากวัตถุนั้นได้รับความร้อนมากพอมันจะเริ่มเปล่งแสงสีแดงของสเปกตรัมออกมา

เมื่อวัตถุนั้นได้รับความร้อนต่อไปจะทำให้สีเปลี่ยนจากแดงเป็นเหลือง ขาว และน้ำเงินตามลำดับ เนื่องจากแสงที่วัตถุปล่อยออกมามีความยาวคลื่นสั้นลงเรื่อย ๆ (และความถี่สูงขึ้นเรื่อย ๆ) ตัวปล่อยแสงที่สมบูรณ์แบบคือตัวดูดซับที่สมบูรณ์แบบ เมื่อวัตถุดังกล่าวเย็นลงจะดูเป็นสีดำสนิท เพราะมันดูดซับแสงที่ตกกระทบไว้ทั้งหมดและไม่เปล่งแสงออกมาเลย ตัวปล่อยรังสีความร้อนในอุดมคติจึงถูกเรียกว่าวัตถุดำ และรังสีที่ถูกปล่อยออกมาเรียกว่ารังสีของวัตถุดำ

ช่วงปลายศตวรรษที่ 19 นักวิทยาศาสตร์สามารถอธิบายการแผ่รังสีความร้อนค่อนข้างดีตามการทดลอง อย่างไรก็ตาม ฟิสิกส์ดั้งเดิมที่นำไปสู่กฎของเรย์ลีห์-ยีนส์ดังที่แสดงในรูปกราฟด้านล่าง สามารถทำนายผลการทดลองได้อย่างถูกต้องเมื่อคลื่นของรังสีมีความถี่ต่ำ แต่ไม่ถูกต้องเลยกับคลื่นที่มีความถี่สูง นักฟิสิกส์จึงต้องค้นหาทฤษฎีเดียวที่จะอธิบายผลการทดลองได้ทั้งหมด

แบบจำลองแรกที่สามารถอธิบายสเปกตรัมของการแผ่รังสีความร้อนทั้งหมดได้รับการเสนอโดยมัคส์ พลังค์ ในปี ค.ศ. 1900 เขาเสนอแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ให้การแผ่รังสีความร้อนอยู่ในสภาวะสมดุลด้วยชุดของตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิก (harmonic oscillator) เพื่อให้ผลการทดลองทำซ้ำได้ เขาต้องตั้งสมมุติฐานว่าตัวแกว่งกวัดแต่ละตัวปล่อยพลังงานเป็นจำนวนเต็มหน่วยที่ความถี่เฉพาะความถี่เดียวแทนที่จะปล่อยพลังงานออกมาตามใจชอบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง พลังงานที่ปล่อยออกมาจากตัวแกว่งกวัดนั้นถูกแจงออกเป็นหน่วย ค่าควอนตัมของพลังงานของตัวแกว่งกวัดแต่ละตัวตามข้อมูลของพลังค์นั้นเป็นสัดส่วนกับความถี่ของตัวแกว่งกวัด ค่าคงตัวของสัดส่วนถูกเรียกกันในปัจจุบันว่า ค่าคงตัวของพลังค์ มักแทนด้วยสัญลักษณ์ $h$ มีค่า 6.63×10⁻³⁴ J s ดังนั้นพลังงาน $E$ ของตัวแกว่งกวัดที่ความถี่ $f$ จึงถูกกำหนดว่า

$E=nhf\quad$ โดยที่ $\quad n=1,2,3,\ldots$

หากเราต้องการเปลี่ยนสีของวัตถุที่แผ่รังสีเราจำเป็นต้องเปลี่ยนอุณหภูมิของมัน กฎของพลังค์ได้อธิบายว่าการเพิ่มอุณหภูมิให้กับวัตถุทำให้วัตถุนั้นปลดปล่อยพลังงานโดยรวมออกมามากขึ้น และสัดส่วนของพลังงานที่มากขึ้นจะเลื่อนไปยังปลายสีม่วงของสเปกตรัม

กฎของพลังค์เป็นทฤษฎีควอนตัมทฤษฎีแรกในฟิสิกส์ พลังค์ได้รับรางวัลโนเบลในปี ค.ศ. 1918 "ให้ไว้เพื่อความระลึกถึงผลงานที่เขาได้มอบให้เพื่อความก้าวหน้าของฟิสิกส์ด้วยการค้นพบพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง (energy quanta)" อย่างไรก็ตาม ในเวลานั้นพลังค์มีมุมมองว่าการแจงเป็นหน่วย (quantization) เป็นเพียงโครงสร้างของคณิตศาสตร์แบบศึกษาสำนึกมากกว่าที่จะเป็นการเปลี่ยนแปลงในระดับรากฐานต่อความเข้าใจโลกของมนุษย์อย่างที่เชื่อกันในปัจจุบัน

ภาพจากงานโลหะร้อน แสงสีส้มเหลืองเป็นรังสีความร้อนเพียงบางส่วนที่มนุษย์มองเห็นที่ปล่อยออกมาเนื่องจากอุณหภูมิสูง สิ่งอื่นๆ ในภาพเรืองแสงด้วยรังสีความร้อนเช่นกัน แต่สว่างน้อยกว่าและมีความยาวคลื่นมากกว่าที่ตามนุษย์จะมองเห็นได้ กล้องอินฟราเรดสามารถสังเกตการแผ่รังสีนี้ได้

การทำนายปริมาณรังสีความร้อนในค่าความถี่ต่าง ๆ ที่วัตถุหนึ่งปล่อยออกมา ค่าที่ถูกต้องซึ่งทำนายโดยกฎของพลังค์ (กราฟสีเขียว) ต่างกับค่าดั้งเดิมที่คำนวณโดยกฎของเรย์ลี-ยีนส์ (สีแดง) และการประมาณของวีน (สีน้ำเงิน)

โฟตอน: การทำแสงให้เป็นควอนตัม

อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ประมาณปี 1905

ในปี 1905 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เสนอว่าวิธีคิดแบบการแจงหน่วยไม่ได้เป็นเพียงภาพสร้างทางคณิตศาสตร์ หากแต่เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจริงในธรรมชาติ พลังงานได้เกิดขึ้นเป็นกลุ่มก้อนในลำแสงจริง ซึ่งกลุ่มก้อนของพลังงานแสงถูกเรียกกันในปัจจุบันว่า โฟตอน (photon) พลังงานของโฟตอนเดี่ยวที่ความถี่ $f$ มีค่าเท่ากับความถี่คูณกับค่าคงที่ของพลังค์ $h$ (ซึ่งเป็นจำนวนบวกที่น้อยมาก) เขียนเป็นสมการว่า

