การทดสอบการลู่เข้า

ในทาง คณิตศาสตร์ การทดสอบการลู่เข้าเป็นวิธีการทดสอบหาการลู่เข้า การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ช่วงลู่เข้า หรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

รายการการทดสอบ

ลิมิตของส่วนของผลบวก

ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกหาค่าไม่ได้หรือไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ แล้วอนุกรมจะลู่ออก ในแง่นี้ ผลบวกย่อยจะเป็นแบบโคชี เฉพาะในกรณีที่ลิมิตหาค่าได้และมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น การทดสอบจะสรุปไม่ได้ ถ้าลิมิตของส่วนของผลบวกเป็นศูนย์ สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบด้วยพจน์ที่ n การทดสอบการลู่ออก หรือ การทดสอบอนุกรมลู่ออก

การทดสอบด้วยอัตราส่วน

สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า เกณฑ์ของดาล็องแบร์

พิจารณาลิมิตสองลิมิต $\ell =\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ และ $L=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ ถ้า $\ell >1$ อนุกรมจะลู่ออก ถ้า $L<1$ อนุกรมจะลู่เข้าโดยสัมบูรณ์ ถ้า $\ell \leq 1\leq L$ การทดสอบจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าแบบสมบูรณ์ แบบมีเงื่อนไข หรือลู่ออกได้

การทดสอบโดยราก

สามารถเรียกอีกอย่างได้ว่า การทดสอบโดยรากที่ n หรือ เกณฑ์ของโคชี

ให้

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

เมื่อ $\limsup$ หมายถึงลิมิตซูพีเรียร์ (อาจได้ $\infty$ หากมีลิมิตก็จะมีค่าได้เดิม)

ถ้า r < 1 แล้วอนุกรมนั้นจะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ หาก r > 1 แล้วอนุกรมนี้จะลู่ออก ถ้า r = 1 การทดสอบโดยรากจะสรุปไม่ได้ และอนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกจากกัน

การทดสอบรากจะเข้มกว่าการทดสอบอัตราส่วน เมื่อใดที่การทดสอบด้วยอัตราส่วนกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมอนันต์ การทดสอบรากก็จะกำหนดการลู่เช่นกัน แต่บทกลับอาจไม่เป็นจริงเสมอไป

การทดสอบด้วยปริพันธ์

อนุกรมสามารถเปรียบเทียบกับปริพันธ์เพื่อกำหนดการลู่เข้าหรือลู่ออก ให้ $f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}$ เป็น ฟังก์ชันไม่เป็นลบและลดลงทางเดียว โดยที่ $f(n)=a_{n}$ ถ้าให้ $$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$$ แล้วอนุกรมนี้ก็จะลู่เข้า แต่ถ้าปริพันธ์ลู่ออก อนุกรมก็จะลุ่ออกด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คืออนุกรมของ ${a_{n}}$ ลุ่เข้าก็ต่อเมื่อปริพันธ์ลู่เข้า

การทดสอบโดยใช้อนุกรมพี

บทย่อยที่ใช้กันบ่อยของการทดสอบด้วยปริพันธ์คือการทดสอบโดยใช้อนุกรมพี ให้ $k>0$ แล้ว $\sum _{n=k}^{\infty }{\bigg (}{\frac {1}{n^{p}}}{\bigg )}$ จะลู่เข้า ถ้า $p>1$

กรณีที่ $p=1,k=1$ จะได้อนุกรมฮาร์มอนิกที่ลู่ออก กรณีที่ $p=2,k=1$ คือปัญหาบาเซิล และอนุกรมจะลู่เข้าหา ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ โดยทั่วไปแล้ว สำหรับ $p>1,k=1$ อนุกรมนี้จะเท่ากับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่นำไปใช้กับ $p$ นั่นก็คือ $\zeta (p)$

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยตรง

ถ้าอนุกรม $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และ $|a_{n}|\leq |b_{n}|$ สำหรับ n ที่มากพอ แล้อนุกรม $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ จะลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิต

