การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

หนึ่งในรูปแบบการสั่นสะเทือนที่เป็นไปได้ของแผ่นเยื่อวงกลม รูปแบบการสั่นเหล่านี้เป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นโครงสร้างที่พบได้ทั่วไปในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน หรือ การวิเคราะห์ฟังก์ชันนัล (อังกฤษ: functional analysis) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตวิเคราะห์ ซึ่งหลัก ๆ ศึกษาปริภูมิเวกเตอร์พร้อมกับโครงสร้างที่เกี่ยวข้องกับลิมิตบางอย่าง (เช่น ผลคูณภายใน, ค่าประจำ หรือโทโพโลยี) และฟังก์ชันเชิงเส้นที่นิยามปริภูมิเหล่านี้ซึ่งรักษาโครงสร้าง ความเป็นมาของวิชาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเริ่มการศึกษาปริภูมิของฟังก์ชันและการกำหนดคุณสมบัติของการแปลงฟังก์ชัน เช่น การแปลงฟูรีเย ในฐานะการแปลงที่กำหนดตัวดำเนินการต่อเนื่องหรือตัวดำเนินการยูนิแทรีระหว่างปริภูมิฟังก์ชัน มุมมองนี้พิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์และสมการเชิงปริพันธ์

การใช้คำว่า ฟังก์ชันนัล ในฐานะคำนามนั้นย้อนกลับไปถึงแคลคูลัสของการแปรผัน ซึ่งหมายถึงฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชัน คำนี้ถูกใช้ครั้งแรกในหนังสือของอาดามาด์ในปี ค.ศ. 1910 เกี่ยวกับเรื่องนั้น อย่างไรก็ตาม แนวคิดทั่วไปของฟังก์ชันนัลนั้นเคยถูกนำเสนอมาก่อนแล้วในปี ค.ศ. 1887 โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวอิตาลี วีโต วอลแตร์รา ทฤษฎีของฟังก์ชันนัลที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้รับการพัฒนาต่อโดยลูกศิษย์ของอาดามาด์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เฟรแช และ เลวี อาดามาร์ยังเป็นผู้ก่อตั้งสำนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ด้านการวิเคราะห์ฟังก์ชันนัลเชิงเส้น ซึ่งได้รับการพัฒนาต่อโดยรีซและกลุ่มนักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์รอบ ๆ สเตฟัน บานัค

ในตำราเบื้องต้นสมัยใหม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชัน วิชานี้ถูกมองว่าเป็นการศึกษาปริภูมิเวกเตอร์ที่มีโทโพโลยี โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิที่มีมิติอนันต์ ในทางตรงกันข้าม พีชคณิตเชิงเส้นส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับปริภูมิที่มีมิติจำกัด และไม่ได้ใช้โทโพโลยี ส่วนสำคัญของคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชันคือการขยายทฤษฎีเมเชอร์ ปริพันธ์ และความน่าจะเป็นไปสู่ปริภูมิมิติอนันต์ หรือที่เรียกว่า การวิเคราะห์เชิงมิติอนันต์