$E=hf$

เป็นเวลาหลายศตวรรษที่นักวิทยาศาสตร์ถกเถียงกันเรื่องธรรมชาติของแสงที่เป็นไปได้สองทฤษฎี ฝั่งหนึ่งกล่าวว่าแสงเป็นคลื่น อีกฝั่งกล่าวว่าแสงคือกระแสของอนุภาคขนาดเล็ก เมื่อถึงคริสต์ศตวรรษที่ 19 การถกเถียงโดยส่วนใหญ่แสดงการยอมรับทฤษฎีคลื่น เพราะทฤษฎีดังกล่าวสามารถอธิบายปรากฏการณ์ของแสงที่สังเกตได้ เช่น การหักเห การเลี้ยวเบน การแทรกสอด และโพลาไรเซชัน นอกจากนี้ เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ได้แสดงให้เห็นว่าไฟฟ้า แม่เหล็ก และแสงล้วนเป็นการแสดงของปรากฏการณ์เดียวกันนั่นคือสนามแม่เหล็กไฟฟ้า สมการของแมกซ์เวลล์ ซึ่งเป็นชุดของกฎที่สมบูรณ์ของแม่เหล็กไฟฟ้าดั้งเดิม อธิบายว่าแสงเป็นคลื่นหรือเป็นผลมาจากการรวมกันของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่แกว่งไปมา จากหลักฐานที่ สนับสนุนทฤษฎีคลื่นของแสงมีมากกว่า ทำให้แนวคิดของไอน์สไตน์ในขณะนั้นจึงถูกตั้งข้อสงสัยเป็นอย่างมาก อย่างไรก็ตามภายหลังแบบจำลองโฟตอนจึงได้รับความนิยม หลักฐานสำคัญที่สุดชิ้นหนึ่งที่สนับสนุนแบบจำลองนี้คือความสามารถในการอธิบายคุณสมบัติที่ทำให้ฉงนหลายประการของปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกซึ่งจะอธิบายในหัวข้อถัดไป อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีคลื่นยังคงถูกใช้อธิบายคุณสมบัติอื่น ๆ ของแสงซึ่งได้แก่ การเลี้ยวเบน การหักเห และการแทรกสอด อย่างขาดไม่ได้

ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก

เมื่อมีแสงส่องกระทบพื้นผิวโลหะ (ซ้าย) หากความถี่ของแสงนั้นสูงพอ กล่าวคือถ้าแสงให้พลังงานแก่อิเล็กตรอนเพียงพอ อิเล็กตรอนจะถูกปลดปล่อยออกจากโลหะ (เม็ดสีแดง)

บทความหลัก: ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก

ปี ค.ศ. 1887 ไฮน์ริช แฮทซ์สังเกตว่าเมื่อแสงที่มีความถี่เพียงพอกระทบพื้นผิวโลหะ พื้นผิวจะปลดปล่อยอิเล็กตรอนออกมา ต่อมาในปี ค.ศ. 1902 ฟิลิปป์ เลนาร์ดค้นพบว่าพลังงานสูงสุดที่เป็นไปได้ของอิเล็กตรอนที่หลุดออกมานั้นสัมพันธ์กับความถี่ของแสง ไม่ใช่ความเข้มของแสง หากแสงมีความถี่ต่ำเกินไป จะไม่มีอิเล็กตรอนถูกปลดปล่อยออกมาไม่ว่าแสงจะมีความเข้มมากเพียงใด ลำแสงที่มีความเข้มสูงจากปลายสีแดงของแถบสเปกตรัมอาจไม่สร้างศักย์ไฟฟ้าเลย ในขณะที่ลำแสงความเข้มต่ำเมื่อยิ่งเข้าใกล้ปลายสีม่วงของแถบสเปกตรัมจะยิ่งสร้างแรงดันไฟฟ้าสูงขึ้น ความถี่แสงที่ต่ำสุดที่ทำให้อิเล็กตรอนถูกปลดปล่อยออกมาได้เรียกว่า ความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน (threshold frequency) ซึ่งมีค่าแตกต่างกันไปตามโลหะแต่ละชนิด การสังเกตนี้ขัดแย้งกับแม่เหล็กไฟฟ้าแบบดั้งเดิม ซึ่งทำนายว่าพลังงานของอิเล็กตรอนควรเป็นสัดส่วนกับความเข้มของรังสีที่ตกกระทบ ดังนั้น เมื่อนักฟิสิกส์ประดิษฐ์อุปกรณ์ที่แสดงปรากฎการณ์โฟโตอิเล็กทริกได้เป็นครั้งแรก พวกเขาคาดว่าความเข้มของแสงที่สูงขึ้นจะสร้างแรงดันไฟฟ้าที่สูงขึ้น

ไอน์สไตน์อธิบายปรากฏการณ์นี้โดยตั้งสมมติฐานว่าลำแสงเป็นกระแสของอนุภาค (โฟตอน) และถ้าลำแสงมีความถี่ $f$ แล้วแต่ละโฟตอนจะมีพลังงานเท่ากับ $hf$ อิเล็กตรอนมีแนวโน้มที่จะถูกชนด้วยโฟตอนเพียงตัวเดียว ซึ่งส่งพลังงานให้กับอิเล็กตรอนมากที่สุดที่ค่า $hf$ ดังนั้นความเข้มของลำแสงจึงไม่มีผล และมีเพียงความถี่เท่านั้นที่กำหนดพลังงานสูงสุดที่สามารถส่งให้กับอิเล็กตรอนได้

ในการอธิบายความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน ไอน์สไตน์แย้งว่าต้องใช้พลังงานปริมาณหนึ่งที่เรียกว่า ฟังก์ชันงาน (work function) แทนด้วยสัญลักษณ์ $\varphi$ ในการดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ พลังงานปริมาณนี้แตกต่างกันไปตามโลหะแต่ละชนิด ถ้าพลังงานของโฟตอนมีค่าน้อยกว่าฟังก์ชันงาน พลังงานจะไม่เพียงพอที่จะดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ ความถี่ขีดเริ่มเปลี่ยน $f_{0}$ คือความถี่ของโฟตอนที่สร้างพลังงานเท่ากับฟังก์ชันงาน:

$\varphi =hf_{0}$

ถ้าหาก $f$ มีค่ามากกว่า $f_{0}$ พลังงาน $hf$ ก็เพียงพอที่จะดึงอิเล็กตรอนออก อิเล็กตรอนที่ถูกปลดปล่อยออกมาจะมีพลังงานจลน์ $E_{K}$ ซึ่งมีค่ามากที่สุดเท่ากับพลังงานของโฟตอนลบด้วยพลังงานที่จำเป็นในการดึงอิเล็กตรอนออกจากโลหะ:

$E_{K}=hf-\varphi =h(f-f_{0})$

คำอธิบายของไอน์สไตน์เกี่ยวกับแสงที่ประกอบด้วยอนุภาคได้ขยายแนวคิดของพลังค์เกี่ยวกับพลังงานเชิงการแจงหน่วย ซึ่งก็คือโฟตอนเดี่ยวที่มีความถี่ $f$ จะให้ปริมาณของพลังงานที่ไม่แปรผันที่ค่า $hf$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง โฟตอนแต่ละตัวจะมีพลังงานมากหรือน้อย ขึ้นอยู่กับความถี่เท่านั้น โฟตอนเดี่ยวแทบไม่เคยถูกพบในธรรมชาติ ดวงอาทิตย์และแหล่งกำเนิดรังสีทั้งหลายจากศตวรรษที่ 19 ปล่อยโฟตอนจำนวนมหาศาลออกมาทุก ๆ วินาที ทำให้ความสำคัญของพลังงานที่โฟตอนเดี่ยวแต่ละตัวมีไม่ชัดเจน แนวคิดของไอน์สไตน์ที่ว่าพลังงานที่บรรจุอยู่ในหน่วยแสงแต่ละหน่วยขึ้นอยู่กับความถี่ของแสงทำให้เราอธิบายผลการทดลองที่ดูขัดกับสัญชาตญาณได้ อย่างไรก็ตาม แม้ว่าโฟตอนจะเป็นอนุภาค มันก็ยังคงได้รับการอธิบายว่ามีคุณสมบัติของความถี่คล้ายคลื่น สุดท้ายแล้ว การอธิบายว่าแสงเป็นอนุภาคจึงยังไม่เพียงพอ และยังจำเป็นต้องมีคำอธิบายต่อธรรมชาติที่เหมือนคลื่นของมัน

ผลของแนวคิดแสงเป็นควอนตัม

ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่ของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าและพลังงานของโฟตอนแต่ละตัวสามารถนำมาอธิบายได้ว่าเพราะเหตุใดแสงอัลตราไวโอเลตทำให้เกิดอาการผิวไหม้จากแสงอาทิตย์ได้ แต่แสงที่ตามนุษย์มองเห็นหรือแสงอินฟราเรดไม่สามารถทำให้เกิดอาการเดียวกันได้ โฟตอนของแสงอัลตราไวโอเลตบรรจุพลังงานปริมาณมากเพียงพอที่จะทำให้เซลล์เสียหาย อย่างเช่นการถูกแดดเผา โฟตอนของแสงอินฟราเรดให้พลังงานน้อยกว่า เพียงพอที่จะทำให้ผิวหนังรู้สึกอุ่นเท่านั้น เพราะฉะนั้น หลอดอินฟราเรดจึงสามารถอุ่นพื้นผิวขนาดใหญ่ บางทีอาจมากพอที่จะทำให้มนุษย์รู้สึกสบายในห้องที่เย็น แต่ไม่สามารถทำให้ผิวหนังของใครไหม้ได้

โฟตอนทุกตัวที่มีความถี่เดียวกันจะมีพลังงานเท่ากัน และโฟตอนทุกตัวที่มีความถี่ต่างกันจะมีพลังงานต่างกันตามสัดส่วน (ลำดับชั้นที่ 1, E_photon = hf ) อย่างไรก็ตาม แม้ว่าพลังงานที่โฟตอนให้จะไม่แปรผัน ณ ความถี่ใดความถี่หนึ่ง สถานะพลังงานเริ่มต้นของอิเล็กตรอนในอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกก่อนการดูดกลืนแสงไม่จำเป็นต้องเหมือนกันเสมอไป ผลลัพธ์ที่ผิดปกติอาจเกิดขึ้นในกรณีของอิเล็กตรอนแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น อิเล็กตรอนที่อยู่ในสถานะกระตุ้นเหนือระดับสมดุลของอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกอาจถูกดึงออกทันทีที่มันดูดซับแสงที่มีความถี่ต่ำกว่าความถี่ปกติมาก อย่างไรก็ตาม ในทางสถิติแล้วพฤติกรรมลักษณะเฉพาะของอุปกรณ์โฟโตอิเล็กทริกจะสะท้อนถึงพฤติกรรมของอิเล็กตรอนส่วนใหญ่ซึ่งอยู่ในระดับสมดุล ประเด็นนี้ช่วยอธิบายความแตกต่างระหว่างการศึกษาอนุภาคเดี่ยวขนาดเล็กในพลศาสตร์ควอนตัม (quantum dynamics) และการศึกษาอนุภาคเดี่ยวขนาดใหญ่ในฟิสิกส์ดั้งเดิม

การทำสสารให้เป็นควอนตัม: แบบจำลองอะตอมของโปร์

เมื่อถึงต้นศตวรรษที่ 20 มีการค้นพบว่าอะตอมประกอบด้วยหมอกของอิเล็กตรอนที่มีประจุลบล้อมรอบนิวเคลียสที่มีประจุบวกซึ่งมีขนาดเล็กและหนาแน่น จึงจำเป็นต้องมีแบบจำลองอะตอมเพื่อมาอธิบาย ข้อเสนอแบบจำลองแรกอธิบายว่าอิเล็กตรอนหมุนรอบนิวเคลียสเหมือนที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดาวฤกษ์ตามทฤษฎีฟิสิกส์ดั้งเดิม อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันดีว่าอะตอมในแบบจำลองนี้จะไม่เสถียร อิเล็กตรอนที่โคจรอยู่รอบนิวเคลียสจะตกอยู่ภายใต้ความเร่งสู่ศูนย์กลางเนื่องจากการหมุนและปล่อยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าออกมาอยู่ตลอดเวลา ทำให้มันสูญเสียพลังงานและค่อย ๆ หมุนวนเข้าหานิวเคลียสและชนกันโดยใช้เวลาเพียงเสี้ยววินาที

