กรุปเชิงตั้งฉาก

ในคณิตศาสตร์ กรุปเชิงตั้งฉาก (อังกฤษ: orthogonal group) ในมิติ n ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ O(n) คือกรุปของการแปลงในปริภูมิแบบยุคลิดมิติ n ที่รักษาฟังก์ชันระยะทางและรักษาจุดคงที่ โดยที่การดำเนินการในกรุปคือการประกอบการแปลง บางครั้ง กรุปเชิงตั้งฉากก็ถูกเรียกว่า กรุปเชิงตั้งฉากทั่วไป (general orthogonal group) โดยเปรียบเทียบกับกรุปเชิงเส้นทั่วไป อีกนัยหนึ่ง กรุป O(n) ก็คือกรุปของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากขนาด n × n โดยที่การดำเนินการในกรุปคือการคูณเมทริกซ์ (เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก คือเมทริกซ์จริงที่เมทริกซ์ผกผันมีค่าเท่ากับเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์จริง) กรุปเชิงตั้งฉากนี้เป็นทั้งกรุปพีชคณิตและกรุปลี และมีคุณสมบัติที่สำคัญคือมีความกระชับ

กรุปเชิงตั้งฉากในมิติ n นั้น ประกอบด้วยส่วนประกอบเชื่อมโยงสองส่วน ส่วนประกอบหนึ่งซึ่งมีสมาชิกเอกลักษณ์รวมอยู่ด้วยจะถูกเรียกว่า กรุปเชิงตั้งฉากพิเศษ (special orthogonal group) ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย SO(n) และเป็นกรุปย่อยปรกติ ประกอบด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉากทั้งหมดที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็น 1 กรุปนี้เรียกอีกชื่อว่า กรุปการหมุน (rotation group) เพราะโดยทั่วไปแล้ว ในมิติ 2 และมิติ 3 สมาชิกของกรุปนี้คือการหมุนปกติรอบจุด (ในมิติ 2) หรือรอบเส้น (ในมิติ 3) และกรุปเหล่านี้มีการศึกษาอย่างกว้างขวางในมิติต่ำ ๆ เช่น SO(2), SO(3) และ SO(4) ส่วนประกอบอีกส่วนหนึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉากทั้งหมดที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็น −1 ส่วนประกอบนี้ไม่เป็นกรุป เนื่องจากผลคูณของสมาชิกใด ๆ สองตัวจากส่วนประกอบนี้จะมีดีเทอร์มิแนนต์เป็น 1 ทำให้ผลลัพธ์ที่ได้ไม่อยู่ในส่วนประกอบเดิม

โดยการขยายนิยามสำหรับฟีลด์ F ใด ๆ เมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีสมาชิกอยู่ใน F และมีคุณสมบัติที่ว่าเมทริกซ์ผกผันมีค่าเท่ากับเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ดังกล่าว จะถูกเรียกว่า เมทริกซ์เชิงตั้งฉากบนฟีลด์ F กรุปของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากขนาด n×n เหล่านี้จะรวมตัวกันเป็นกรุปย่อย ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ O(n, F) และซับกรุปนี้เป็นส่วนหนึ่งของกรุปเชิงเส้นทั่วไป GL(n, F) กล่าวคือ$$\operatorname {O} (n,F)=\left\{Q\in \operatorname {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\right\}.$$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อมีรูปแบบเชิงเส้นคู่สมมาตรแบบไม่เสื่อมหรือรูปแบบกำลังสองที่กำหนดอยู่บนปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟีลด์ใด ๆ กรุปเชิงตั้งฉากของรูปแบบนั้นคือกรุปของการส่งเชิงเส้นที่หาตัวผกผันได้ ซึ่งรักษาค่าของรูปแบบดังกล่าวไว้ไม่เปลี่ยนแปลง กรุปเชิงตั้งฉากที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้เป็นเพียงกรณีเฉพาะที่รูปแบบเชิงเส้นคู่ดังกล่าวถูกแสดงด้วยผลคูณจุดในพื้นฐานบางอย่าง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ รูปแบบกำลังสองนั้นเป็นแค่ผลรวมของกำลังสองของพิกัดนั่นเอง

กรุปเชิงตั้งฉากทั้งหมดถือเป็นกรุปพีชคณิต เนื่องจากเงื่อนไขในการรักษาค่าของรูปแบบนั้นสามารถแสดงออกมาในรูปของความเท่ากันของเมทริกซ์ได้