กลศาสตร์แบบลากรางจ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

กลศาสตร์แบบลากรางจ์ (อังกฤษ: Lagrangian Machanics) เป็นกลศาสตร์แบบหนึ่งที่อยู่ภายในขอบเขตของกลศาสตร์ดั้งเดิม (อังกฤษ: Classical Machanics)เช่นเดียวกับกฎของนิวตัน ซึ่งกฎข้อที่สองของนิวตันสามารถทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยมีหัวใจสำคัญ คือ การหาแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ และโดยทั่วไปปัญหาทางกลศาสตร์มีความซับซ้อนค้อนข้างมาก เช่นการเคลื่อนที่ของวัตถุบนผิวทรงกลม เมื่อการคำนวณหาแรงลัพธ์มีความยากลำบาก กลศาสตร์ของนิวตันจึงไม่เหมาะสมที่จะนำมาศึกษากลศาสตร์ที่มีความซับซ้อนได้ แนวคิดด้านกลศาสตร์แบบใหม่ที่เข้ามาอธิบายกลศาสตร์ที่มีความซับซ้อน คือ กลศาสตร์ลากรางจ์ ถูกเสนอในปี 1788 โดย นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส - อิตาลี โจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์ (Joseph Louis Lagrange, 1736-1813) ในปี 2331 การคำนวณแบบกลศาสตร์ลากรางจ์สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบต่างๆ ที่มีความซับซ้อนและแก้ปัญหาด้วยกลศาสตร์นิวตันได้ยาก เช่น ปัญหาเพนดูลัมที่มีมวลมากกว่า 1 อัน ความง่ายของกลศาสตร์นี้ คือ ไม่ใช้แรงในการคำนวณ แต่จะใช้พิกัดทั่วไปและระบบพลังงานในการแก้ปัญหา เนื่องจากพลังงานเป็นปริมาณสเกลาร์การคำนวณจึงง่ายกว่าการแก้ปัญหาแบบเวกเตอร์ กลศาสตร์แบบลากรางจ์สามารถพัฒนารูปแบบสมการจนไปถึงสมการความหนาแน่นลากรานจ์ (Lagrangian density) การที่จะได้มาซึ่งกลศาสตร์ลากรางจ์มีอยู่ 3 วิธี 1) การพิสูจน์สมการลากรานจ์จากกฎข้อที่สองของนิวตัน (Newton’s second law) 2) การพิสูจน์สมการลากรานจ์จากหลักการดาล็องแบร์ (D’Alembert Principle) 3) พิสูจน์จากหลักการของฮามิลตัน (Hamilton’s Principle)[1]


หลักการ[แก้]

สมการลากรางจ์ เกิดจากผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ภายในระบบซึ่งมีรูปแบบดังนี้


เมื่อ คือ ลากรางเจียน (Lagragian) หรือ สมการลากรางจ์
คือ พลังงานจลน์ทั้งหมดของระบบ
คือ พลังงานศักย์ทั้งหมดของระบบ

สมการดังกล่าว มีความสัมพันธ์ตามสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ (Euler-Lagrange Equation) ดังนี้


โดย คือพิกัดทั่วไป (generalized coordinate) ของระบบ

จะเห็นสมการลากรางจ์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับกฎอนุรักษ์พลังงานและเป็นสเกลาร์ แตกต่างจากสมการของนิวตันซึ่งเกี่ยวข้องกับแรงและเป็นปริมาณเวกเตอร์

ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อยๆ[แก้]

         ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อยๆ อาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากสมการการเคลื่อนที่ของลากรานจ์ สมการการเคลื่อนที่ของฮามิลตัน อนุกรมเทย์เลอร์ และกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน โดยใช้เมตริกซ์เทนเซอร์ในการแก้ปัญหา เพื่อที่จะเข้าใจทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อยๆ เราจำเป็นต้องรู้ความสัมพันธ์ของพลังงานศักย์กับการสมดุล ว่าด้วยเงื่อนไขของการเสถียรของระบบ ซึ่งเป็นพื้นฐานที่จะเข้าในทฤษฎีนี้ ซึ่งสามารถประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบเสถียร เมื่อระบบสมดุลเราจะได้ว่า
           --------- (1)