ถ้า $\{a_{n}\},\{b_{n}\}>0$ (นั่นคือทุกสมาชิกของลำดับทั้งสองเป็นค่าบวก) และลิมิต $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ หาค่าได้ เป็นจำนวนจำกัดและไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นอนุกรมทั้งสองจะลู่เข้าหรือลู่ออกทั้งคู่

การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี

ให้ $\left\{a_{n}\right\}$ เป็นลำดับที่ไม่เป็นลบและไม่เพิ่ม แล้วผลรวม $A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ จะลู่เข้า ก็ต่อเมื่อผลรวม $A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}$ ลู่เข้า ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าลู่เข้าแล้ว $A\leq A^{*}\leq 2A$ จะเป็นจริง

การทดสอบของอาเบล

สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

1. $\sum a_{n}$ เป็นอนุกรมที่ลู่เข้า
2. $\left\{b_{n}\right\}$ เป็นลำดับทางเดียวและ
3. $\left\{b_{n}\right\}$ มีขอบเขตจำกัด

แล้ว $\sum a_{n}b_{n}$ ก็จะลู่เข้าด้วย

การทดสอบการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

อนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ทุกอนุกรมจะลู่เข้า

การทดสอบอนุกรมสลับ

สมมุติให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

• $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ เป็นลำดับทางเดียว
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

แล้ว $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ และ $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$ เป็นอนุกรมลู่เข้า การทดสอบนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เกณฑ์ของไลบ์นิทซ์

การทดสอบของดิริชเลต์

ถ้า $\{a_{n}\}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง และ $\{b_{n}\}$ ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ

• $a_{n}\geq a_{n+1}$

• $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$

• $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก N

โดยที่ M เป็นค่าคงที่ ดังนั้นอนุกรม

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

ลู่เข้า

การทดสอบการลู่เข้าของโคชี

อนุกรม $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ จะลู่เข้าก็ต่อเมื่อสำหรับทุก $\varepsilon >0$ มีจำนวนนับ N ที่

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$

เป็นจริงสำหรับทุก n > N และทุก p ≥ 1

ทฤษฎีบทสโตลซ์–เชซาโร

ให้ $(a_{n})_{n\geq 1}$ และ $(b_{n})_{n\geq 1}$ เป็นลำดับของจำนวนจริงสองลำดับ สมมติว่า $(b_{n})_{n\geq 1}$ เป็นลำดับลู่ออกทางเดียวโดยแท้ และลิมิตต่อไปนี้หาค่าได้

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\$

แล้วลิมิต

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

การทดสอบแบบเอ็มของไวเออร์ชตราสส์

สมมติให้ (f_n) เป็นลำดับของฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดบนเซต A และมีลำดับของจำนวนไม่เป็นลบ (M_n) ที่สอดคล้องเงื่อนไข

• $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$ สำหรับทุก $n\geq 1$ และทุก $x\in A$, และ
• $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ ลู่เข้า

แล้วอนุกรม

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และเอกรูปบน A

ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วน

การทดสอบด้วยอัตราส่วนอาจไม่ชัดเจนเมื่อลิมิตของอัตราส่วนเท่ากับ 1 อย่างไรก็ตาม ส่วนขยายของการทดสอบด้วยอัตราส่วนบางครั้งช่วยให้สามารถจัดการกับกรณีนี้ได้

การทดสอบของราเบ-ดูอาแมล

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวก

กำหนดให้

$b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).$

ถ้า

$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

มีความเป็นไปได้สามทาง

• ถ้า L > 1 อนุกรมลู่เข้า (รวมถึงกรณี L = ∞)
• ถ้า L < 1 อนุกรมจะลู่ออก
• และถ้า L = 1 การทดสอบไม่สามารถสรุปผลได้

สูตรทางเลือกสำหรับการทดสอบนี้สามรถเขียนได้ดังนี้ ให้ a_n เป็นลำดับของจำนวนจริง แล้วถ้า b > 1 และ K (จำนวนธรรมชาติ) มีอยู่ได้ว่า

