ฐานหลัก

ในคณิตศาสตร์ เซต $B$ ของสมาชิกในปริภูมิเวกเตอร์ $V$ เรียกว่า ฐานหลัก (อังกฤษ: basis; พหู.: bases) ถ้าสมาชิกทุกตัวของ $V$ สามารถเขียนได้อย่างมีเอกลักษณ์ในรูปผลรวมเชิงเส้นจำกัดของสมาชิกใน $B$ สัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้นนี้เรียกว่า ส่วนประกอบ (component) หรือ พิกัด (coordinate) ของเวกเตอร์เมื่ออ้างอิงกับ $B$ ส่วนสมาชิกของฐานหลักเรียกว่า เวกเตอร์ฐานหลัก (basis vector)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซต $B$ จะเป็นฐานหลักได้ก็ต่อเมื่อสมาชิกของมันเป็นอิสระเชิงเส้นและสมาชิกทุกตัวของ $V$ สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของสมาชิกใน $B$ ได้ กล่าวคือ ฐานหลักคือเซตที่เป็นทั้งเซตแผ่ทั่วและเป็นอิสระเชิงเส้นพร้อมกัน

ปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งสามารถมีฐานหลักได้หลายฐาน อย่างไรก็ตาม ทุกฐานหลักจะมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน ซึ่งเรียกว่า มิติ ของปริภูมิเวกเตอร์นั้น

เวกเตอร์ฐานหลักมีการประยุกต์ใช้ในการศึกษาโครงสร้างผลึกและกรอบอ้างอิง

บทนิยาม

ฐานหลัก $B$ ของปริภูมิเวกเตอร์ $V$ เหนือฟีลด์ $F$ (เช่น จำนวนจริง $R$ หรือจำนวนเชิงซ้อน $C$ ) คือเซตย่อยของ $V$ ที่เป็นอิสระเชิงเส้นและแผ่ทั่ว $V$ กล่าวคือ เซตย่อย $B$ ของ $V$ จะเป็นฐานหลักก็ต่อเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้^[1]

ความเป็นอิสระเชิงเส้น: สำหรับทุกเซตย่อยจำกัด $\{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}$ ของ $B$ ถ้า $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0}$ สำหรับ $c_{1},\dotsc ,c_{m}$ บางตัวใน $F$ แล้ว $c_{1}=\cdots =c_{m}=0$ และ^[1]^[2]
สมบัติการแผ่ทั่ว: สำหรับทุกเวกเตอร์ $\mathbf {v}$ ใน $V$ จะสามารถเลือก $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ ใน $F$ และ $\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}$ ใน $B$ เพื่อให้ $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง $\mathbb {v}$ สามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์บางตัวใน $B$ ได้^[1]

ถ้า $B$ เป็นฐานหลักของ $V$ ทุกเวกเตอร์ $\mathbf {v}$ ใน $V$ ก็สามารถเขียนได้ในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ใน $B$ (ตามสมบัติการแผ่ทั่ว) และจากความเป็นอิสระเชิงเส้น จึงสรุปได้ว่าการเขียนในลักษณะนี้ทำได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ดังนั้น สัมประสิทธิ์สเกลาร์ $a_{i}$ ที่ปรากฏในผลรวมนี้จึงถูกกำหนดได้อย่างเป็นเอกลักษณ์ และเรียกว่า พิกัด ของ $\mathbf {v}$ เมื่อเทียบกับฐานหลัก $B$

ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีฐานหลักเป็นเซตจำกัด เรียกว่า ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด (finite-dimensional) ในกรณีนี้ สามารถใช้เซตจำกัด $B$ เองในการตรวจสอบความเป็นอิสระเชิงเส้นตามบทนิยามข้างต้นได้^[1]

อ้างอิง

1 2 3 4 Brown, William A. (1991). Matrices and vector spaces. New York: M. Dekker. pp. 99–103. ISBN 978-0-8247-8419-5. The symbol $L$ in this source means linear span, see p.94.
↑ Halmos, Paul Richard (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (4th ed.). New York: Springer. p. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.

[brown-1] 1 2 3 4 Brown, William A. (1991). Matrices and vector spaces. New York: M. Dekker. pp. 99–103. ISBN 978-0-8247-8419-5. The symbol $L$ in this source means linear span, see p.94.

[halmos-2] Halmos, Paul Richard (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (4th ed.). New York: Springer. p. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.

[1]

[2]

ด ค ก พีชคณิตเชิงเส้น
Outline Glossary
แนวคิดพื้นฐาน	Scalar Vector ปริภูมิเวกเตอร์ Scalar multiplication Vector projection Linear span Linear map Linear projection Linear independence Linear combination Multilinear map ฐานหลัก Change of basis Row and column vectors Row and column spaces Kernel ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน Linear equations
เมทริกซ์	เมทริกซ์แบบบล็อก Decomposition Invertible Minor Multiplication Rank Transformation Cramer's rule Gaussian elimination Productive matrix
Bilinear	Orthogonality ผลคูณจุด Hadamard product ปริภูมิผลคูณภายใน Outer product Kronecker product Gram–Schmidt process
Multilinear algebra	ดีเทอร์มิแนนต์ ผลคูณไขว้ Triple product Seven-dimensional cross product Geometric algebra Exterior algebra Bivector Multivector Tensor Outermorphism
Vector space constructions	Dual Direct sum Function space Quotient Subspace Tensor product
Numerical	Floating-point Numerical stability Basic Linear Algebra Subprograms เมทริกซ์มากเลขศูนย์ Comparison of linear algebra libraries
Category