ตัวดำเนินการตรรกะ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
Jump to navigation Jump to search

ในแคลคูลัสเชิงประพจน์, ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์ หรือ ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ใช้เพื่อเชื่อมประโยคให้เป็นประโยคที่ซับซ้อนขึ้น พิจารณาตัวอย่างของประโยคที่ว่า "ฝนตก" และ "ฉันอยู่ในบ้าน" เราสามารถเชื่อมประโยคทั้งคู่ได้เป็น "ฝนตก และ ฉันอยู่ในบ้าน", หรือ "ฝน ไม่ ตก", หรือ "ถ้า ฝนตก, แล้ว ฉันอยู่ในบ้าน"

ประโยคใหม่ที่ได้จากการเชื่อมประโยคเรียกว่า ประโยคเชิงซ้อน หรือ ประพจน์เชิงซ้อน

ตัวดำเนินการพื้นฐานมี: "นิเสธ" (¬ หรือ ~), "และ" (∧ หรือ &), "หรือ" (∨), "เงื่อนไข" (→), และ "เงื่อนไขสองทาง" (↔). "นิเสธ" เป็นตัวดำเนินการเอกภาพ ที่ใช้กับเทอมเดี่ยว ที่เหลือคือตัวดำเนินการทวิภาค ที่เชื่อมเทอมสองเทอมเข้าด้วยกัน เช่น P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, และ P ↔ Q เรามักเรียกตัวดำเนินการเงื่อนไขว่า "ถ้า-แล้ว" ส่วนตัวดำเนินการเงื่อนไขสองทางเราเรียกว่า "ก็ต่อเมื่อ"

สังเกตความคล้ายคลึงกันของเครื่องหมายสำหรับ "และ" () และ "อินเตอร์เซกชัน" (∩) และในทำนองเดียวกัน เครื่องหมายสำหรับ "หรือ" (∨) และ "ยูเนียน (∪) นี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ ทั้งนี้เนื่องจากนิยามของอินเตอร์เซกชันใช้ "และ" ส่วนนิยามของยูเนียนใช้ "หรือ"

ตารางค่าความจริง ของตัวเชื่อมเหล่านี้:

¬ ¬
T T F F T T T T
T F F T F T F F
F T T F F T T F
F F T T F F T T

เพื่อจะลดจำนวนวงเล็บ เราจะเพิ่มลำดับความสำคัญของตัวดำเนินการต่างๆ ดังนี้: ¬ มีความสำคัญมากกว่า ∧, ∧ มากกว่า ∨, และ ∨ มากกว่า → ตัวอย่างเช่น P ∨ Q ∧ ¬ R → S คือการเขียนอย่างย่อของ (P ∨ (Q ∧ (¬ R))) → S

อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นที่เราจะต้องใช้ตัวดำเนินการทุกตัวในนี้ สำหรับการใช้งานในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ที่สมบูรณ์ ประโยคเชิงซ้อนนั้นหลายครั้งก็สมมูลกัน ตัวอย่างเช่น ¬ P ∨ Q นั้นสมมูลทางตรรกศาสตร์กับ P → Q; ดังนั้น เราไม่จำเป็นต้องมีตัวดำเนินงานเงื่อนไข "→" ถ้าเรามี "¬" (นิเสธ) และ "∨" (หรือ)

เพื่อความกะทัดรัด เฉพาะ 5 ตัวดำเนินการที่ใช้บ่อยเท่านั้น ที่เราได้แสดงในหัวข้อนี้ ยังมีตัวเชื่อมอื่นๆ อีก เช่น แนน (nand, not-and), เอกซ์-ออร์ และ นอร์ (nor, not-or).

Logical connectives table.svg Logical connectives Hasse diagram.svg
(zoom in)



ดูเพิ่ม[แก้]