ตัวบ่งปริมาณ (ตรรกศาสตร์)

ในตรรกศาสตร์ ตัวบ่งปริมาณ (อังกฤษ: quantifier) คือตัวดำเนินการที่ระบุว่ามีสมาชิกในโดเมนของสรรพสาระจำนวนเท่าใดที่ตรงตามเงื่อนไขหรือสมบัติที่กำหนดไว้ ตัวอย่างเช่น ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว $\forall$ ในสูตรตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง $\forall xP(x)$ สื่อความหมายว่าทุกสิ่งที่อยู่ในโดเมนของสรรพสาระนั้นสอดคล้องกับสมบัติที่แทนด้วย $P$ ในทางกลับกัน ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง $\exists$ ในสูตร $\exists xP(x)$ แสดงให้เห็นว่ามีสิ่งใดสิ่งหนึ่งในโดเมนของสรรพสาระที่สอดคล้องกับสมบัตินั้น สูตรตรรกะที่ตัวบ่งปริมาณมีขอบข่ายกว้างที่สุดจะเรียกว่า สูตรบ่งปริมาณ ซึ่งจะต้องประกอบด้วยตัวแปรแบบมีขอบเขตและสูตรย่อยที่ระบุสมบัติของสิ่งที่ตัวแปรนั้นอ้างถึง

ตัวบ่งปริมาณที่ใช้บ่อยที่สุดคือ $\forall$ และ $\exists$ ตัวบ่งปริมาณเหล่านี้มักถูกนิยามว่าเป็นตัวคู่กันในตรรกศาสตร์แบบฉบับคือ แต่ละตัวสามารถนิยามได้โดยใช้ตัวอื่นร่วมกับนิเสธ และยังสามารถนำมาใช้นิยามตัวบ่งปริมาณที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นได้ เช่นในสูตร $\neg \exists xP(x)$ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าไม่มีอะไรที่มีสมบัติ $P$ เลย ตัวบ่งปริมาณอื่น ๆ จะสามารถนิยามได้ในตรรกศาสตร์อันดับสองหรือตรรกศาสตร์อันดับสูงเท่านั้น ตัวบ่งปริมาณได้รับการขยายขอบเขตความหมายให้กว้างขึ้น โดยเริ่มต้นจากผลงานของอันด์เซรย์ โมสโตฟสกีและแพร์ ลินด์สเตริม

ในประโยคตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง การสลับตำแหน่งของตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกัน (ไม่ว่าจะเป็นตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวทั้งหมดหรือตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริงทั้งหมด) จะไม่ทำให้ความหมายของประโยคนั้นเปลี่ยนแปลง แต่การสลับตำแหน่งของตัวบ่งปริมาณต่างชนิดกันจะทำให้ความหมายเปลี่ยนไป ยกตัวอย่างเช่น ความแตกต่างเดียวในการนิยามของภาวะต่อเนื่องเอกรูปและภาวะต่อเนื่อง (ธรรมดา) คืออันดับของตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งเป็นการประมาณความหมายของตัวบ่งปริมาณบางตัวในภาษาธรรมชาติ เช่น คำว่า "บางตัว" และ "ทุกตัว" อย่างไรก็ตาม ตัวบ่งปริมาณในภาษาธรรมชาติจำนวนมากจำเป็นต้องวิเคราะห์ด้วยเครื่องมือทางตรรกศาสตร์ที่ซับซ้อนขึ้นเท่านั้น