การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง

ในคณิตศาสตร์ การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบ ซึ่งบางครั้งเรียกว่า การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง เพื่อแยกความแตกต่างจากการทดสอบที่คล้ายคลึงกัน (โดยเฉพาะการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต) เป็นวิธีการอนุมานว่าอนุกรมอนันต์หรือปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ลู่เข้าหรือลู่ออก ด้วยการเปรียบเทียบอนุกรมหรืออินทิกรัลนั้นกับอนุกรมหรืออินทิกรัลลู่เข้าที่ทราบ

สำหรับอนุกรม

ในแคลคูลัส การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับอนุกรมโดยทั่วไป ประกอบด้วยประพจน์สองประพจน์ เกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์ที่ไม่เป็นลบ (ค่าจริง)

• ถ้ามีอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ มาลู่เข้าและ $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ (นั่นคือสำหรับทั้งหมด $n>N$ สำหรับค่าคงที่ N บางค่า อนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ลู่เข้าด้วย
• ถ้ามีอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ ลู่ออกและ $0\leq b_{n}\leq a_{n}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ก็ลู่ออกด้วย

ให้ทราบว่า อนุกรมที่มีพจน์ที่โตเร็วกว่ามักจะ ครอบงำ อนุกรมที่มีพจน์ที่โตช้ากว่า

นอกจากนี้ การทดสอบอาจระบุได้ในรูปของการลู่เข้าสัมบูรณ์ ซึ่งในกรณีนี้ การทดสอบยังใช้กับอนุกรมที่มีพจน์เชิงซ้อนได้ด้วย

• ถ้าอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์และ $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ก็ลู่เข้าสัมบูรณ์เช่นกัน
• ถ้ามีอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์และ $|b_{n}|\leq |a_{n}|$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ ดังนั้นอนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ก็ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์

ให้ทราบว่า ในประพจน์สุดท้าย อนุกรม $\sum a_{n}$ ยังสามารถลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขสำหรับอนุกรมค่าจริง อาจเกิดขึ้นได้ถ้า a_n ไม่เป็นค่าที่ไม่เป็นลบหมด

คู่ประพจน์ที่สองนั้นเทียบเท่ากับคู่ประพจน์แรกในกรณีของอนุกรมค่าจริงเนื่องจาก $\sum c_{n}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ $\sum |c_{n}|$ อนุกรมที่มีพจน์ไม่เป็นลบ ลู่เข้า

การพิสูจน์

บทพิสูจน์ประพจน์ทั้งหมดที่กล่าวไว้ข้างต้นมีความคล้ายคลึงกัน นี่เป็นบทพิสูจน์ของประพจน์ที่สาม

ให้ $\sum a_{n}$ และ $\sum b_{n}$ เป็นอนุกรมอนันต์ เมื่อ $\sum b_{n}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์ (ดังนั้น $\sum |b_{n}|$ ลู่เข้า) และโดยไม่สูญเสียนัยทั่วไป ให้ว่า $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n พิจารณาผลรวมย่อย

$S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|,\ T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\ldots +|b_{n}|.$

เนื่องจาก $\sum b_{n}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์ $\lim _{n\to \infty }T_{n}=T$ สำหรับบางจำนวนจริง T สำหรับทุก n

$0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.$

$S_{n}$ เป็นลำดับที่ไม่ลดลงและ $S_{n}+(T-T_{n})$ ไม่เพิ่ม ให้ $m,n>N$ แล้วทั้ง $S_{n},S_{m}$ อยู่ในช่วง $[S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]$ ซึ่งยาว $T-T_{N}$ ลดเหลือศูนย์เมื่อ $N$ วิ่งไปอนันต์ แสดงให้เห็นว่า $(S_{n})_{n=1,2,\ldots }$ เป็นลำดับโคชี และจะต้องลู่เข้าหาลิมิต ดังนั้น $\sum a_{n}$ ลู่เข้าสัมบูรณ์

สำหรับปริพันธ์

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบสำหรับปริพันธ์อาจเขียนได้ดังนี้ โดยถือว่าฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง f และ g บน $[a,b)$ ด้วย b ที่เป็น $+\infty$ หรือจำนวนจริงอย่างใดอย่างหนึ่งซึ่ง f และ g แต่ละตัวมีเส้นกำกับแนวดิ่ง

• ถ้าปริพันธ์ไม่ตรงแบบ $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ ลู่เข้าและ $0\leq f(x)\leq g(x)$ สำหรับ $a\leq x<b$ แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ ลู่เข้าด้วยและ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$
• ถ้ามีปริพันธ์ไม่ตรงแบบ $\int _{a}^{b}g(x)\,dx$ ลู่ออกและ $0\leq g(x)\leq f(x)$ สำหรับ $a\leq x<b$ แล้วปริพันธ์ไม่ตรงแบบ $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ ลู่ออกด้วย

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน

การทดสอบอื่นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมค่าจริง ซึ่งคล้ายกับการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรงข้างต้น และการทดสอบด้วยอัตราส่วน เรียกว่าการทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้อัตราส่วน

• มีอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ ลู่เข้าและ $a_{n}>0$ $b_{n}>0$ และ ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ลู่เข้าด้วย
• ถ้ามีอนุกรมอนันต์ $\sum b_{n}$ ลู่ออกและ $a_{n}>0$ $b_{n}>0$ และ ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ สำหรับทุก n ที่ใหญ่เพียงพอ แล้วอนุกรมอนันต์ $\sum a_{n}$ ลู่ออกด้วย

ดูเพิ่มเติม

• การทดสอบการลู่เข้า
• การลู่เข้า (คณิตศาสตร์)
• ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำ
• การทดสอบด้วยปริพันธ์สำหรับการลู่เข้า
• การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต
• ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบทางเดียว

อ้างอิง

• Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). Schaum's Outline of Calculus (4th ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6.
• Buck, R. Creighton (1965). Advanced Calculus (2nd ed.). New York: McGraw-Hill.
• Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6.
• Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.). Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6.
• Silverman, Herb (1975). Complex Variables. Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3.
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). A Course in Modern Analysis (4th ed.). Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.