ปริศนาข้อสองที่เกี่ยวข้องคือสเปกตรัมที่อะตอมเปล่งออกมา เมื่อแก๊สได้รับความร้อน มันจะเปล่งแสงที่มีความถี่เฉพาะและไม่ต่อเนื่องเท่านั้น ตัวอย่างเช่น แสงที่มองเห็นได้ซึ่งปล่อยออกมาจากอะตอมไฮโดรเจน จะประกอบด้วยสีที่ต่างกัน 4 สี ดังที่แสดงในภาพด้านล่าง ความเข้มของแสงที่ความถี่ต่าง ๆ ก็ต่างกันด้วย ในทางตรงกันข้าม แสงสีขาวจะมีสเปกตรัมเปล่งออกที่ต่อเนื่องตลอดช่วงความถี่ที่มองเห็นทั้งหมด ช่วงปลายศตวรรษที่ 19 มีกฎง่าย ๆ ที่เรียกว่าสูตรของบัลเมอร์ อธิบายว่าความถี่แต่ละเส้นสัมพันธ์กันอย่างไร หากแต่ไม่ได้อธิบายว่าเพราะเหตุใดจึงเป็นเช่นนี้ และไม่สามารถใช้ทำนายความเข้มได้ สูตรดังกล่าวยังได้ทำนายเส้นสเปกตรัมเพิ่มเติมในช่วงแสงอัลตราไวโอเลตและอินฟราเรดที่ยังไม่เคยมีการทดลองในขณะนั้น ต่อมาจึงมีการทดลองและสามารถสังเกตเห็นเส้นสเปกตรัมเหล่านี้ได้จริง สูตรนี้จึงได้รับการยอมรับมากขึ้น

สเปกตรัมที่ไฮโดรเจนเปล่งออกมา เมื่อแก๊สไฮโดรเจนได้รับความร้อนจะเปล่งแสงออกมาด้วยสเปกตรัมที่มองเห็นได้ 4 สีที่ต่างกัน (เส้นสเปกตรัม) นอกจากนี้ยังมีเส้นอีกจำนวนมากในช่วงอินฟราเรดและอัลตราไวโอเลต

สูตรทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายสเปกตรัมเปล่งออกของไฮโดรเจน

เมื่อปี 1885 โยฮัน บัลเมอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสได้ค้นพบว่าสเปกตรัมที่มองเห็นได้ของไฮโดรเจนมีความยาวคลื่น λ (แลมบ์ดา) ที่สัมพันธ์กับจำนวนเต็ม n บางตัวด้วยสูตร

$\lambda =B\left({\frac {n^{2}}{n^{2}-4}}\right)\qquad \qquad n=3,4,5,6$

โดย B คือค่าคงตัวหนึ่งที่เขากำหนดให้เท่ากับ 364.56 นาโนเมตร (nm)

ต่อมาในปี 1888 Johannes Rydberg ได้ปรับสูตรของบัลเมอร์ให้มีลักษณะทั่วไปและเพิ่มความสามารถในการอธิบายได้อย่างมาก เขาทำนายว่า λ สัมพันธ์กับจำนวนเต็มสองตัวคือ n และ m ตามสูตรที่รู้จักกันในปัจจุบันในชื่อสูตรของ Rydberg:

${\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right),$

โดย R คือค่าคงตัวของ Rydberg มีค่าเท่ากับ 0.0110 nm⁻¹ และ n ต้องมีค่ามากกว่า m

สูตรของ Rydberg สามารถอธิบายความยาวคลื่นของไฮโดรเจนที่มองเห็นได้ทั้ง 4 ความยาวคลื่นโดยกำหนดให้ m = 2 และ n = 3, 4, 5, 6 นอกจากนี้สูตรดังกล่าวยังทำนายความยาวคลื่นเพิ่มเติมในสเปกตรัมเปล่งออก โดยเมื่อ m = 1 และ n > 1 สเปกตรัมเปล่งออกจะมีความยาวคลื่นในช่วงอัลตราไวโอเลต และเมื่อ m = 3 และ n > 3 จะมีความยาวคลื่นในช่วงอินฟราเรด การทดลองเพื่อสังเกตความยาวคลื่นในช่วงดังกล่าวเกิดขึ้น 20 ปีหลังจากนี้ โดยเมื่อปี 1908 Louis Paschen ได้ค้นพบความยาวคลื่นที่มีการทำนายไว้ในช่วงอินฟราเรดบางตำแหน่ง และในปี 1914 Theodore Lyman ได้ค้นพบความยาวคลื่นในช่วงอัลตราไวโอเลตบางตำแหน่ง

สูตรทั้งสองนี้มีตัวแปรที่เป็นจำนวนเต็ม หากใช้ศัพท้ปัจจุบันอาจกล่าวได้ว่าสูตรดังกล่าวได้บอกเป็นนัยถึงสมบัติบางประการของอะตอมว่าเป็นควอนตัม การศึกษาทำความเข้าใจคุณสมบัติเหล่านี้เป็นส่วนสำคัญต่อการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม

แบบจำลองอะตอมของโปร์ ในภาพแสดงการย้ายตำแหน่งวงโคจรของอิเล็กตรอนโดยการปล่อยโฟตอน

ในปี 1913 นิลส์ โปร์ได้เสนอแบบจำลองใหม่ของอะตอมที่มีการเพิ่มวงโคจรของอิเล็กตรอนแบบแจงหน่วย นั่นคือ อิเล็กตรอนยังคงโคจรรอบนิวเคลียสเสมือนที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตย์ แต่อิเล็กตรอนแต่ละตัวจะอยู่ในวงโคจรเฉพาะของมันเองเท่านั้น ไม่สามารถโคจรได้ที่ระยะต่าง ๆ ได้ตามอำเภอใจ เมื่ออะตอมปล่อยหรือดูดซับพลังงาน อิเล็กตรอนจะไม่เปลี่ยนวงโคจรจากวงโคจรหนึ่งไปยังอีกวงหนึ่งในแนวโค้งเป็นเกลียวที่ต่อเนื่องอย่างที่คาดกันไว้แต่เดิม หากแต่อิเล็กตรอนจะกระโดดทันทีจากวงโคจรหนึ่งไปยังอีกวงหนึ่ง ในขณะเดียวกันมันก็ปล่อยพลังงานออกมาในรูปของโฟตอน พลังงานที่เป็นไปได้ของโฟตอนที่ปล่อยออกมาจากธาตุแต่ละชนิดถูกกำหนดโดยความต่างของพลังงานของทั้งสองวงโคจร ดังนั้นสเปกตรัมของธาตุแต่ละชนิดที่เปล่งออกมาจึงประกอบด้วยเส้นสเปกตรัมจำนวนหนึ่ง

