ขั้นตอนวิธีของคริสโตไฟด์

ขั้นตอนวิธีของคริสโตไฟด์ (อังกฤษ: Christofides algorithm) ตั้งชื่อตาม นิคอส คริสโตฟิลด์ เป็นขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาบางกลุ่มของปัญหาการเดินทางของพนักงานขาย ที่มีเส้นเชื่อมถ่วงน้ำหนักเป็นไปตามความไม่เสมอภาคของสามเหลี่ยม ซึ่งได้คำตอบที่มีอัตราส่วนการประมาณ เป็น 1.5 เท่าของคำตอบดีที่สุด

รหัสเทียม

ให้ $G=(V,w)$ เป็นตัวแทนของปัญหาการเดินทางของพนักงานขาย, $G$ เป็น กราฟบริบูรณ์ บนเซตของจุดยอด $V$ ซึ่งมี $w$ เป็นฟังก์ชันของน้ำหนักที่ไม่มีน้ำหนักติดลบในทุกๆเส้นเชื่อมบน $G$

ขั้นตอนที่ 1: สร้าง ต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุด $T$ จาก $G$

ขั้นตอนที่ 2: ให้ $O$ เป็นเซตของจุดยอดที่มี ระดับขั้น เป็นจำนวนคี่ ใน $T$ และหา การจับคู่สมบูรณ์ $M$ ซึ่งมีน้ำหนักน้อยที่สุดใน กราฟบริบูรณ์ บนจุดยอดใน $O$

ขั้นตอนที่ 3: รวมเส้นเชื่อมของ $M$ และ $T$ เป็น มัลติกราฟ $H$

ขั้นตอนที่ 4: สร้างวงจรออยเลอร์ ใน $H$

ขั้นตอนที่ 5: สร้างวงจรแฮมิลตัน จากขึั้นตอนที่แล้วโดยข้ามจุดยอดที่เยี่ยมชมแล้วออกไป (shortcutting)

อัตราส่วนการประมาณ

ผลลัพธ์ของขั้นตอนวิธีนี้มีค่าเป็น 1.5 เท่าของของคำตอบดีที่สุด

พิสูจน์ได้ดังนี้:

ให้ $A$ แทนเซตของเส้นเชื่อมของคำตอบดีสุดของปัญหาการเดินทางของพนักงานขาย สำหรับ$G$, เนื่องจาก$(V,A)$ เชื่อมต่อกันบริบูรณ์ จึงมีต้นไม้ทอดข้ามแน่ๆ ดังนั้น $w(A)\geq w(T)$

ให้ $B$ แทนเซตของเส้นเชื่อมของคำตอบดีสุดของปัญหาการเดินทางของพนักงานขาย สำหรับกราฟบริบูรณ์ที่ใช้จุดยอดจาก $O$, เนื่องจากน้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นรูปสามเหลี่ยม ไม่ว่าจะเยี่ยมชมจุดยอดเพิ่มก็ไม่ทำให้น้ำหนักลดลง (ตามสมบัติความไม่เสมอภาคของสามเหลี่ยม) ทำให้เรารู้ว่า $w(A)\geq w(B)$

เราแสดงให้เห็นว่ามีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบของจุดยอดจาก$O$ ที่มีน้ำหนักต่ำกว่า $w(B)/2\leq w(A)/2$ ซึ่งมีขอบบนเหมือนกันกับ $M$ ( $M$ เป็นการจับคู่สมบูรณ์ที่มีน้ำหนักน้อยที่สุด), เนื่องจาก $O$ จะมีจำนวนจุดยอดเป็นเลขคู่ จึงมีการจับคู่สมบูรณ์แน่ๆ

ให้ $e_{1},\ldots ,e_{2k}$ เป็นวิถีออยเลอร์ใน $(O,B)$ แน่นอนว่า $\{e_{1},e_{3},\ldots ,e_{2k-1}\}$ และ $\{e_{2},e_{4},\ldots ,e_{2k}\}$ เป็นการจับคู่สมบูรณ์ และ มีเส้นเชื่อมในการจับคู่สมบูรณ์นี้ อย่างน้อยหนึ่งอันที่น้ำหนักน้อยกว่าหรือเท่ากับ $w(B)/2$

ดังนั้น จาก $w(M)+w(T)\leq w(A)+w(A)/2$ และคุณสมบัติความไม่เสมอภาคของสามเหลี่ยม ทำให้ทราบว่าขั้นตอนวิธีนี้มีอัตราส่วนการประมาณ เป็น 1.5

ปัญหาอื่นๆที่เกี่ยวข้อง

• ขั้นตอนวิธีเพื่อนบ้านใกล้สุด
• ลิน-เคอนิกฮัน ฮิวริสติก
• การแก้ปัญหาการเดินทางของพนักงานขายแบบคันคอด

สรุป

เนื่องจากปัญหาการเดินทางของพนักงานขายอยู่ในกลุ่มปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ ซึ่งการจะหาคำตอบนั้นทำได้ยาก เราจึงมักใช้ขั้นตอนวิธีการประมาณในการประมาณคำตอบแทน และขั้นตอนวิธีของคริสโตไฟด์ ก็เป็นแนวทางหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขว่าเส้นเชื่อมในกราฟนั้นจะเป็นไปตามความไม่เสมอภาคของสามเหลี่ยม ซึ่งเปรียบได้กับเมืองบนโลกจริงที่ถ้าหากมีเส้นทางจาก $A$ ไป $B$ และจาก $B$ ไป $C$ แล้ว จะมีเส้นทางจาก $A$ ไป $C$ ซึ่งไม่ยาวกว่าเส้นทางจาก $A$ ไป $B$ บวกกับเส้นทางจาก $B$ ไป $C$ แน่ๆ (ทางจาก $A$ ไป $C$ เปรียบได้กับทางลัด) ด้วยข้อกำหนดนี้ในการทำขั้นตอนที่ 2 และ 3 จะเป็นการเพิ่มเส้นเชื่อมที่จำเป็นในการหาวงจรออยเลอร์เข้าไปในกราฟ และขึ้นตอนที่ 5 ก็คือการเลือกเดินทางลัดนั่นเอง ซึ่งผลของขั้นตอนวิธีนี้ รับประกันได้ว่า ไม่แย่ไปกว่า 1.5 เท่าของคำตอบที่ดีที่สุด

บันทึก

• ความไม่เสมอภาคของสามเหลี่ยม คือผลบวกของด้านสั้นสองด้านของสามเหลี่ยมใดๆ ไม่มีทางสั้นกว่าด้านยาวของสามเหลี่ยมนั้นๆ

อ้างอิง

• Approximation Algorithms
• Christofides's 3/2 Approximation for Matric TSP
• CHRISTOFIDES’ HEURISTIC
• NIST Christofides Algorithm Definition
• Nicos Christofides, Worst-case analysis of a new heuristic for the travelling salesman problem, Report 388, Graduate School of Industrial Administration, CMU, 1976.