ผิวกำลังสอง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ผิวกำลังสอง หรือ ควอดริก (อังกฤษ: quadric surface) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ผิว (hypersurface) ใน D มิติ ซึ่งกำหนดโดยคำตอบหรือทางเดินรากของสมการพหุนามกำลังสอง (quadratic polynomial) ถ้าเราพิจารณาพิกัด ผิวกำลังสองถูกกำหนดด้วยสมการพีชคณิตดังต่อไปนี้

โดย Q คือ เมทริกซ์ มิติ D+1 และ P คือ เวกเตอร์ มิติ D+1 และ R คือ ค่าคงที่ ค่าของ Q, P และ R มักกำหนดเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน แต่อาจเป็นค่าฟีลด์ใด ๆ โดยทั่วไปแล้วคำตอบหรือทางเดินรากของกลุ่มของพหุนามนั้นเรียกว่าประเภทเชิงพีชคณิต (algebraic variety) ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) ควอดริกนั้นเป็นประเภทหนึ่งของประเภทเชิงพีชคณิต และประเภทของภาพฉายนั้นจะสมสัณฐานกับการตัดกันของควอดริก

สมการบรรทัดฐานของผิวกำลังสองใน 3 มิติ และมีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ

โดยการย้ายตำแหน่งและหมุนรูปผิวกำลังสองทุกรูป สามารถแปลงให้อยู่ในรูปบรรทัดฐานได้ ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ผิวกำลังสองนี้จะมีรูปบรรทัดฐาน 16 รูป โดยมีรูปแบบที่น่าสนใจดังต่อไปนี้:

ทรงรี
    ทรงคล้ายทรงกลม (กรณีพิเศษของ ทรงรี)  
       ทรงกลม (กรณีพิเศษของทรงคล้างทรงกลม)
ทรงพาราโบลาเชิงวงรี
    ทรงพาราโบลาเชิงวงกลม
ทรงพาราโบลาเชิงไฮเพอร์โบลา
ทรงไฮเพอร์โบลาชิ้นเดี่ยว
ทรงไฮเพอร์โบลาสองชิ้น
ทรงกรวย
ทรงกระบอกเชิงวงรี
    ทรงกระบอกเชิงวงกลม
ทรงกระบอกเชิงไฮเพอร์โบลา
ทรงกระบอกเชิงไฮพาราโบลา

ภาคขยายของผิวกำลังสอง[แก้]

นอกเหนือจากรูปแบบผิวกำลังสองมาตรฐานที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว ยังมีการดัดแปลงรูปแบบของสมการพื้นผิวดังกล่าวเพื่อใช้ในการแทนรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนขึ้น เช่น ซุปเปอร์ควอดริก และไฮเปอร์ควอดริก

ซุปเปอร์ควอดริก[แก้]

สมการบรรทัดฐานของซุปเปอร์ควอดริกที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ

หรือ ในรูป

โดย และ

สิ่งที่ซุปเปอร์ควอดริกแตกต่างไปจากผิวกำลังสองคือ เลขยกกำลัง โดยที่ค่า และ นั้นมีผลต่อรูปร่างในแนวนอน ส่วน นั้นผลต่อรูปร่างในแนวตั้ง ดังแสดงในรูปด้านล่าง

Sqx5x54.png Sq114.png Sq224.png Sq444.png
Sqx5x52.png Sq112.png Sq222.png Sq442.png
Sqx5x51.png Sq111.png Sq221.png Sq441.png
Sqx5x5x5.png Sq11x5.png Sq22x5.png Sq44x5.png
Sqx5x5x1.png Sq11x1.png Sq22x1.png Sq44x1.png

Sq000.png
Sqx5x50.png Sq110.png Sq220.png Sq440.png

ไฮเปอร์ควอดริก[แก้]

ไฮเปอร์ควอดริกเป็นส่วนที่ขยายต่อจากซุปเปอร์ควอดริกให้มีความสามารถในการจำลองผิวที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น โดยซุปเปอร์ควอดริกนั้นเป็นเพียงกรณีพิเศษของไฮเปอร์ควอดริก ไฮเปอร์ควอดริกนั้นสามารถเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

โดย

และ

HQ111.png HQ222.png HQ2x22.png

นอกเหนือจากรูปแบบของไฮเปอร์ควอดริกข้างต้น แล้วก็ยังมีการพัฒนาเพิ่มเติมความซับซ้อนของรูปร่างไฮเปอร์ควอดริก เรียกว่า "คอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก" หรือ "ไฮบริดไฮเปอร์ควอดริก" โดยส่วนที่เพิ่มอาจอยู่ในรูปพหุนามของเลขชี้กำลัง

พจน์ที่เพิ่มเข้ามา มีผลในการปรับแต่งรูปทรงของผิวเฉพาะที่ เช่นใช้ในการเพิ่มหลุมหรือรอยบุ๋ม ดังแสดงในภาพด้านล่าง

HQNoHole.png HQOneHoleV1.png HQOneHoleV2.png HQOneHoleV3.png
ไฮเปอร์ควอดริก ภาพคอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก โดยการเพิ่มพจน์ของเลขยกกำลัง 1 พจน์