นิลส์ โปร์ในวัยหนุ่ม

การเริ่มจากสมมติฐานง่าย ๆ เพียงข้อเดียวที่กล่าวว่าวงโคจรต้องเป็นไปตามกฎ แบบจำลองของโปร์จึงสามารถเชื่อมโยงระหว่างเส้นสเปกตรัมที่มองเห็นได้ในสเปกตรัมเปล่งออกของไฮโดรเจนกับค่าคงตัวที่รู้จักก่อนหน้านี้ได้ แบบจำลองของโปร์อธิบายว่าอิเล็กตรอนไม่สามารถปล่อยพลังงานออกมาอย่างต่อเนื่องและทำให้มันชนนิวเคลียส แต่อิเล็กตรอนจะโคจรอยู่ในวงโคจรที่ใกล้ที่สุดที่มันอยู่ได้และจะอยู่อย่างเสถียรตลอดไป แบบจำลองของโปร์ไม่ได้อธิบายว่าทำไมวงโคจรจึงถูกแจงเป็นหน่วยด้วยวิธีนั้น และยังไม่สามารถทำนายอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวได้อย่างแม่นยำ หรือแม้กระทั่งอธิบายว่าทำไมเส้นสเปกตรัมบางเส้นจึงสว่างกว่าเส้นอื่น

สมมติฐานพื้นฐานบางประการในแบบจำลองของโปร์ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าผิดไม่นานหลังจากนี้ แต่ผลลัพธ์หลักที่ว่าเส้นที่ไม่ต่อเนื่องในสเปกตรัมเปล่งออกนั้นเกิดจากคุณสมบัติบางอย่างของอิเล็กตรอนในอะตอมที่ถูกแจงเป็นหน่วยนั้นถูกต้อง ธรรมชาติที่แท้จริงของอิเล็กตรอนนั้นแตกต่างจากแบบจำลองของโปร์อย่างมากรวมถึงโลกที่เราสังเกตได้ในชีวิตประจำวัน แบบจำลองเชิงกลศาสตร์ควอนตัมของอะตอมในยุคใหม่จะกล่าวถึงอีกครั้งด้านล่าง

บทอธิบายเพิ่มเติมเรื่องแบบจำลองอะตอมของโปร์

นิลส์ โปร์ได้ตั้งทฤษฎีว่าโมเมนตัมเชิงมุม L ของอิเล็กตรอนหนึ่งตัวถูกแจงเป็นหน่วยตามสมการ

$L=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar$

โดย n คือจำนวนเต็ม และ h กับ ħ คือค่าคงตัวของพลังค์กับค่าคงตัวลดรูปของพลังค์ตามลำดับ เมื่อเริ่มจากสมมติฐานดังกล่าวแล้ว กฎของคูลอมบ์และชุดสมการการเคลื่อนที่แบบวงกลมจะแสดงให้เห็นว่าอิเล็กตรอนตัวหนึ่งที่มีโมเมนตัมเชิงมุม n หน่วยจะโคจรรอบโปรตอนตัวหนึ่งด้วยระยะห่าง r ตามสมการ

$r={\frac {n^{2}h^{2}}{4\pi ^{2}k_{e}me^{2}}},$

โดย k_e คือค่าคงตัวคูลอมบ์, m คือมวลของอิเล็กตรอน และ e คือประจุของอิเล็กตรอนหนึ่งตัว

ซึ่งสามารถเขียนลดรูปได้ว่า

$r=n^{2}a_{0},\!$

โดย a₀ คือรัศมีของโปร์ เป็นรัศมีวงโคจรที่เล็กที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ มีค่าเท่ากับ 0.0529 nm

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณพลังงานของอิเล็กตรอนได้จาก

$E=-{\frac {k_{\mathrm {e} }e^{2}}{2a_{0}}}{\frac {1}{n^{2}}}.$

ดังนั้นสมมติฐานของโปร์ที่โมเมนตัมเชิงมุมถูกแจงเป็นหน่วยคือการที่อิเล็กตรอนตัวหนึ่งสามารถอยู่ในวงโคจรเฉพาะของมันเองรอบนิวเคลียสและมีพลังงานได้ค่าเฉพาะค่าหนึ่งเท่านั้น สิ่งที่ตามมาคืออิเล็กตรอนจะไม่ชนเข้ากับนิวเคลียส มันจะไม่ปลดปล่อยพลังงานต่อเนื่องออกมาและไม่อยู่ใกล้นิวเคลียสในระยะห่างที่น้อยกว่ารัศมีของโปร์ a₀

อิเล็กตรอนตัวหนึ่งจะปล่อยพลังงานออกมาโดยกระโดดอย่างทันทีจากวงโคจรเดิมไปสู่วงโคจรที่มีระดับต่ำกว่า (เข้าใกล้นิวเคลียส) พลังงานจะถูกปล่อยออกมาในรูปโฟตอน ส่วนอิเล็กตรอนที่ดูดซับโฟตอนจะได้รับพลังงานและกระโดดจากวงโคจรเดิมไปสู่วงโคจรที่ห่างออกไปจากนิวเคลียส

โฟตอนแต่ละหน่วยที่มาจากอะตอมไฮโดรเจนเปล่งแสงเกิดขึ้นเมื่ออิเล็กตรอนย้ายตำแหน่งจากวงโคจรที่ระดับสูงกว่า (รัศมี r_n) ไปยังวงโคจรที่ระดับต่ำกว่า (รัศมี r_m) พลังงานของโฟตอนหน่วยนี้ E_γ คือผลต่างระหว่างพลังงานของอิเล็กตรอนที่วงโคจรระดับสูง E_n กับวงโคจรระดับต่ำ E_m:

$E_{\gamma }=E_{n}-E_{m}={\frac {k_{\mathrm {e} }e^{2}}{2a_{0}}}\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)$

สมการของพลังค์แสดงความสัมพันธ์ของพลังงานของโฟตอนกับความยาวคลื่นจากสมการ E_γ = hc/λ ความยาวคลื่นของแสงที่ปล่อยออกมาจึงเป็น

${\frac {1}{\lambda }}={\frac {k_{\mathrm {e} }e^{2}}{2a_{0}hc}}\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right).$

สมการดังกล่าวมีรูปเหมือนกับสูตรของ Rydberg และได้ทำนายว่าค่าคงตัว R ควรมีค่าเท่ากับ

$R={\frac {k_{\mathrm {e} }e^{2}}{2a_{0}hc}}.$

กล่าวโดยสรุปคือแบบจำลองอะตอมของโปร์สามารถทำนายสเปกตรัมเปล่งออกของอะตอมไฮโดรเจนได้โดยใช้ตัวแปรค่าคงตัวพื้นฐาน แต่แบบจำลองดังกล่าวยังคงไม่สามารถใช้กับอะตอมที่มีอิเล็กตรอนหลายตัวได้อย่างแม่นยำ รวมทั้งยังไม่สามารถอธิบายว่าเพราะเหตุใดเส้นสเปกตรัมบางเส้นจึงสว่างกว่าเส้นอื่น

