ผลคูณโคชี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ ผลคูณโคชี (อังกฤษ: Cauchy product) คือการคอนโวลูชันแบบไม่ต่อเนื่อง (หรือเรียกอย่างง่ายคือการคูณ) ของอนุกรมอนันต์สองอนุกรม[1] ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส โอกึสแต็ง ลวี โคชี

นิยาม[แก้]

กำหนดให้ทั้ง และ เป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ ซึ่งทำให้อนุกรม

โดยที่

ลู่เข้าสัมบูรณ์ด้วยเช่นกัน และเกิดความสัมพันธ์ดังนี้

เราเรียกอนุกรม นี้ว่า ผลคูณโคชีของอนุกรม และ

สูตรดังกล่าวสามารถแจกแจงได้ดังนี้

เมื่อแทนค่า แล้ว เราจะได้ค่าใกล้เคียงของผลคูณที่ต้องการหาค่า

อนุกรมยกกำลัง

นอกจากอนุกรมอนันต์แล้ว ผลคูณโคชียังสามารถนำมาใช้กับอนุกรมยกกำลังได้[2][3] ดังนี้

กำหนดอนุกรมยกกำลังสองอนุกรม และ

โดยที่ และ คือสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน ผลคูณโคชีของอนุกรมยกกำลังสองอนุกรมนี้นิยามได้ว่า

โดยที่

เชิงอรรถ[แก้]

  1. Canuto & Tabacco 2015, p. 20.
  2. Canuto & Tabacco 2015, p. 53.
  3. Mathonline, Cauchy Product of Power Series.

อ้างอิง[แก้]

  • Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2 nd ed.), Addison Wesley, p. 204, ISBN 978-0-201-00288-1.
  • Canuto, Claudio; Tabacco, Anita (2015), Mathematical Analysis II (2nd ed.), Springer.
  • Königsberger, Konrad (2004), Analysis 1 (in เยอรมัน), Springer, ISBN 3-540-41282-4.