ปริภูมิอิงระยะทางบริบูรณ์

ในคณิตวิเคราะห์ ปริภูมิอิงระยะทาง M จะถือว่า บริบูรณ์ (complete) หรือเป็น ปริภูมิโคชี ก็ต่อเมื่อทุกลำดับโคชีของจุดใน M มีลิมิตที่อยู่ใน M ด้วย

โดยสัญชาตญาณ ปริภูมิจะบริบูรณ์หากไม่มี "จุดที่ขาดหายไป" อยู่ภายในหรือที่ขอบ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนตรรกยะไม่ใช่ปริภูมิแบบบริบูรณ์ เนื่องจาก ${\sqrt {2}}$ ขาดหายไปจากเซตนี้ แม้ว่าจะสามารถสร้างลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะที่ลู่เข้าไปหา ${\sqrt {2}}$ ได้ (ดูตัวอย่างเพิ่มเติมด้านล่าง) แต่ก็สามารถเติมเต็มช่องว่างทั้งหมดเหล่านี้ได้เสมอ ซึ่งนำไปสู่การทำให้ปริภูมิที่กำหนดนั้นบริบูรณ์ ตามที่จะอธิบายด้านล่าง

บทนิยาม

ลำดับโคชี

ลำดับ $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ ของสมาชิกจาก $X$ ในปริภูมิอิงระยะทาง $(X,d)$ จะเรียกว่าลำดับโคชีก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $r>0$ จะมีจำนวนเต็มบวก $N$ ที่ทำให้สำหรับจำนวนเต็มบวกทุกตัว $m,n>N$ เป็นจริงว่า $$d(x_{m},x_{n})<r$$

ปริภูมิบริบูรณ์

ปริภูมิอิงระยะทาง $(X,d)$ จะเรียกว่าบริบูรณ์ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้ (ซึ่งสมมูลกัน) เป็นจริง

1. ทุกลำดับโคชีใน $X$ ลู่เข้าใน $X$ กล่าวคือ มีลิมิตและลิมิตนั้นอยู่ใน $X$ ด้วย
2. ทุกลำดับของเซตย่อยปิดไม่ว่างและลดลงเรื่อย ๆ มีจุดร่วมกัน กล่าวคือ ถ้า $F_{n}$ เป็นเซตปิดและไม่ว่าง และ $F_{n+1}\subseteq F_{n}$ สำหรับทุก $n$ และเส้นผ่านศูนย์กลางของเซต $\operatorname {diam} \left(F_{n}\right)\to 0$ แล้วจะมีจุดเดียว $x\in X$ ที่อยู่ในทุกเซต $F_{n}$

ตัวอย่าง

ปริภูมิ $\mathbb {Q}$ ของจำนวนตรรกยะ พร้อมระยะทางมาตรฐานที่กำหนดโดยค่าสัมบูรณ์ของผลต่างนั้นถือว่าไม่บริบูรณ์ พิจารณาจากตัวอย่างเช่น ลำดับที่กำหนดโดย

$x_{1}=1\;$ และ $\;x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}$

นี่คือลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะ แต่ลำดับนี้ไม่ได้ลู่เข้าหาลิมิตที่เป็นจำนวนตรรกยะใด ๆ เลย ถ้าลำดับนี้มีลิมิตเป็น $x$ เมื่อแก้สมการ $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ จะได้ผลลัพธ์ที่จำเป็นคือ $x^{2}=2$ แต่ทว่าไม่มีจำนวนตรรกยะใดที่มีคุณสมบัตินี้ อย่างไรก็ตาม หากพิจารณาว่าเป็นลำดับของจำนวนจริง ลำดับนี้จะลู่เข้าหาจำนวนอตรรกยะ ซึ่งก็คือ ${\sqrt {2}}$

ช่วงเปิด (0,1) พร้อมระยะทางผลต่างสัมบูรณ์ ก็ถือว่าไม่บริบูรณ์เช่นกัน ลำดับที่กำหนดโดย $x_{n}={\tfrac {1}{n}}$ เป็นลำดับโคชี แต่ไม่มีลิมิตในปริภูมิที่กำหนด อย่างไรก็ตาม ช่วงปิด [0,1] ถือว่าบริบูรณ์ อย่างเช่น ลำดับที่กำหนดมีลิมิตในช่วงนี้ ซึ่งก็คือจำนวน 0