ทวิภาคของคลื่น–อนุภาค

บทความหลัก: ทวิภาคคลื่น–อนุภาค

หลุยส์ เดอ เบรย (เมื่อปี 1929) ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์จากการทำนายว่าสสารประพฤติตัวเป็นคลื่นจากวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกในปี 1924

นอกจากแสงที่มีคุณสมบัติเหมือนเป็นทั้งคลื่นและอนุภาคแล้ว สสารก็มีคุณสมบัติเป็นเหมือนคลื่นเช่นเดียวกัน เราเรียกคุณสมบัตินี้ว่า "ทวิภาคคลื่น–อนุภาค" (wave-particle duality)

พฤติกรรมความเป็นคลื่นของสสารได้รับการสาธิตครั้งแรกโดยใช้อิเล็กตรอน ลำแสงของอิเล็กตรอนสามารถแสดงการเลี้ยวเบนได้เช่นเดียวกับลำแสงหรือคลื่นน้ำ ต่อมาจึงมีการค้นพบปรากฏการณ์ของคลื่นที่คล้ายกันเกิดกับอะตอมหรือแม้แต่โมเลกุล

ความยาวคลื่น λ ของวัตถุใด ๆ มีความสัมพันธ์กับโมเมนตัม p ผ่านค่าคงที่ของพลังค์ h:

$p={\frac {h}{\lambda }}.$

ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าสมมติฐานของเดอ เบรย ปรากฏอยู่ในสสารทุกประเภท สสารทั้งหมดแสดงคุณสมบัติของทั้งอนุภาคและคลื่น

แนวคิดทวิภาคของคลื่นและอนุภาคกล่าวว่าแนวคิดดั้งเดิมไม่ว่าจะเป็นของ "อนุภาค" หรือ "คลื่น" ไม่สามารถอธิบายพฤติกรรมของวัตถุระดับควอนตัมได้อย่างสมบูรณ์ ไม่ว่าจะเป็นโฟตอนหรือสสาร ทวิภาคของคลื่นและอนุภาคเป็นตัวอย่างหนึ่งของหลักการเติมเต็มในฟิสิกส์ควอนตัม ตัวอย่างการทดลองหนึ่งที่แสดงถึงสภาพคู่กันของคลื่นและอนุภาคที่มีความงดงามคือ "การทดลองช่องแคบคู่" ซึ่งจะกล่าวในหัวข้อถัดไป

การทดลองช่องแคบคู่

บทความหลัก: การทดลองช่องแคบคู่

เมื่อฉายแสงผ่านช่องแคบเดี่ยวจะเกิดการเลี้ยวเบนขึ้น (ภาพบน) และเมื่อฉายแสงผ่านช่องแคบคู่จะเกิดการแทรกสอดขึ้น (ภาพล่าง) การแทรกสอดของแสงแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติที่เหมือนคลื่นของแสง

วิดีโอแสดงการทดลองช่องแคบคู่สำหรับอนุภาคตามกฎดั้งเดิม คลื่น และอนุภาคควอนตัม แสดงสมบัติทวิภาคของคลื่น–อนุภาค

การทดลองช่องแคบคู่ทำขึ้นครั้งแรกโดยโทมัส ยัง เมื่อ ค.ศ. 1803 และออกุสแต็ง แฟรแนล ในหนึ่งทศวรรษหลังจากนั้น นักวิทยาศาสตร์ทั้งสองคนได้ส่องลำแสงผ่านช่องแคบสองช่องที่อยู่ใกล้กัน เกิดรูปแบบการแทรกสอดของแถบสว่างและแถบมืดบนฉากตรวจจับที่แสงส่องกระทบ และคาดว่าหากปิดช่องแคบช่องใดช่องหนึ่งไว้ ความเข้มของการแทรกสอดนั้นก็ควรจะลดลงไปครึ่งหนึ่งในทุกบริเวณ แต่ในความเป็นจริงแล้วเกิดปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนซึ่งซับซ้อนน้อยกว่านั้นมาก โดยเกิดขึ้นบนฉากตรงข้ามกับช่องแคบเดี่ยวที่เปิดไว้ และแสงมีการกระจายออกเป็นรัศมีเหมือนกับพฤติกรรมของคลื่นน้ำ การทดลองช่องแคบคู่นี้จึงถือว่าเป็นการสาธิตธรรมชาติความเป็นคลื่นของแสง

นักวิทยาศาสตร์ยังได้ทำการทดลองช่องแคบคู่โดยใช้อนุภาคอื่น ๆ นอกจากแสง ได้แก่ อิเล็กตรอน อะตอม หรือแม้กระทั่งโมเลกุลขนาดใหญ่ และได้เห็นรูปแบบการแทรกสอดเหมือนกับแสงทั้งหมด จึงเป็นการสาธิตและพิสูจน์ว่าสสารทั้งหมดมีคุณสมบัติของทั้งอนุภาคและคลื่น

หากลดความเข้มของแหล่งกำเนิดลงจนแม้จะเหลืออนุภาค (โฟตอนหรืออิเล็กตรอน) ที่เคลื่อนผ่านช่องแคบเพียงอนุภาคเดียวในแต่ละครั้ง เมื่อทำซ้ำไปเรื่อย ๆ ก็จะเกิดรูปแบบของการแทรกสอดขึ้นเหมือนเดิม อนุภาคควอนตัมจะประพฤติตัวเป็นคลื่นเมื่อเคลื่อนผ่านช่องแคบคู่ แต่จะประพฤติตัวเป็นอนุภาคเมื่อมีการตรวจจับ ซึ่งสิ่งนี้เองเป็นคุณสมบัติทั่วไปของ "การเติมเต็มกันทางควอนตัม" (quantum complementarity) โดยอนุภาคควอนตัมอนุภาคหนึ่งจะประพฤติตัวเป็นคลื่นในการทดลองที่ทำเพื่อวัดคุณสมบัติคลื่น และจะประพฤติตัวเป็นอนุภาคในการทดลองที่ทำเพื่อวัดคุณสมบัติอนุภาค จุดบนฉากตรวจจับแต่ละจุดที่เกิดขึ้นจากอนุภาคแต่ละตัวนั้นเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการสุ่ม และรูปแบบการกระจายตัวของอนุภาคแต่ละตัวนั้นก็เลียนแบบรูปแบบของการเลี้ยวเบนที่เกิดจากคลื่น

