ปริภูมิเวกเตอร์

ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ปริภูมิเวกเตอร์ (อังกฤษ: vector space) หรือที่เรียกว่า ปริภูมิเชิงเส้น (อังกฤษ: linear space) คือเซตที่มีสมาชิก ซึ่งมักเรียกว่าเวกเตอร์ สามารถนำมาบวกกันและคูณกันด้วยตัวเลขที่เรียกว่าสเกลาร์ได้ การบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์ต้องเป็นไปตามข้อกำหนดบางประการ ซึ่งเรียกว่า สัจพจน์เวกเตอร์ (vector axioms) ปริภูมิเวกเตอร์จริงและปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่งที่อิงตามสเกลาร์ชนิดต่าง ๆ ได้แก่ จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน สเกลาร์ยังสามารถเป็นองค์ประกอบของฟีลด์ใด ๆ ก็ได้โดยทั่วไป

ปริภูมิเวกเตอร์ขยายแนวคิดของเวกเตอร์แบบยุคลิด ซึ่งเปิดโอกาสให้สร้างแบบจำลองปริมาณทางกายภาพ (เช่น แรงและความเร็ว) ที่ไม่เพียงแต่มีขนาดเท่านั้น แต่ยังมีทิศทางด้วย แนวคิดเรื่องปริภูมิเวกเตอร์เป็นพื้นฐานสำคัญของพีชคณิตเชิงเส้น ควบคู่ไปกับแนวคิดเรื่องเมทริกซ์ ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณในปริภูมิเวกเตอร์ได้ แนวคิดนี้เป็นวิธีที่กระชับและสังเคราะห์ในการจัดการและศึกษาระบบสมการเชิงเส้น

ปริภูมิเวกเตอร์มีลักษณะเฉพาะตามมิติ ซึ่งโดยคร่าว ๆ แล้วคือการกำหนดจำนวนทิศทางอิสระในปริภูมินั้น นั่นหมายความว่า สำหรับปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิบนสนามที่กำหนดและมีมิติเดียวกัน คุณสมบัติที่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์เท่านั้นจะเหมือนกันทุกประการ (ในทางเทคนิค ปริภูมิเวกเตอร์เหล่านั้นจะสมสัณฐานกัน) ปริภูมิเวกเตอร์จะมีมิติจำกัดก็ต่อเมื่อมิติของมันเป็นจำนวนธรรมชาติ มิฉะนั้น ปริภูมิเวกเตอร์จะมีมิติอนันต์ และมิติของมันเป็นจำนวนเชิงอนันต์ ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเกิดขึ้นตามธรรมชาติในเรขาคณิตและสาขาที่เกี่ยวข้อง ส่วนปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์เกิดขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ริงพหุนามเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ที่นับได้ และปริภูมิฟังก์ชันจำนวนมากมีภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่องเป็นมิติ

ปริภูมิเวกเตอร์จำนวนมากที่พิจารณาในคณิตศาสตร์ก็มีโครงสร้างอื่น ๆ เช่นกัน เช่นในกรณีของพีชคณิต ซึ่งประกอบด้วยการขยายฟีลด์ ริงพหุนาม พีชคณิตการเปลี่ยนหมู่ และพีชคณิตลี นอกจากนี้ยังรวมถึงปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ซึ่งประกอบด้วยปริภูมิฟังก์ชัน ปริภูมิผลคูณภายใน ปริภูมินอร์ม ปริภูมิฮิลเบิร์ท และปริภูมิบานาค