ปริภูมิ $\mathbb {R}$ ของจำนวนจริง และปริภูมิ $\mathbb {C}$ ของจำนวนเชิงซ้อน (พร้อมระยะทางที่กำหนดโดยผลต่างสัมบูรณ์) ถือว่าบริบูรณ์ รวมไปถึงปริภูมิแบบยุคลิด $\mathbb {R} ^{n}$ ที่มีระยะทางปกติด้วยเช่นกัน ซึ่งแตกต่างจากปริภูมิเวกเตอร์นอร์มที่มีมิติเป็นอนันต์ที่อาจจะบริบูรณ์หรือไม่ก็ได้ ส่วนปริภูมิเวกเตอร์นอร์มที่บริบูรณ์จะเรียกว่า ปริภูมิบานัค ปริภูมิ $C[a,b]$ ของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิดและมีขอบเขตถือเป็นปริภูมิบานัค และเป็นปริภูมิอิงระยะทางแบบบริบูรณ์ด้วยเช่นกัน เมื่อพิจารณาจากซูพรีมัมนอร์ม (supremum norm) อย่างไรก็ตาม ซูพรีมัมนอร์มไม่ได้กำหนดนอร์มบนปริภูมิ $C(a,b)$ ของฟังก์ชันต่อเนื่องบน $(a,b)$ เนื่องจากอาจมีฟังก์ชันไม่มีขอบเขต ในทางกลับกัน หากใช้ทอพอโลยีของการลู่เข้าแบบกระชับ (compact convergence) ปริภูมิ $C(a,b)$ จะสามารถสร้างโครงสร้างให้เป็นปริภูมิเฟรเชต์ (Fréchet space) ได้ ซึ่งก็คือปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะส่วน ที่ทอพอโลยีถูกกำหนดโดยระยะทางที่มีสมบัติคงตัวภายใต้การเลื่อนขนาน

ปริภูมิ $\mathbb {Q} _{p}$ ของจำนวนพี-เอดิกเป็นปริภูมิที่บริบูรณ์สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ ใด ๆ ก็ตาม ปริภูมินี้ทำให้ $\mathbb {Q}$ บริบูรณ์ภายใต้ระยะทางแบบพี-เอดิก ในลักษณะเดียวกับที่ $\mathbb {R}$ ทำให้ $\mathbb {Q}$ บริบูรณ์ภายใต้ระยะทางปกติ

ถ้า $S$ เป็นเซตใด ๆ ก็ตาม แล้วเซต $S^{\mathbb {N} }$ ของลำดับทั้งหมดใน $S$ จะกลายเป็นปริภูมิอิงระยะทางบริบูรณ์เมื่อเรากำหนดระยะห่างระหว่างลำดับ $\left(x_{n}\right)$ และ $\left(y_{n}\right)$ ให้เท่ากับ ${\tfrac {1}{N}}$ โดยที่ $N$ คือดัชนีน้อยที่สุดที่ทำให้ $x_{N}$ แตกต่างจาก $y_{N}$ หรือกำหนดเป็น $0$ ถ้าไม่มีดัชนีเช่นนั้นเลย ปริภูมินี้มีสมบัติสมานสัณฐานกับผลคูณของปริภูมิชุดเดียวกันหลายชุดที่มีจำนวนแบบนับได้ของปริภูมิไม่ต่อเนื่อง $S$

แมนิโฟลด์รีมันที่บริบูรณ์เรียกว่า จีออเดสิกแมนิโฟลด์ (geodesic manifolds) โดยความบริบูรณ์นี้เป็นผลตามมาจากทฤษฎีบทฮอพฟ์–รีนอว์ (Hopf–Rinow theorem)

บางทฤษฎีบท

ทุกปริภูมิอิงระยะทางกระชับเป็นปริภูมิบริบูรณ์ แต่ในทางกลับกัน ปริภูมิบริบูรณ์ไม่จำเป็นต้องกระชับเสมอไป ที่จริงแล้ว ปริภูมิอิงระยะทางจะกระชับ ก็ต่อเมื่อปริภูมินั้นทั้งบริบูรณ์และมีขอบเขตทุกส่วน (totally bounded) นี่เป็นการขยายความทั่วไปของทฤษฎีบทไฮเนอ–บอแรล (Heine–Borel theorem) ซึ่งกล่าวว่า ทุกปริภูมิย่อย $S$ ของ $\mathbb {R} ^{n}$ ที่ปิดและมีขอบเขตจะเป็นปริภูมิกระชับ และดังนั้นจึงเป็นปริภูมิบริบูรณ์ด้วย