การประยุกต์ใช้กับแบบจำลองของโปร์

การทดลองที่ทำให้เกิดการค้นพบทวิภาคของคลื่น–อนุภาค ทำให้เดอ เบรยปรับแบบจำลองอะตอมของโปร์โดยแสดงให้เห็นว่าอิเล็กตรอนในวงโคจรรอบนิวเคลียสอาจถูกมองว่ามีคุณสมบัติเหมือนคลื่นได้ และเราจะตรวจจับอิเล็กตรอนหนึ่งตัวได้ก็ต่อเมื่อเกิดสถานการณ์ที่อนุญาตให้มีคลื่นนิ่งรอบนิวเคลียส ตัวอย่างของคลื่นนิ่งคือสายไวโอลินที่ถูกตรึงไว้ที่ปลายทั้งสองด้านและทำให้สั่นได้ คลื่นที่ถูกสร้างขึ้นโดยเครื่องสายนี้ดูเหมือนจะสั่นอยู่กับที่และเคลื่อนที่จากยอดคลื่นไปยังท้องคลื่นในลักษณะขึ้นและลง ความยาวคลื่นของคลื่นนิ่งสัมพันธ์กับความยาวของวัตถุที่สั่นและลักษณะของปลาย ตัวอย่างเช่น สายไวโอลินที่ปลายทั้งสองด้านถูกตรึงไว้จะมีคลื่นนิ่งที่มีความยาวคลื่นเท่ากับ ${\frac {2l}{n}}$ โดย $l$ คือความยาวของสาย และ $n$ คือจำนวนเต็มบวก เขายังเสนอว่าวงโคจรของอิเล็กตรอนที่เกิดขึ้นได้คือวงเดียวกันกับวงโคจรที่มีเส้นรอบวงเป็นจำนวนเต็มใดจำนวนเต็มหนึ่งของความยาวคลื่น ความยาวคลื่นของอิเล็กตรอนจึงเป็นตัวกำหนดว่าวงโคจรของโปร์ที่มีระยะห่างแน่นอนจากนิวเคลียสเท่านั้นที่จะเกิดขึ้นได้ ในทางกลับกันที่ระยะห่างใด ๆ จากนิวเคลียสที่มีค่าเล็กกว่าที่กำหนดไว้ก็จะไม่มีวงโคจรของอิเล็กตรอนเกิดขึ้น ระยะห่างจากนิวเคลียสที่ต่ำสุดที่เป็นไปได้เรียกว่า "รัศมีโปร์"

คำอธิบายปรากฏการณ์ควอนตัมของเดอ เบรยกลายเป็นจุดเริ่มต้นที่ชเรอดิงเงอร์เริ่มคิดค้นสมการคลื่นสมการหนึ่งขึ้นมาเพื่ออธิบายเหตุการณ์เชิงทฤษฎีควอนตัมต่าง ๆ

สปิน

บทความหลัก: สปิน (ฟิสิกส์)

ดูเพิ่ม: การทดลองของสเติร์น-เกอร์แลค

การทดลองของสเติร์น-เกอร์แลคแสดงพฤติกรรมของสปินเชิงควอนตัมเมื่อเทียบกับแม่เหล็กธรรมดา

ในปี 1922 อ็อทโท ชแตร์นและวัลเทอร์ แกร์ลัค ได้ทำการทดลองโดยยิงอะตอมของธาตุเงินผ่านสนามแม่เหล็กที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน เมื่อโยนแท่งแม่เหล็กผ่านสนามแม่เหล็กดังกล่าว มันจะถูกแรงแม่เหล็กเบี่ยงเบนให้ขึ้นไปข้างบนหรือลงข้างล่างด้วยระยะมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับทิศของแท่งแม่เหล็กนั้นว่าชี้ขึ้นลงหรืออยู่ระหว่างกลางเมื่อเทียบกับขั้วเหนือ กลุ่มของอะตอมที่ชแตร์นและแกร์ลัคได้ยิงผ่านสนามแม่เหล็กนั้นก็ได้เบี่ยงเบนไปเหมือนกับแท่งแม่เหล็ก แต่สิ่งที่ต่างกันคือ แท่งแม่เหล็กถูกเบี่ยงเบนได้หลายรูปแบบขึ้นอยู่กับทิศของมันตามที่ได้กล่าวไว้ แต่อะตอมจะถูกเบี่ยงเบนเป็นระยะทางคงที่ระยะทางหนึ่งไม่ว่าขึ้นหรือลง สิ่งนี้บอกเป็นนัยว่าคุณสมบัติของอะตอมที่สอดคล้องกับทิศทางของแม่เหล็กจะต้องถูกแจงออกเป็นหน่วย โดยใช้ค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่า เช่น ขึ้นหรือลง แทนที่จะเลือกได้อย่างอิสระจากมุมใด ๆ

Ralph Kronig ได้เริ่มเสนอทฤษฎีที่ว่าอนุภาคเช่นอะตอมหรืออิเล็กตรอนมีพฤติกรรมราวกับว่าพวกมัน "หมุน" (สปิน, spin) รอบแกน ทฤษฎีสปินนี้อาจสามารถอธิบายถึงโมเมนต์แม่เหล็กที่หายไปได้ และยังยอมให้อิเล็กตรอนสองตัวในออร์บิทัลเดียวกันมีสถานะควอนตัมที่แตกต่างกันได้หากมัน "หมุน" ในทิศทางตรงกันข้ามกัน ซึ่งเป็นไปตาม "หลักการกีดกัน" (exclusion principle) เลขควอนตัมแสดงลักษณะของสปิน (บวกหรือลบ)

ชแตร์นและแกร์ลัคได้เลือกทิศทางของสนามแม่เหล็กในการทดลองตามอำเภอใจ ในวิดีโอแสดงสนามแม่เหล็กในแนวตั้งซึ่งจะทำให้อะตอมถูกเบี่ยงขึ้นหรือลง หากหมุนสนามแม่เหล็กไป 90° หรือทำให้สนามแม่เหล็กอยู่ในแนวนอน อะตอมที่ยิงเข้าไปก็จะเบี่ยงไปทางซ้ายหรือขวา สิ่งที่ต่างกันคือ เมื่อใช้สนามแนวตั้ง สปินตามแนวแกนตั้งก็จะถูกแจงออกเป็นหน่วย เมื่อใช้สนามแนวนอน สปินตามแนวแกนนอนก็จะถูกแจงออกเป็นหน่วย

