ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

ทอรัสเป็นวัตถุที่มีการศึกษามากวัตถหนึ่งในทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (อังกฤษ: Algebraic topology) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ใช้เครื่องมือทางพีชคณิตนามธรรมเพื่อศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยี เป้าหมายพื้นฐานสุดของทอพอโลยีเชิงพีชคณิตคือการค้นหาตัวยืนยงทางพีชคณิตที่สามารถจัดประเภทปริภูมิเชิงทอพอโลยี (จนถึงขั้นภาวะสมสัณฐาณ) แม้ว่าโดยปกติแล้วตัวยืนยงส่วนใหญ่จะจัดประเภทปริภูมิเชิงทอพอโลยีจนถึงขั้นภาวะสมมูลเชิงฮอมอโทปี

ถึงแม้ว่าทอพอโลยีเชิงพีชคณิตจะใช้พีชคณิตในการศึกษาปัญหาทางทอพอโลยีเป็นหลัก แต่ทอพอโลยีก็สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาในพีชคณิตได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตสามารถใช้พิสูจน์ได้โดยง่ายว่า กรุปย่อยใด ๆ ของกรุปเสรีเป็นกรุปเสรีด้วย

สาขาหลัก

ด้านล่างเป็นสาขาหลัก ๆ ในวิชาทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

กรุปฮอมอโทปี

บทความหลัก: กรุปฮอมอโทปี

กรุปฮอมอโทปี (homotopy group) ใช้ในวิชาทอพอโลยีเชิงพีชคณิตเพื่อจัดประเภทปริภูมิเชิงทอพอโลยี กลุ่มฮอมอโทปีที่นิยามเป็นอันแรกและมีรูปแบบง่ายที่สุดคือกรุปพื้นฐาน (fundamental group) ซึ่งบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับวงวนในปริภูมิ อาจอธิบายให้เห็นภาพได้ว่ากรุปฮอมอโทปีระบุข้อมูลเกี่ยวกับรูปร่างพื้นฐานหรือรูของปริภูมิทอพอโลยี

ฮอมอโลยี

บทความหลัก: ฮอมอโลยี

ฮอมอโลยี (homology จากภาษากรีก: ὁμός homos "เหมือนกัน") เป็นกระบวนการแบบหนึ่งในการกำหนดลำดับของกรุปอาบีเลียนหรือมอดูลให้กับปริภูมิเชิงทอพอโลยีหรือกรุป

โคฮอมอโลยี

บทความหลัก: โคฮอมอโลยี

ในทฤษฎีฮอมอโลยีและทอพอโลยีเชิงพีชคณิต เป็นชื่อเรียกลำดับของกรุปอาบีเลียนที่ได้จากโคเชนคอมเพล็กซ์ (cochain complex) สามารถมองว่าโคฮอมอโลยีเป็นการกำหนดตัวยืนยงทางพีชคณิตให้กับปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ละเอียดกว่าฮอมอโลยี

แมนิโฟลด์

บทความหลัก: แมนิโฟลด์

แมนิโฟลด์เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ใกล้ ๆ แต่ละจุดจะเหมือนกับปริภูมิแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่น ระนาบ ทรงกลม และทอรัสที่สามารถสร้างได้ในปริภูมิสามมิติ แต่ยังรวมขวดของไคลน์ และปริภูมิเชิงภาพฉายจริงที่ไม่สามารถฝังเข้าไปในปริภูมิสามมิติได้ แต่ฝังเข้าในปริภูมิสี่มิติได้

โดยทั่วไปการศึกษาแมนิโฟลด์ในทอพอโลยีเชิงพีชคณิตจะสนใจมุมมองทั้งหมด (global) ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ได้ของแมนิโฟลด์ เช่น ภาวะคู่กันปวงกาเร

ทฤษฎีเงื่อน

บทความหลัก: ทฤษฎีเงื่อน

ทฤษฎีเงื่อนศึกษาเกี่ยวกับเงื่อนทางคณิตศาสตร์ แม้ว่าเงื่อนในทางคณิตศาสตร์ จะได้รับแรงบันดาลใจจากเงื่อนที่ปรากฏในชีวิตประจำวัน เช่น จากเชือกผูกรองเท้าและจากเชือก แต่เงื่อนของนักคณิตศาสตร์จะแตกต่างไป ตรงที่ปลายทั้งสองข้างถูกเชื่อมเข้าด้วยกันไม่ให้คลายออกได้ ในภาษาคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ จะกล่าวว่า เงื่อน (knot) คือการฝัง (embedding) วงกลมในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ $\mathbb {R} ^{3}$เงื่อนทางคณิตศาสตร์สองเงื่อนจะเทียบเท่ากันหากเงื่อนหนึ่งสามารถเปลี่ยนเป็นอีกเงื่อนหนึ่งได้โดยการแปลงรูป $\mathbb {R} ^{3}$ ที่คงตัวมันเอง (เรียกว่า ambient isotopy) การแปลรูปเหล่านี้เป็นการจัดการกับเส้นเชือกที่ผูกเงื่อนไว้อยู่ โดยไม่ตัดหรือแทงเส้นเชือกทะลุเข้าตัวมันเอง

