ปริภูมิอิงระยะทาง

ในคณิตศาสตร์ ปริภูมิอิงระยะทาง (อังกฤษ: metric space) คือเซตพร้อมด้วยแนวคิดเรื่องระยะทางระหว่างจุดต่าง ๆ ของเซตนั้น ซึ่งระยะทางนี้วัดโดยฟังก์ชันที่เรียกว่า ฟังก์ชันระยะทาง (distance function) ถือเป็นกรอบทั่วไปสำหรับศึกษาแนวคิดหลายอย่างเกี่ยวกับคณิตวิเคราะห์และเรขาคณิต

ตัวอย่างที่คุ้นเคยกันมากที่สุดของปริภูมิอิงระยะทางคือปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติซึ่งมีแนวคิดเรื่องระยะทางโดยทั่วไป ตัวอย่างอื่น ๆ ที่ทราบกันดีได้แก่ ทรงกลมที่มีระยะเชิงมุม ระยะทางอาจสอดคล้องกับแนวคิดเรื่องระยะทางในเชิงเปรียบเทียบมากกว่าเชิงกายภาพ ตัวอย่างเช่น เซตของสายอักขระยูนิโคด 100 อักขระสามารถใช้ระยะทางแฮมมิงเพื่อวัดจำนวนอักขระที่จะต้องเปลี่ยนเพื่อแปลงจากสายอักขระหนึ่งไปอีกสายอักขระหนึ่ง

ปริภูมิอิงระยะทางปรากฏในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น แมนิโฟลด์รีมัน ปริภูมิเวกเตอร์นอร์ม และกราฟอาจถูกมองว่าเป็นปริภูมิอิงระยะทาง ในพีชคณิตนามธรรม ฟีลด์ของจำนวนพี-เอดิกคือการเติมเต็มฟีลด์ของจำนวนตรรกยะโดยคำนึงถึงระยะทางที่แน่นอน ปริภูมิอิงระยะทางยังถูกศึกษาอย่างเฉพาะเจาะจงในหัวข้อเรขาคณิตอิงระยะทาง (metric geometry) และการวิเคราะห์ปริภูมิอิงระยะทาง (analysis on metric spaces) อีกด้วย

แนวคิดหลายอย่างของการวิเคราะห์ รวมถึงลูกบอล ความบริบูรณ์ รวมไปถึงภาวะต่อเนื่องเอกรูป ภาวะต่อเนื่องลิพชิทซ์ และเงื่อนไขเฮิลเดอร์ สามารถนิยามได้ในปริภูมิอิงระยะทาง แนวคิดอื่น ๆ เช่น ภาวะต่อเนื่อง ความกระชับ รวมถึงเซตเปิดและเซตปิดก็สามารถนิยามได้ในปริภูมิอิงระยะทาง แต่ยังสามารถนิยามในบริบทที่ทั่วไปยิ่งกว่านั้นอย่างปริภูมิทอพอโลยีได้ด้วย