หากปรับการทดลองโดยแทนที่จะให้อะตอมทั้งหมดชนเข้ากับฉากตรวจจับหลังสนามแม่เหล็ก แต่ส่งอะตอมหนึ่งในสองกลุ่มที่ออกมาจากสนามแม่เหล็กชุดแรกให้ผ่านเข้าไปในสนามแม่เหล็กใหม่ชุดที่สอง (ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน) โดยสนามแม่เหล็กชุดที่สองนี้มีตำแหน่งหมุนไป 90° เมื่อเทียบกับสนามแม่เหล็กชุดแรก แล้วจึงสังเกตการเบี่ยงเบนของอะตอมในกลุ่มนั้นอีกครั้ง ผลปรากฏว่าอะตอมครึ่งหนึ่งถูกเบี่ยงเบนไปในทางหนึ่งและอีกครึ่งถูกเบี่ยงเบนไปอีกทาง ทำให้ทราบว่าสปินของอะตอมตามแนวแกนนอนและแกนตั้งนั้นเป็นอิสระต่อกัน และถ้าหากส่งกลุ่มอะตอมหนึ่งในสองกลุ่มที่ออกมาจากสนามแม่เหล็กชุดที่สองผ่านเข้าไปในสนามแม่เหล็กชุดที่สามอีกครั้ง โดยที่สนามแม่เหล็กชุดที่สามวางตัวเหมือนกับสนามแม่เหล็กชุดแรก จะพบว่าอะตอมครึ่งหนึ่งถูกเบี่ยงเบนไปทางหนึ่งและอีกครึ่งไปอีกทาง แม้ว่าอะตอมทั้งหมดนี้จะได้เบี่ยงเบนไปในทางเดียวกันมาก่อนในตอนที่ผ่านสนามแม่เหล็กชุดแรก ทำให้ทราบว่าการกระทำเพื่อวัดค่าสปินของอะตอมตามแกนนอนจะส่งผลให้ค่าสปินของอะตอมตามแกนตั้งเปลี่ยนแปลงด้วย

การทดลองของชแตร์นและแกร์ลัคแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการของกลศาสตร์ควอนตัม ได้แก่

• คุณลักษณะของโลกธรรมชาติได้รับการพิสูจน์ว่ามีการแจงเป็นหน่วย และยินยอมให้ใช้ค่าเฉพาะที่ไม่ต่อเนื่องบางค่าเท่านั้น
• อนุภาคต่าง ๆ มีโมเมนตัมเชิงมุมในตัวเอง (intrinsic angular momentum) ที่ทำหน้าที่คล้ายกับโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุหมุนแบบคลาสสิก
• การวัดในกลศาสตร์ควอนตัมจะเข้าไปเปลี่ยนระบบที่วัดด้วย เราสามารถรู้ค่าสปินของวัตถุได้เพียงทิศทางเดียว และการวัดสปินในทิศทางอื่นจะทำลายข้อมูลสปินที่เราทราบอยู่เดิม
• กลศาสตร์ควอนตัมคือศาสตร์ของความน่าจะเป็น ค่าสปินของอะตอมแต่ละตัวที่แสดงให้เห็นในอุปกรณ์วัดว่าเป็นบวกหรือลบนั้น เกิดขึ้นโดยสุ่ม

การพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่

ในปี 1925 แวร์เนอร์ ไฮเซินแบร์คพยายามแก้ปัญหาหนึ่งที่แบบจำลองของโปร์ไม่ได้รับคำตอบ ซึ่งคือการอธิบายความเข้มของเส้นต่าง ๆ ในสเปกตรัมที่ไฮโดรเจนเปล่งออกมา เขาได้ใช้การอุปมาระหว่างควอนตัมและกลศาสตร์เพื่อคำนวณความเข้มตามแบบดั้งเดิมโดยใช้ชุดแนวเทียบเชิงคณิตศาสตร์ หลังจากนั้นไม่นาน มัคส์ บอร์นซึ่งเป็นเพื่อนร่วมงานของเขาก็ตระหนักว่าวิธีที่ไฮเซินแบร์คใช้คำนวณความน่าจะเป็นสำหรับการเปลี่ยนระหว่างระดับชั้นพลังงานที่ต่างกันนั้น สามารถใช้แนวคิดคณิตศาสตร์เรื่องเมทริกซ์เพื่อแสดงผลได้ดีที่สุด

ในปีเดียวกัน แอร์วีน ชเรอดิงเงอร์ได้พัฒนาสมการที่อธิบายพฤติกรรมของคลื่นเชิงกล-ควอนตัมขึ้นโดยใช้สมมติฐานของเดอ เบรย เป็นพื้นฐาน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "สมการชเรอดิงเงอร์" ซึ่งตั้งตามชื่อของเขา ถือเป็นหัวใจของกลศาสตร์ควอนตัม สมการนี้ได้นิยามสถานะนิ่งของระบบควอนตัมที่ยินยอมให้เกิดได้ และได้อธิบายว่าสถานะควอนตัมของระบบกายภาพเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างไร ส่วนคลื่นนั้นมีการอธิบายโดยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "ฟังก์ชันคลื่น" ชเรอดิงเงอร์กล่าวว่าฟังก์ชันคลื่นเป็น "วิธีการทำนายความน่าจะเป็นของผลการวัดเชิงควอนตัม"

ชเรอดิงเงอร์สามารถคำนวณระดับพลังงานของไฮโดรเจนได้โดยถือว่าอิเล็กตรอนของอะตอมไฮโดรเจนประพฤติเหมือนคลื่นแบบคลาสสิกที่เคลื่อนไปในหลุมศักย์ไฟฟ้าที่โปรตอนสร้างขึ้น การคำนวณนี้ให้ผลเหมือนกับระดับพลังงานตามแบบจำลองโปร์อย่างแม่นยำ

ในเดือนพฤษภาคม ค.ศ. 1926 ชเรอดิงเงอร์ได้พิสูจน์ว่ากลศาสตร์เมทริกซ์ของไฮเซินแบร์คและกลศาสตร์คลื่นของเขาเองทำนายคุณสมบัติและพฤติกรรมของอิเล็กตรอนได้เหมือนกัน ทฤษฎีทั้งสองมีรูปแบบพื้นฐานร่วมกันในทางคณิตศาสตร์ แต่ชายทั้งสองไม่ได้มีความคิดเห็นที่สอดคล้องกันในเรื่องการตีความทฤษฎีร่วมกันของพวกเขา เช่น ไฮเซินแบร์คยอมรับการทำนายทางทฤษฎีของการกระโดดของอิเล็กตรอนระหว่างออร์บิทัลในอะตอม แต่ชเรอดิงเงอร์คิดว่าทฤษฎีที่มีพื้นฐานจากคุณสมบัติคล้ายคลื่นที่มีความต่อเนื่องจะสามารถหลีกเลี่ยงสิ่งที่เขาเรียกว่า "เรื่องไร้สาระเกี่ยวกับการกระโดดทางควอนตัม" (ซึ่งถอดความโดยวิลเฮ็ล์ม วีน) สุดท้ายแล้วไฮเซินแบร์คก็ชนะและการกระโดดควอนตัมก็ได้รับการยืนยัน