การจำกัดฟังก์ชัน

ในคณิตศาสตร์ การจำกัดฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันใหม่ เขียนว่า $f\vert _{A}$ หรือ $f{\upharpoonright _{A}},$ ได้มาโดยการเลือกโดเมน $A$ ที่เล็กกว่าโดเมนของฟังก์ชันเดิม $f$ แล้วสามารถกล่าวได้ว่าฟังก์ชัน $f$ ขยาย $f\vert _{A}$

นิยามแบบรูปนัย

ให้ $f:E\to F$ เป็นฟังก์ชันจากเซต $E$ ไปยังเซต $F$ ถ้าเซต $A$ เป็นเซตย่อยของ $E$ แล้วการจำกัดฟังก์ชัน $f$ ไปยัง $A$ เป็นฟังก์ชัน ^[1] ${f|}_{A}:A\to F$ โดยที่ ${f|}_{A}(x)=f(x)$ สำหรับ $x\in A$ ในแบบอรูปนัย การจำกัดฟังก์ชัน $f$ ไปยัง $A$ เป็นฟังก์ชันเดียวกันกับ $f$ แต่ได้นิยามไว้เฉพาะบน $A$

หากมองฟังก์ชั่น $f$ เป็นความสัมพันธ์ $(x,f(x))$ บนผลคูณคาร์ทีเซียน $E\times F$ แล้วการจำกัดฟังก์ชัน $f$ ไปยัง $A$ สามารถใช้กราฟแทนได้โดย

G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f)\mid x\in A\}=G(f)\cap (A\times F)

ที่คุ่ $(x,f(x))$ แทนคู่อันดับในกราฟ $G.$

ส่วนขยาย

ฟังก์ชั่น $F$ เป็นฟังก์ชันส่วนขยาย $f$ หากเมื่อใดก็ตาม $x$ อยู่ในโดเมนของ $f$ แล้ว $x$ ก็อยู่ในโดเมนของ $F$ และ $f(x)=F(x)$ นั่นคือถ้า $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ และ $F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f$

ส่วนขยายเชิงเส้น (หรือส่วนขยายต่อเนื่อง ฯลฯ ตามลำดับ) ของฟังก์ชัน $f$ เป็นส่วนขยายของ $f$ ซึ่งเป็นการส่งเชิงเส้นเช่นกัน (หรือการส่งต่อเนื่อง ฯลฯ ตามลำดับ)

ตัวอย่าง

การจำกัดฟังก์ชันที่ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ ไปยังโดเมน $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ คือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$
ฟังก์ชันแฟกทอเรียล คือการจำกัดฟังก์ชันแกมมาไปยังจำนวนเต็มบวก โดยมีการเลื่อนอาร์กิวเมนต์ไปหนึ่ง ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$

คุณสมบัติของการจำกัดฟังก์ชัน

การจำกัดฟังก์ชัน $f:X\rightarrow Y$ ไปยังทั้งโดเมน $X$ คืนค่าฟังก์ชันเดิม ซึ่งคือ $f|_{X}=f$
การจำกัดฟังก์ชันสองครั้งก็เหมือนกับการจำกัดฟังก์ชันเพียงครั้งเดียว นั่นคือ ถ้า $A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f$ แล้ว $\left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}$
การจำกัดฟังก์ชันเอกลักษณ์ บนเซต $X$ ไปยังเชตย่อย $A$ ของ $X$ เป็นเพียงการส่งโดยเป็นเซตย่อยจาก $A$ ไปยัง $X$ ^[2]
การจำกัดฟังก์ชันต่อเนื่องยังคงต่อเนื่อง ^[3] ^[4]

บทประยุกต์

ฟังก์ชันผกผัน

เพื่อให้ฟังก์ชันมีฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันนั้นจะต้องเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง หากฟังก์ชัน $f$ ไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง อาจสามารถกำหนดฟังก์ชันผกผันบางส่วนของ $f$ โดยการจำกัดโดเมน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน $f(x)=x^{2}$ ที่ได้นิยามไว้โดยทั้ง $\mathbb {R}$ จะไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่งเพราะ $x^{2}=(-x)^{2}$ สำหรับ $x\in \mathbb {R}$ ใด ๆ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันจะกลายเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งหากเราจำกัดบนเฉพาะโดเมน $\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty )$ ในกรณีนั้น $f^{-1}(y)={\sqrt {y}}$

(หากเราจำกัดเฉพาะโดเมน $(-\infty ,0]$ แทน แล้วค่าผกผันคือค่าลบของรากที่สองของ $y$ ) อีกวิธีหนึ่งคือไม่จำเป็นต้องจำกัดโดเมนหากเราอนุญาตให้ฟังก์ชันผกผันเป็น ฟังก์ชันหลายค่า

ตัวดำเนินการการเลือก

ในพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ การเลือก (บางครั้งเรียกว่าการจำกัดเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับการใช้ SELECT ของ SQL) เป็นการดำเนินการเอกภาคที่เขียนด้วย $\sigma _{a\theta b}(R)$ หรือ $\sigma _{a\theta v}(R)$ ที่

$a$ และ $b$ ชื่อลักษณะประจำ
$\theta$ เป็นการดำเนินการทวิภาคบนเซต $\{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\}$
$v$ เป็นค่าคงที่
$R$ เป็นความสัมพันธ์ (ฐานข้อมูล)

การเลือก $\sigma _{a\theta b}(R)$ จะเลือกหลายสิ่งอันดับทั้งหมดใน $R$ ซึ่งสำหรับ $\theta$ เป็นจริงระหว่างลักษณะประจำ $a$ และ $b$