คอมเพล็กซ์

บทความหลัก: Simplicial complex และ CW complex

ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์มิติ 3 รูปแบบหนึ่ง

ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ (simplicial complex) เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีประเภทหนึ่ง ซึ่งสร้างขึ้นโดย "การติดกาว" จุด ส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยม และรูปที่คล้ายกับสามเหลี่ยมในมิติ n ที่สูงขึ้นเข้าด้วยกัน (ดูภาพประกอบ) ระวังสับสนระหว่างซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์กับเซตซิมพลิเซียล (simplicial set) ที่ที่ปรากฏในทฤษฎีโฮโมโทปีซิมพลิเซียลสมัยใหม่ แนวคิดเสมือนซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ในคอมบินาทอริกซ์คือซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์นามธรรม

CW คอมเพล็กซ์ (CW complex) เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีประเภทหนึ่งที่ J. H. C. Whitehead เสนอขึ้นมาใช้ในทฤษฎีโฮโมโทปี ปริภูมิ CW คอมเพล็กซ์ประเภทนี้ทั่วไปกว่า และมีคุณสมบัติเชิงแคทิกอรีที่ดีกว่าซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ แต่ยังคงรักษาธรรมชาติเชิงคอมบินาทอริกซ์ไว้ซึ่งทำให้สามารถคำนวณออกมาได้ (โดยใช้คอมเพล็กซ์ที่เล็กกว่ามาก)

การประยุกต์ใช้

ตัวอย่างคลาสสิกของการประยุกต์ใช้ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตได้แก่:

• ทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราวเออร์
• แรงค์เสรีของกรุปฮอมอโลยีอันดับที่ n คือจำนวนเบตตีตัวที่ n ซึ่งสามารถใช้คำนวณค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์-ปวงกาเรได้
• เราสามารถใช้โครงสร้างเชิงอนุพันธ์ของแมนิโฟลด์เรียบผ่านโคโฮโมโลยีเดอรัง หรือโคโฮโมโลยีเชค หรือโคโฮโมโลยีชีฟ เพื่อตรวจสอบภาวะการแก้ได้ของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดบนแมนิโฟลด์
• แมนิโฟลด์จะเป็นแมนิโฟลด์กำหนดทิศทางได้ เมื่อกรุปฮอมอโลยีค่าจำนวนเต็มในมิติสูงสุดเป็นจำนวนเต็ม และจะกำหนดทิศทางไม่ได้ถ้าเป็น 0
• ทรงกลมในมิติ n จะมีสนามเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ต่อเนื่อง และไม่เป็นศูนย์ที่ไหนเลย ก็ต่อเมื่อ n เป็นเลขคี่ (สำหรับ n = 2 บางครั้งเรียกทฤษฎีบทนี้ว่า "ทฤษฎีบทลูกบอลขนดก")
• ทฤษฎีบทบอร์ซุก–อูลาม: การส่งต่อเนื่องจากทรงกลมในมิติ n ไปยังปริภูมิยูคลิดมิติ n จะส่งจุดที่เคยอยู่ตรงข้ามกันบนทรงกลมไปยังจุดเดียวกันอย่างน้อยหนึ่งคู่
• กรุปย่อยใด ๆ ของกรุปเสรีเป็นกรุปเสรีด้วย ทฤษฎีบทนี้น่าสนใจเพราะเป็นทฤษฎีบทในพีชคณิต แต่บทพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดที่เป็นที่รู้จักใช้ทอพอโลยี

รายการอ้างอิง

• Allegretti, Dylan G. L. (2008), Simplicial Sets and van Kampen's Theorem (Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).
• Bredon, Glen E. (1993), Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 139, Springer, ISBN 0-387-97926-3.
• Brown, R. (2007), Higher dimensional group theory, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2016-05-14, สืบค้นเมื่อ 2022-08-17 (Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids).
• Brown, R.; Razak, A. (1984), "A van Kampen theorem for unions of non-connected spaces", Arch. Math., 42: 85–88, doi:10.1007/BF01198133, S2CID 122228464. "Gives a general theorem on the fundamental groupoid with a set of base points of a space which is the union of open sets."
• Brown, R.; Hardie, K.; Kamps, H.; Porter, T. (2002), "The homotopy double groupoid of a Hausdorff space", Theory Appl. Categories, 10 (2): 71–93.
• Brown, R.; Higgins, P.J. (1978), "On the connection between the second relative homotopy groups of some related spaces", Proc. London Math. Soc., S3-36 (2): 193–212, doi:10.1112/plms/s3-36.2.193. "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem."
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011), Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, vol. 15, European Mathematical Society, arXiv:math/0407275, ISBN 978-3-03719-083-8, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2009-06-04 This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in singular homology, or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on crossed modules.
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Greenberg, Marvin J.; Harper, John R. (1981), Algebraic Topology: A First Course, Revised edition, Mathematics Lecture Note Series, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576. A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.
• Higgins, Philip J. (1971), Notes on categories and groupoids, Van Nostrand Reinhold, ISBN 9780442034061
• Maunder, C. R. F. (1970), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4.
• tom Dieck, Tammo (2008), Algebraic Topology, EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-048-7
• van Kampen, Egbert (1933), "On the connection between the fundamental groups of some related spaces", American Journal of Mathematics, 55 (1): 261–7, JSTOR 51000091

อ่านเพิ่มเติม

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79160-X. and ISBN 0-521-79540-0.
• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Algebraic topology", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• May JP (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF). University of Chicago Press. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 2022-10-09. สืบค้นเมื่อ 2008-09-27. Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids.