จำนวนพี-เอดิก

จำนวนเต็ม 3-แอดิก ซึ่งแสดงให้เห็นเป็นภาพตัดขวางส่วนหนึ่งของโซเลนอยด์

ในทฤษฎีจำนวน เมื่อกำหนดจำนวนเฉพาะ p จำนวนหนึ่ง จำนวนพี-เอดิก (อังกฤษ: p-adic number) เป็นการขยายระบบของจำนวนตรรกยะที่แตกต่างจากจำนวนจริง แม้ว่าจะมีคุณสมบัติบางอย่างคล้ายกันก็ตาม จำนวนพี-เอดิกสามารถเขียนได้ในรูปแบบคล้ายกับเลขทศนิยม (ซึ่งอาจยาวไม่สิ้นสุด) แต่ใช้หลักเลขที่อิงกับจำนวนเฉพาะ p แทนฐานสิบ และการขยายตัวของหลักเลขจะต่อไปทางซ้ายแทนที่จะเป็นทางขวา

ตัวอย่างเช่น เมื่อนำการกระจายของจำนวนตรรกยะ ${\tfrac {1}{5}}$ ในฐาน 3 มาเปรียบเทียบกับการกระจายแบบ 3-เอดิก จะได้ว่า $${\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}$$

กล่าวอย่างเป็นทางการ เมื่อกำหนดจำนวนเฉพาะ p แล้ว จำนวนพี-เอดิกสามารถนิยามได้เป็นอนุกรม $$s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots$$

โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม (อาจเป็นลบได้) และ $a_{i}$ แต่ละตัวเป็นจำนวนเต็มที่มีค่า $0\leq a_{i}<p.$ จำนวนเต็มพี-เอดิกก็คือจำนวนพี-เอดิกที่มี $k\geq 0$

จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้อย่างเป็นเอกลักษณ์ในรูปผลบวกของอนุกรมดังกล่าว เมื่อพิจารณาภายใต้ค่าสัมบูรณ์พี-เอดิก สิ่งนี้ทำให้จำนวนตรรกยะสามารถมองเป็นกรณีพิเศษของจำนวนพี-เอดิกได้ และอีกมุมหนึ่งก็สามารถนิยามจำนวนพี-เอดิกว่าเป็นการทำให้บริบูรณ์ของจำนวนตรรกยะภายใต้ค่าสัมบูรณ์พี-เอดิกได้เช่นกัน ซึ่งเป็นแนวคิดเดียวกับที่จำนวนจริงถูกนิยามว่าเป็นการทำให้บริบูรณ์ของจำนวนตรรกยะภายใต้ค่าสัมบูรณ์ปกติทั่วไป

จำนวนพี-เอดิกถูกอธิบายขึ้นเป็นครั้งแรกโดยคูร์ท เฮนเซิลในปี ค.ศ. 1897 แม้ว่าเมื่อมองย้อนกลับไป งานบางส่วนก่อนหน้านั้นของแอนส์ คุมเมอร์ก็สามารถตีความได้ว่าได้ใช้แนวคิดของจำนวนพี-เอดิกโดยปริยายอยู่แล้วก็ตาม