ดังนั้นตัวดำเนินการเลือกจะจำกัดไปยังเซตย่อยของฐานข้อมูลทั้งหมด

บทตั้งการเชื่อม

บทตั้งการเชื่อมเป็นผลในโทโพโลยี ซึ่งโยงความต่อเนื่องของฟังก์ชันกับความต่อเนื่องของการจำกัดไปยังเซตย่อย

ให้ $X,Y$ เป็นเซตย่อยปิดสองเซต (หรือเซตย่อยเปิดสองเซต) ของปริภูมิโทโพโลยี $A$ เช่นนั้น $A=X\cup Y$ และให้ $B$ เป็นปริภูมิโทโพโลยีด้วย ถ้า $f:A\to B$ ต่อเนื่องเมื่อจำกัดไปยังทั้ง $X$ และ $Y$ แล้ว $f$ ต่อเนื่อง

ผลนี้ทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชันที่นิบามไว้บนเซตย่อยที่ปิด (หรือเปิด) ของปริภูมิโทโพโลยีและสร้างฟังก์ชันใหม่ได้

ชีฟ

ชีฟให้วิธีวางนัยทั่วไปในการจำกัดให้กับวัตถุอื่นนอกเหนือจากฟังก์ชัน

ในทฤษฎีชีฟเราจะกำหนดวัตถุ $F(U)$ ในแคทิกอรีของแต่ละเซตเปิด $U$ ของปริภูมิโทโพโลยี และกำหนดให้วัตถุต้องเป็นไปตามเงื่อนไขประการต่าง ๆ เงื่อนไขที่สำคัญที่สุดคือต้องมีมอร์ฟิซึมจำกัด ระหว่างวัตถุทุกคู่ที่เชื่อมโยงกับเซตเปิดซ้อน นั่นคือถ้า $V\subseteq U$ แล้วก็มีมอร์ฟิซึม $\operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)$ ที่สอดคล้องคุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งนิยามมาเพื่อเลียนแบบการจำกัดฟังก์ชัน

สำหรับทุกเซตเปิด $U$ ของ $X$ มอร์ฟิซึมจำกัด $\operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)$ คือมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์บน $F(U)$
ถ้ามีเซตเปิดสามเซต $W\subseteq V\subseteq U$ แล้วได้การประกอบคือ $\operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.$
(ความเฉพาะที่) ถ้า $\left(U_{i}\right)$ เป็นเซตปกเปิดของเซตเปิด $U$ และถ้า $s,t\in F(U)$ โดยที่ $s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}$ สำหรับทุกเซต $U_{i}$ ของเซตปกแล้ว $s=t$ และ
(การเชื่อม) ถ้า $\left(U_{i}\right)$ เป็นเซตปกเปิดของเซตเปิด $U$ และถ้าสำหรับทุก $i$ จะมีภาคตัด $s_{i}\in F\left(U_{i}\right)$ ที่ให้มาโดยที่สำหรับทุกคู่ $U_{i},U_{j}$ ของเซตปก การจำกัด $s_{i}$ และ $s_{j}$ ต้องกันบนส่วนซ้อนเหลื่อม $s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}$ แล้วมีภาคตัด $s\in F(U)$ ที่ทำให้ $s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}$ สำหรับทุก $i$

พวกวัตถุทั้งหมดดังกล่าวเรียกว่า ชีฟ หากตรงตามแค่คุณสมบัติสองข้อแรก ก็จะเรียกว่า ก่อนชีฟ

การจำกัดทางซ้ายและขวา

โดยนัยทั่วไปแล้วการจำกัด (หรือการจำกัดโดเมน หรือการจำกัดทางซ้าย) $A\triangleleft R$ ของความสัมพันธ์ทวิภาค $R$ ระหว่าง $E$ และ $F$ อาจกำหนดให้เป็นความสัมพันธ์ที่มีโดเมน $A$ โคโดเมน $F$ และกราฟ $G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R)\mid x\in A\}$ ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนด การจำกัดทางขวา หรือการจำกัดเรนจ์ $R\triangleright B$ แท้จริงแล้วสามารถกำหนดการจำกัดความสัมพันธ์ได้ n ภาค เช่นเดียวกับเซตย่อยที่เป็นความสัมพันธ์ เช่น ความสัมพันธ์ของผลคูณคาร์ทีเซียน $E\times F$ สำหรับความสัมพันธ์ทวิภาค กรณีเหล่านี้ไม่สอดคล้องกับรูปแบบของชีฟ

การปฏิจำกัด

การปฏิจำกัดโดเมน (หรือ การลบโดเมน) ของฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ทวิภาค $R$ (ที่มีโดเมน $E$ และโคโดเมน $F$ ) โดยเซต $A$ อาจนิยามได้ว่าเป็น $(E\setminus A)\triangleleft R$ เป็นการลบสมาชิกทั้งหมดของ $A$ จากโดเมน $E$ บางครั้งเขียนว่า $A$ ⩤ $R.$ ในทำนองเดียวกัน การปฏิจำกัดเรนจ์ (หรือ การลบเรนจ์) ของฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ทวิภาค $R$ โดยเซต $B$ ถูกกำหนดให้เป็น $R\triangleright (F\setminus B)$ เป็นการลบสมาชิกทั้งหมดของ $B$ จากโคโดเมน $F$ บางครั้งเขียนว่า $R$ ⩥ $B$

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

↑ Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories (2nd ed.). San Francisco: W. H. Freeman and Company. pp. [36]. ISBN 0-7167-0457-9.
↑ Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
↑ Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
↑ Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.

[Stoll-1] Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories (2nd ed.). San Francisco: W. H. Freeman and Company. pp. [36]. ISBN 0-7167-0457-9.

[2] Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).

[3] Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[4] Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.

[1]

[2]

[3]

[4]