ให้ $(X,d)$ เป็นปริภูมิอิงระยะทางบริบูรณ์ ถ้า $A\subseteq X$ เป็นเซตปิด แล้ว $A$ ก็เป็นปริภูมิบริบูรณ์ด้วย ในทางกลับกัน ให้ $(X,d)$ เป็นปริภูมิอิงระยะทาง ถ้า $A\subseteq X$ เป็นปริภูมิย่อยบริบูรณ์ แล้ว $A$ จะเป็นเซตปิดด้วย

ทฤษฎีบท — ให้ $(X,d)$ เป็นปริภูมิอิงระยะทางบริบูรณ์ และให้ $(A,d)$ เป็นปริภูมิย่อยของ $X$ แล้ว $A$ จะบริบูรณ์ ก็ต่อเมื่อ $A$ เป็นเซตย่อยปิดของ $X$

การพิสูจน์

สมมติว่า $A$ เป็นเซตย่อยปิดของ $X$ ถ้า $(a_{n})$ เป็นลำดับโคชีใน $(A,d)$ แล้ว $(a_{n})$ ก็เป็นลำดับคอชีใน $X$ ด้วย เนื่องจาก $X$ เป็นปริภูมิบริบูรณ์ ลำดับ $(a_{n})$ จึงลู่เข้าไปยังจุด $a_{0}$ จุดหนึ่งใน $X$ และเนื่องจาก $A$ เป็นเซตย่อยปิดของ $X$ จุด $a_{0}$ จึงอยู่ใน $A$ ด้วย นี่แสดงให้เห็นว่าลำดับโคชีทุกลำดับใน $A$ ลู่เข้าใน $A$ ดังนั้น $(A,d)$ จึงเป็นปริภูมิบริบูรณ์

ในทางกลับกัน สมมติว่า $A$ ไม่เป็นเซตย่อยปิดของ $X$ ก็จะมีลำดับ $(a_{n})$ ใน $A$ ที่ลู่เข้าไปยังจุด $a_{0}$ ใน $X$ แต่ $a_{0}$ ไม่เป็นสมาชิกของ $A$ เนื่องจากลำดับโคชี $(a_{n})$ ใน $(A,d)$ ไม่ลู่เข้าใน $A$ จึงได้ว่า $(A,d)$ ไม่เป็นปริภูมิบริบูรณ์

ถ้า $X$ เป็นเซต และ $M$ เป็นปริภูมิอิงระยะทางบริบูรณ์ แล้วเซต $B(X,M)$ ของฟังก์ชันมีขอบเขต $f$ ทั้งหมดจาก $X$ ไปยัง $M$ จะเป็นปริภูมิอิงระยะทางบริบูรณ์เช่นกัน ในที่นี้ เรานิยามระยะทางใน $B(X,M)$ โดยอาศัยระยะทางใน $M$ ด้วยซูพรีมัมนอร์ม $$d(f,g)\equiv \sup\{d[f(x),g(x)]:x\in X\}$$

ถ้า $X$ เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และ $M$ เป็นปริภูมิอิงระยะทางบริบูรณ์ แล้วเซต $C_{b}(X,M)$ ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องมีขอบเขต $f:X\to M$ ทั้งหมด จะเป็นปริภูมิย่อยปิดของ $B(X,M)$ และดังนั้นจึงเป็นปริภูมิบริบูรณ์ด้วย

ทฤษฎีบทแคทิกอรีของแบร์กล่าวว่า ปริภูมิอิงระยะทางบริบูรณ์ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิแบร์ กล่าวคือ ยูเนียนของเซตย่อยทุกที่ไม่หนาแน่นซึ่งมีจำนวนแบบนับได้ จะมีส่วนภายในว่างเปล่า

ทฤษฎีบทจุดตรึงของบานัคกล่าวว่า การส่งหดตัวบนปริภูมิอิงระยะทางบริบูรณ์ จะมีจุดตรึง ทฤษฎีบทจุดตรึงนี้มักถูกใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันบนปริภูมิอิงระยะทางบริบูรณ์ เช่น ปริภูมิบานัค

ทฤษฎีบท (C. Ursescu) — ให้ $X$ เป็นปริภูมิอิงระยะทางบริบูรณ์ และให้ $S_{1},S_{2},\ldots$ เป็นลำดับของเซตย่อยของ $X$

• ถ้าแต่ละ $S_{i}$ เป็นเซตย่อยปิดของ $X$ แล้ว ${\textstyle \operatorname {cl} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} S_{i}\right)=\operatorname {cl} \operatorname {int} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}$
• ถ้าแต่ละ $S_{i}$ เป็นเซตย่อยเปิดของ $X$ แล้ว ${\textstyle \operatorname {int} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} S_{i}\right)=\operatorname {int} \operatorname {cl} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}$