ทฤษฎีแคทิกอรี

แผนภาพเชิงสัญลักษณ์ของวัตถุสามตัวและสัณฐานสามตัวในแคทิกอรีหนึ่ง ซึ่งรวมกันเป็น แผนภาพสลับที่ (commutative diagram)

ทฤษฎีแคทิกอรี (อังกฤษ: category theory) เป็นทฤษฎีทั่วไปว่าด้วยโครงสร้างทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างเหล่านั้น ทฤษฎีนี้ถูกนำเสนอโดยซามูเอล ไอเลนเบิร์กและซอนเดอส์ แมค เลนในช่วงกลางคริสต์ศตวรรษที่ 20 จากงานวางรากฐานด้านทอพอโลยีเชิงพีชคณิตของพวกเขา ทฤษฎีแคทิกอรีสามารถนำไปใช้ได้ในแทบทุกแขนงของคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การสร้างวัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่จากวัตถุเดิม ซึ่งมักปรากฏในรูปแบบคล้ายกันในหลายบริบท สามารถอธิบายและรวมให้เป็นแนวคิดเดียวกันได้อย่างสะดวกผ่านแนวคิดของแคทิกอรี ตัวอย่างเช่น ปริภูมิผลหาร ผลคูณตรง การทำให้บริบูรณ์ และภาวะคู่กัน

หลายสาขาในวิทยาการคอมพิวเตอร์ก็อาศัยทฤษฎีแคทิกอรีเช่นกัน ตัวอย่างเช่น การเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน และอรรถศาสตร์ของภาษาโปรแกรม

แคทิกอรีประกอบขึ้นจากสิ่งสองชนิด ได้แก่วัตถุของแคทิกอรีนั้น และสัณฐาน ซึ่งใช้เชื่อมโยงวัตถุสองตัวที่เรียกว่า ต้นทาง (source) และ ปลายทาง (target) ของสัณฐานนั้น โดยสัณฐานมักถูกแทนด้วยลูกศรจากต้นทางไปยังปลายทาง สัณฐานสามารถนำมาประกอบกันได้ หากปลายทางของสัณฐานแรกตรงกับต้นทางของสัณฐานที่สอง การประกอบสัณฐานมีสมบัติคล้ายกับการประกอบฟังก์ชัน ได้แก่ สมบัติการเปลี่ยนหมู่ และการมีสัณฐานเอกลักษณ์สำหรับแต่ละวัตถุ สัณฐานมักจะเป็นฟังก์ชันชนิดหนึ่ง แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นเสมอไป ตัวอย่างเช่น โมนอยด์สามารถมองได้ว่าเป็นแคทิกอรีที่มีวัตถุเพียงตัวเดียว โดยที่สัณฐานก็คือสมาชิกต่าง ๆ ของโมนอยด์เอง

แนวคิดพื้นฐานลำดับที่สองของทฤษฎีแคทิกอรีคือแนวคิดของฟังก์เตอร์ ซึ่งทำหน้าที่เสมือนสัณฐานระหว่างแคทิกอรีทั้งสอง ${\mathcal {C}}_{1}$ และ ${\mathcal {C}}_{2}$ คือ ฟังก์เตอร์จะส่งวัตถุของ ${\mathcal {C}}_{1}$ ไปยังวัตถุของ ${\mathcal {C}}_{2}$ และสัณฐานของ ${\mathcal {C}}_{1}$ ไปยังสัณฐานของ ${\mathcal {C}}_{2}$ โดยต้นทางจะถูกส่งไปยังต้นทาง และปลายทางจะถูกส่งไปยังปลายทาง (หรือในกรณีของฟังก์เตอร์ไม่แปรปรวน ต้นทางจะถูกส่งไปยังปลายทาง และปลายทางจะถูกส่งไปยังต้นทางแทน) แนวคิดพื้นฐานลำดับที่สามคือการแปลงเชิงธรรมชาติซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นสัณฐานระหว่างฟังก์เตอร์ทั้งสอง