สมการที่ (1) แสดงพลังงานศักย์ V มี extremun value ในระบบที่สมดุล สรุปได้ว่าภาวะสมดุลเสถียรเกิดขึ้น เมื่อระบบมีจุดสมดุลที่มีพลังงานศักย์ต่ำที่สุด สำหรับกรณี จะมีจุดสมดุล และ ซึ่งจะมีจุดสมดุลดังนี้

1.สมดุลเสถียร (Stable Equilibrium) เป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน หรือเป็นตำแหน่งที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นบวก หมายความว่า ถ้าระบบอยู่ที่จุกสมดุลเสถียรแล้ว เมื่อทำการรบกวนระบบให้เคลื่อนที่ออกจากจุดสมดุลเพียงเล็กน้อย (Small Disturbance) ระบบเกิดการเคลื่อนแบบถูกกัก (Bounced Motion) รอบจุดสมดุลเมื่อ โดยที่จุดสมดุลมี น้อยที่สุด

2.สมดุลไม่เสถียร (Unstable Equilibrium) เป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน หรือเป็นตำแหน่งที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นลบ หมายความว่า ถ้าระบบอยู่ที่จุดสมดุลไม่เสถียรแล้ว เมื่อทำการรบกวนระบบให้เคลื่อนที่ออกจากจุดสมดุลเพียงเล็กน้อย ระบบจะเกิดการเคลื่อนที่แบบไม่โดนกัก (Unbounced Motion) และไม่สามารถเคลื่อนที่กลับมาที่จุดสมดุลได้อีกเมื่อ โดยที่จุดสมดุลได้ มากที่สุด

ถ้า เราจะต้องพิจารณาอนุพันธ์ที่สูงขึ้นไป

      คือ 1.สมดุลเสถียร เมื่อ  ที่ n > 2 เป็นจำนวนคู่
         2.สมดุลไม่เสถียร เมื่อ 0 ที่ n > 2 เป็นจำนวนคี่ และ
           สมดุลไม่เสถียร เมื่อ  ที่ n > 0 และเป็นจำนวนคู่

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อยๆ สามารถนำไปอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มที่ติดมวลมากกว่าหนึ่ง หรือวัตถุติดสปริง หรือวัตถุที่มีการสั่นเป็นแอมปลิจูดน้อยๆ

ทฤษฎีการสั่นอย่างเล็กน้อย(Small oscillation) ในการแก้ไขปัญหาบางปัญหาที่มีความซับซ้อนจนเราไม่สามารถหาผลเฉลยของสมการอนุพันธ์เพื่ออธิบายลักษณะการเคลื่อนที่ได้ จึงมีวิธีการที่จะประมาณลักษณะการเคลื่อนที่โดยพิจารณนาลักษณะการเคลื่อนที่รอบๆ จุดสมดุล(Equilibrium position) การเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ เรียกว่า การสั่นอย่างเล็กน้อย(Small oscillation)[2]

ทฤษฎีการสั่นอย่างเล็กน้อยพบตัวอย่างการใช้งานทางด้านกายภาพอย่างแพร่หลายในความรู้เรื่องเสียง(Acoustics) การแผ่รังสีของโมเลกุล(Molecular spectra) และวงจรคู่ควบ(Coupled electrical circuit)

  1. สุธี บุญช่วย. 2556. กลศาสตร์คลาสสิก. พิมครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์. [สุธี บุญช่วย. 2556. กลศาสตร์คลาสสิก. พิมครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์.]
  2. สุธี บุญช่วย. 2556. กลศาสตร์คลาสสิก. พิมครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์. [สุธี บุญช่วย. 2556. กลศาสตร์คลาสสิก. พิมครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์.]