ผลคูณโคชี
หน้าตา
ในคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ ผลคูณโคชี (อังกฤษ: Cauchy product) คือการคอนโวลูชันแบบไม่ต่อเนื่อง (หรือเรียกอย่างง่ายคือการคูณ) ของอนุกรมอนันต์สองอนุกรม[1] ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส โอกึสแต็ง ลวี โคชี
นิยาม
[แก้]กำหนดให้ทั้ง และ เป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ ซึ่งทำให้อนุกรม
- โดยที่
ลู่เข้าสัมบูรณ์ด้วยเช่นกัน และเกิดความสัมพันธ์ดังนี้
เราเรียกอนุกรม นี้ว่า ผลคูณโคชีของอนุกรม และ
สูตรดังกล่าวสามารถแจกแจงได้ดังนี้
เมื่อแทนค่า แล้ว เราจะได้ค่าใกล้เคียงของผลคูณที่ต้องการหาค่า
- อนุกรมยกกำลัง
นอกจากอนุกรมอนันต์แล้ว ผลคูณโคชียังสามารถนำมาใช้กับอนุกรมยกกำลังได้[2][3] ดังนี้
กำหนดอนุกรมยกกำลังสองอนุกรม และ
โดยที่ และ คือสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน ผลคูณโคชีของอนุกรมยกกำลังสองอนุกรมนี้นิยามได้ว่า
- โดยที่
เชิงอรรถ
[แก้]- ↑ Canuto & Tabacco 2015, p. 20.
- ↑ Canuto & Tabacco 2015, p. 53.
- ↑ Mathonline, Cauchy Product of Power Series.
อ้างอิง
[แก้]- Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2 nd ed.), Addison Wesley, p. 204, ISBN 978-0-201-00288-1.
- Canuto, Claudio; Tabacco, Anita (2015), Mathematical Analysis II (2nd ed.), Springer.
- Königsberger, Konrad (2004), Analysis 1 (ภาษาเยอรมัน), Springer, ISBN 3-540-41282-4.
- Mathonline, Cauchy Product of Power Series.