ปริภูมิแบบยุคลิด

จุดใด ๆ ในปริภูมิยูคลิดสามมิติสามารถระบุตำแหน่งได้ด้วยพิกัดสามตัว

ปริภูมิแบบยุคลิด (อังกฤษ: Euclidean space) คือปริภูมิพื้นฐานในเรขาคณิตที่สร้างขึ้นเพื่อเป็นแบบจำลองแทนปริภูมิแบบกายภาพ เดิมทีในหนังสืออิลิเมนส์ของยุคลิด ปริภูมิแบบยุคลิดหมายถึงปริภูมิสามมิติของเรขาคณิตแบบยุคลิด แต่ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ คำว่าปริภูมิแบบยุคลิดได้ขยายไปครอบคลุมปริภูมิที่มีมิติ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ โดยอาจเรียกว่า ปริภูมิแบบยุคลิด n มิติ เมื่อต้องการระบุจำนวนมิติอย่างเจาะจง สำหรับกรณีที่ n เท่ากับหนึ่งหรือสอง มักจะเรียกกันทั่วไปว่า เส้นตรง และระนาบตามลำดับ การเติมคำว่ายุคลิดเข้าไปก็เพื่อแยกแยะปริภูมิเหล่านี้ออกจากปริภูมิอื่น ๆ ที่นักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ได้นำมาพิจารณาในภายหลัง

กลุ่มนักเรขาคณิตชาวกรีกโบราณได้นำเสนอปริภูมิแบบยุคลิดขึ้นมาเพื่อสร้างแบบจำลองแทนปริภูมิทางกายภาพ งานของพวกเขาได้ถูกรวบรวมโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณที่ชื่อยุคลิดไว้ในตำราอิลิเมนส์ ความโดดเด่นอย่างยิ่งของตำราเล่มนี้คือการนำคุณสมบัติทั้งหมดของปริภูมิมาพิสูจน์ให้เห็นเป็นทฤษฎีบท โดยเริ่มจากคุณสมบัติพื้นฐานเพียงไม่กี่ข้อที่เรียกว่า สัจพจน์ ซึ่งอาจเป็นสิ่งที่ถือว่าชัดเจนในตัวเองอยู่แล้ว (เช่น มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ลากผ่านจุดสองจุดได้) หรือเป็นสิ่งที่ดูเหมือนว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้ (เช่น สัจพจน์เส้นขนาน)

หลังจากที่มีการริเริ่มเรขาคณิตนอกแบบยุคลิดขึ้นในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 สัจพจน์ดั้งเดิมก็ได้ถูกนำมาปรับปรุงให้เป็นทางการอีกครั้งเพื่อกำหนดนิยามของปริภูมิแบบยุคลิดผ่านทฤษฎีสัจพจน์ นอกจากนี้ ยังมีอีกนิยามหนึ่งของปริภูมิแบบยุคลิดที่ใช้แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งได้แสดงให้เห็นแล้วว่าสมมูลกันกับนิยามเชิงสัจพจน์ และนิยามแบบนี้เองที่ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายมากกว่าในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ไม่ว่าจะนิยามด้วยวิธีใดก็ตาม ปริภูมิแบบยุคลิดจะประกอบด้วยจุด ซึ่งถูกกำหนดขึ้นจากคุณสมบัติที่จำเป็นต้องมีเพื่อให้สามารถประกอบกันเป็นปริภูมิแบบยุคลิดได้เท่านั้น

โดยพื้นฐานแล้ว ปริภูมิแบบยุคลิดมีเพียงหนึ่งเดียวสำหรับแต่ละมิติ กล่าวคือปริภูมิยูคลิดทั้งหมดที่มีมิติเท่ากันจะสมสัณฐานกัน ดังนั้น โดยปกติแล้ว เราจึงสามารถทำงานกับปริภูมิแบบยุคลิดจำเพาะ ซึ่งใช้สัญลักษณ์แทนด้วย $\mathbf {E} ^{n}$ หรือ $\mathbb {E} ^{n}$ และสามารถแสดงแทนได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนในรูปของปริภูมิ $\mathbb {R} ^{n}$ ซึ่งมีผลคูณจุดมาตรฐานกำหนดอยู่