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}$

สำหรับทุก n > K ดังนั้นอนุกรม {a_n} จะลู่เข้า

การทดสอบของเบอร์ทรานด์

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวก นิยามให้

$b_{n}=\ln n\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right).$

ถ้า

$L=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

มีอยู่สามความเป็นไปได้

• ถ้า L > 1 อนุกรมจะลู่เข้า (รวมถึงกรณี L = ∞)
• ถ้า L < 1 อนุกรมจะลู่ออก
• และถ้า L = 1 การทดสอบนั้นไม่สามารถสรุปผลได้

การทดสอบของเกาส์

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวก ถ้า ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O(1/n^{\beta })$ สำหรับบาง β > 1 แล้ว $\sum a_{n}$ ลู่เข้าถ้า α > 1 และลู่ออกถ้า α ≤ 1

การทดสอบของคุมเมอร์

ให้ {a_n} เป็นลำดับของจำนวนบวกแล้ว

(1) $\sum a_{n}$ ลู่เข้าก็ต่อเมื่อมีลำดับ $b_{n}$ ของจำนวนบวกและจำนวนจริง c > 0 โดยที่ $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\geq c$ -

(2) $\sum a_{n}$ จะลู่ออกก็ต่อเมื่อมีลำดับ $b_{n}$ ของจำนวนบวกที่ทำให้ $b_{k}(a_{k}/a_{k+1})-b_{k+1}\leq 0$

และ $\sum 1/b_{n}$ ลู่ออก

การทดสอบของอาบู-มุสตาฟา

ให้ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ เป็นอนุกรมอนันต์ที่มีพจน์จริงและให้ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ เป็นฟังก์ชันจริงใด ๆ ที่ $f(1/n)=a_{n}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และอนุพันธ์อันดับสอง $f''$ หาค่าได้ที่ $x=0$ แล้ว $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ถ้า $f(0)=f'(0)=0$ และลู่ออกในกรณีอื่น

หมายเหตุ

• สำหรับอนุกรมเฉพาะแบบบางประเภทจะทดสอบการลู่เข้าที่เจาะจง เช่น สำหรับอนุกรมฟูเรียร์ จะมีการทดสอบดินี

ตัวอย่าง

พิจารณาอนุกรม

 

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.$

(i)

<a href="./การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี" rel="mw:WikiLink" data-cx="{&quot;userAdded&quot;:true,&quot;adapted&quot;:true}" data-linkid="undefined">การทดสอบด้วยการควบแน่นโคชี</a>บอกว่า (i) ลู่เข้าแบบจำกัดถ้า

 

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }$

(ii)

เป็นลู่เข้าแบบจำกัด เนื่องจาก

$\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n}$

(ii) เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน $2^{(1-\alpha )}$ (ii) จะลู่เข้าแบบจำกัดถ้าอัตราส่วนน้อยกว่าหนึ่ง (กล่าวคือ $\alpha >1$). ดังนั้น (i) จะลู่เข้าแบบจำกัดก็ต่อเมื่อ $\alpha >1$.

การลู่เข้าของผลคูณ

แม้ว่าการทดสอบส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ แต่ก็สามารถใช้แสดงการลู่เข้าหรือการลู่ออกจากกันของผลคูณอนันต์ ได้เช่นกันสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ให้ $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ เป็นลำดับของจำนวนบวก แล้วผลคูณอนันต์ $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ จะลู่เข้าก็ต่อเมื่ออนุกรมนี้ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ลู่เข้า ในทำนองเดียวกัน ถ้า $0<a_{n}<1$เป็นจริง แล้ว $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ จะเข้าใกล้ลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ลู่เข้า

สามารถพิสูจน์ได้โดยการใช้ลอการิทึมของผลคูณและใช้การทดสอบด้วยการเปรียบเทียบโดยใช้ลิมิตต

ดูเพิ่มเติม

• กฎของโลปิตาล
• กฎการเลื่อน

อ่านเพิ่มเติม

• Leithold, Louis (1972). The Calculus, with Analytic Geometry (2nd ed.). New York: Harper & Row. pp. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.